高等数学上册教案

1、-75 / 75-limf(x)lim ax bax0 bxx 0xx 0axbx 02/(x)limf(x)f(x 0 )x2x 02f -x - x 0limx - x0x x 0x x 0limxx 02x 0xx 0f/(x)limf(x)f(x 0 )axb - x 02x - x 0limx - x 0x x 0x x 0limax - ax0ax - x 0xx 0由 得 f / (x 0 ) 存在a2x 0从而bx 02例 5：f(x)= x (x-1)(x-2) (x-9) ,那么f/09! f / (0) limf(x) - f(0)x 0 x - 0lim (x1)(x

2、2)(x9)9 !x0例 6：设f(x)在 x = 0领域内连续，lim1f(x)2，x 0x1那么 f / (0)1f(0)lim f(x)0分母 0x0f / (0)f(x) - f(0)limf( x)limx - 0xx0x0lim1f(x)1x1211x0x - 1x2例 7：设函数f (1+x) = a f ( x )，且 f / (0)b(a , b 0)，问 f/(1)存在否 ?解： f/(1)limf(1x) - f(1)limaf( x) - af(0) cx0xx 0x-第 -17页-lima f(x) - f(0)af / (0) abx0x二、导数的求法1、显函数导数

3、求一个显函数的导数需解决：根本初等函数导数(P 64);导数四那么运算法那么(P 65);复合函数与反函数求导法那么(P66) 。定理：ux在 X 有导数du，yfu在对应点 u 有导数dy，dxdu那么复合函数 yfx在 X 处也有导数，dydyduf /u/x 。dxdudx例 1：yxsin 2x 21求 y /解： y /sin 2x 21x4xcos2x 21例 2：y ln 1 x2求 y /解： y1x2y /12xxln 12 1x 21x 22例 3：yarctgx求 y /解： y/1x211x1求 y /例 4：yarctgax解：arctg 111lnaarctg 1y

4、 / ax lnaax112x 21 x 2x例 5：y ln32x 1求 y /解： y/3ln 22x122x1例 6：yxxx求 y /-第 -18页-解：y /111112 xxx2 xx2x-例 7：解：yx sinx求y /yesinx lnxy /xsinx sinxcosx lnxx-例 8：y abxx abbx a求 y /解： y/abx lnabx lnbab x ab 1bxa lnb axa 1例 9：ylne2x求 y/e2x1解： y1 lne2xln e2x1x1 ln e2x 122y /1-12e2x112 e2x1e2x高阶导数、二阶：d2 yx0lim

5、f /x 0xf /x 0dx 2xx0xf /xf /x 0limxx 0xx 0例 10：yfe2x，f / xlnx求 dydx2x2x解：dydf edef / e2x2e2xlne2x2e2x4xe2x先讲微分后页2、 隐函数导数参数方程导数如方程 F(x， y)=0 确定了 y=y(x) ，只需方程两边对x 求导，注意 y=y(x)例 10：求以下隐函数的导数 1设ysinxcos x y 0求 y /解： 方程两边对x 求导，-第 -19页-y / sinx ycosxsin xy1 y /0y /ycosxsin x ysin xysinx 2设yy x 是由方程exylny所

6、确定的隐函数，0x1求 y/ 0解：由原方程知当x=0 时，y1 ，e方程两边对x 求导。exyyxy /y /10，将 x=0，y11ey/ 0 1 0y1代入得：xee y/01 11ee(3)yy x是由方程 eyxye所确定的隐函数,试求 y /0, y/0。解 :方程两边对x 求导：ey y /yxy /0方程两边再对x 求导：eyy/eyy/ 22y/xy/0由原方程知，当x0 时，y11，代入得y/(0)1 代入式，e再将 x0 ，y1，y/(0)e得y / (0)1e2(4)设 xe2 t1求 dyd2 yyt 31dx ,dx 2dy3t 2解： dydt3t2e2tdxdx

7、2e2t2dt-第 -20页-dyd dyd 2 yddx31dxdt2 t22 tdx 2dxdx2( 2te2t e)2e2 tdt3t(1t )e 4t2(5) 设yy( x) 是由方程组xt 22t3所确定的函数，求：yeysin t 10解：dx2t2dtdyey cos tdy0dyey costdtey sin tdt1ey sin tdtdydyey costdtdxdx2(t 1)(1 eysin t)dt3、分段函数的导数2x1201) 设a, xf (x )aa(a 0,a 1),sin x ,x0x求： f / (x )x 0, f / ( x )2ln a axa解：

8、当x 0,f / (x )x cos xsin xx 2lim f ( x)f (0)2 ax1 21f /_ (0)limaax0x0x 0x21)(a x2limaxln ax0asinxf/(0)limf (x )f (0)limx1xxx0x0limsin xxlimcosx1x 22x0x0x 0dy 。dx-第 -21页-f / (0)f / (0) f / (0) 不存在，故f/( x)x0x0高阶导数 n 阶略，例 yx (2x1)2 (x3)3y (6 )46 !f ( x)2)设 f ( x ) 在,上具有二阶连续导数，且f (0)0 ，对函数xg( x)ax0x0(1)确

9、定 a 的值，使g(x)在,上连续(2)对 1中确定的a，证明g(x)在, 上一阶导数连续解： a lim g( x)limf ( x)lim f ( x)f (0)f / (0)x 0x 0xx 0x即当 af / (0),y( x ) 在x0 连续，也就是在,连续 g/(0) limg(x )g(0)f (x)f/ (0)limxxx0xx 0f / ( x)f / ( x )f /(0)lim2xlim22x0x0而 limg / ( x )lim xf / (x )f ( x)x 0x0x 2lim xf /(x )f /(x )f /(x )lim f /( 0)g / 0x 02x

10、x02g/x 在 x0连续,即在,连续-第 -22页-三、微分yf (x )dyf / (x ) xf / ( x) dx一阶微分形式不变yf ( u)dyf / (u)du u自变量如 yf (u)u( x)dyf / (u)/ (x)dx f(u)du( u中间变量 )例： yex 2， dy2xe x 2dx ，dyex 2dx 22xe x 2dx可导可微第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求1 掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3用

11、二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4握用洛必达法那么求未定式极限的方法。5道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6了解方程近似解的二分法及切线法。-第 -23页-一、中值定理，泰勒公式放入泰勒级数中讲1罗尔定理如 f x 满足：（ 1在a, b连续 .（ 2在a, b可导 . 3faf b那么至少存在一点a, b使 f /0例设 g xx x 1 2x 1 3x 1 ，那么在区间 -1 ， 0内，方程g/x0有 2 个实根；在 -1 ， 1内g/x0有2个根例设 f x 在0，1可导，且 f 0f10 ，证明存在0,1，使 ff

12、 /0 。证： 设 F xxfx 在a,b可导， F0F 1存在0,1使 F/0即 ff /0例设 f x在 0 ， 1 可导，且f 0f10 ,证明存在FF/0 。解 :设 F xex fx，且F0F 1由罗尔定理存在使 F/0即 e fe f /0 ，亦即 ff /0例习题 6设 F xf x eg x复合函数求导2、拉格朗日中值定理如 f x满足：在 a,b连续；在 a,b 连续，那么存在a, b使 f bf af /ba 。-第 -24页-推论：如果在区间 I上 f /x0 ，那么fx c如果在区间 I上 f /x0 (0) ，fx在单增减例对任意满足x1的 x，都有 arctg1x1

13、 arcsinx41x2设fx arctg1x11xarcsinx2f /x1121101x1x2 211x1x21x2x111x1x2102 21 x2 1 x 22 1 x 2 f x cf04fx4例设 x0 ，证明xln 1 x x1x求导证明作业：见各章节课后习题。二、洛必达法那么未定形：如下的函数极限都是未定形。1、0型：如： limxsin x 型：0x 0tan xx2、型：如： limln xa0xax3、0型： 如： limxaln xa 0x4、型：如： lim (11 )x 0sin xx-第 -25页-5、00型：如：lim x arctan xx016、0型：如：

14、lim (ctgx) ln xx017、1型： 如：lim (sin x) x2x0x它们的计算不能用函数极限的四那么运算法那么，且它们只表示类型，没有具体意义。1、0型的洛必达法那么xa (同理 x)0定理：对函数和，如果： 1limf ( x)0 ,limg( x) 0x a)xa(x( x) 2在某个邻域N (a,) 内xX 后有导数f 和 g ，且 g (x)0 ； 3limf ( x)存在或无穷 ，那么成立：) g( x)x a( xlimf ( x)= limf (x)g ( x)g ( x)x axa( x)( x)例： 1)lim sin axx 0 sin bx2)limxs

15、in x3x0x3)limx33x2x3x2x 1x 1例： 1)lim2arctan x1xx2)limln xxnx-第 -26页-xn3)limx(0)xe3、其它类型1)00,1102)110000003)y00ln y0ln 0(0 型)4)y1,y0解法同 3例：1)limxn ln x(n0)x 02)lim (secxtan x)x23) lim x xx 04) limtan x xx 0x2 sin x三、泰勒公式一、多项式：P(x)a0a1(xx0 )a2(x x0 )2an (x x0)n在点的各阶导数：P( x0 )a0P (x0 )a1P (x0 )2a2P ( n

16、) (x0 )n! an得： an1 f (n ) ( x0 )n!-第 -27页-P(x) a0 f (x0)(x x0)f (x0)(x x0)22!(n)f(x0 )(xx0)nn!二、泰勒中值定理：如果函数f ( x) 在含有 x0的某个开区间(a, b) 有直到 ( n1) 阶的导数，那么对任一x(a,b) 有：1、 N阶泰勒公式f (x) f (x )f (x )(xx )f (x0) (xx )20002!0f ( n) (x0)(xx0)n Rn (x)n!Rn ( x) 称为余项。 1Rn( x)f ( n 1) ( ) ( xx0 )n 1在 x0与 x 之间(n 1)!拉

17、格朗日型余项 2Rn(x)(x x0) n皮亚诺余项。o2、当x00得麦克劳林公式：f (x) f (0) f (0)xf (0) x22!f(n) (0)nR (x)xn!n三、常见函数的泰勒展开1)yexex1 xx2x ne xx n 12!n!(n 1)!-第 -28页-xR(01)2)ysin xsinx x x3x5( 1)m 1x2m 1Rn (x) x R3!5!(2m1)!3)ycosxy(1x) a四、函数的性态1、极值1定义：如在x0邻域内，恒有f xf x 0，f xf x 0，那么称 fx 0为函数 f x 的一个极大小值。可能极值点，f / x 不存在的点与 f /

18、 x0 的点。驻点驻点极值点2判别方法、导数变号。、 f/x0f(x0 )0极小值，0f(x 0 )极大值例 1、设 yf x满足关系式 y /2y /4y0 ，且f x0 ,f / x 00 ，那么f x在x0点处AA 、取得极大值B、取得最小值C 、在x0某邻域内单增D 、在x0某邻域内单减例 2函数f x对一切 x 满足xf/2xx3x fx1e如 f / x00 ， x 00，那么AA、f x0是fx 的极小值B、f x0是f x的极大值C、 x 0、f x 0是曲线的拐点-第 -29页-D、fx 0不是 fx的极值， x0、 fx 0也不是曲线 yf x 的拐点。例 3设函数 f x

19、在 x0 的某邻域内可导，f /0 0，lim f /(x)1，那么 f 0是 fx 的极 大 值。x 0 sin x22、函数的最大值与最小值（ 1求出a，b内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进展比拟，其中最大的小为最大小值。（ 2在a，b内可能极值点唯一，如是极小值那么为最小值；如是极大值那么为最大值。3如f0(0), f (a)f (b) 分别为最小,最大值。 4实际问题据题意可不判别。例 1、在抛物线 y4x 2上的第一象限局部求一点P，过 P 点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。解：设切点为 P x，y ，切线方程为Y4 x2x2x

20、 X即XY1x 24x 242x三角形面积：S(x)1(x 24) 21 (x38x16 ), 0 x 222x4x，/1216S (x)4(3x8 -x 2 )2S/ (x) 0 x3-第 -30页-28x,y33令S/(2 )0唯一328为所求点(， ) 故333、曲线的凹凸、拐点及渐近线在 I 上fx 可导如 f / x00 那么曲线yf x 是凹凸的,在连续曲线上凹凸局部的分界点称为曲线的拐点。可能的拐点f / x0和f / x 不存在的点例 1、fx1 3设，试讨论 fxxx2的性态。f / (x)(x - 1) 2 (x2),f / (x)6(x-1)x 3x 4f / (x)0x

21、 1,x -2,f /(x)0,x 1x(- ,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+ )y+0-间+0+y-断-0+y单调增极大值单减单增拐单增上凸f 2上凸上凸点下凸(1,270)4-第 -31页-渐近线如lim f(x)ax如 lim f(x)x x 0那么称那么称y a 为水平渐近线x x0为垂直渐近线-渐近线可能没有，或多条。例 2、求 y2x1渐近线斜渐近线不讨论(x1) 2解： lim2x10( x1)2x y0 为水平渐近线 lim2 x 1x 1( x1)2 x1垂直渐近线x x例 2、曲线 y的渐近线有4条( x1)( x2)4 证明不等式（ 1利用中值定理 R，L；

22、（ 2利用函数单调性；（ 3利用最值；（ 4引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；（ 5利用函数凹凸性；（ 6利用泰勒公式。例 1、当 0a b ，试b abb ablnaa即证：-第 -32页-1ln bln a1bbaa证：设yln x ，在 a,b 连续， ( a,b) 可导，由拉格朗日中值定理ln bln a1 (b a)即ln bln a 1bbaa1ln bln a1bbaa例 2、设x0 ，证明xln(1 x) x1x证： 设 f ( x)xln(1x)f / ( x)11x1x 1xf (x) 单增，当x0f ( x)f (0) 0 x ln(1 x )设f (x)ln(1x

23、)x1xf / ( x)1(112x01 xx)2(1x) 2f (x) 单增，当x0f ( x)f (0) 0-ln(1x)x-1x例 3、当x 0证明 x 21 ln x证： 令 f (x)x 21ln x (x 0)f / ( x)2 x21x-第 -33页-令 f / (x )0 得1x2驻点唯一， f / (x)x10x2 f ( 1 ) 极小 2 f ( 1 ) 为最小值 2即 x 0 f ( x ) f131 ln 2 0222例 4、当0x1p1证明 21 px p1x p1证 :设 f xx p1 xp0 x 1-f令 f/xpx p 1p 1x p 1x0 ,1x驻点唯一2

24、-f0f 11f1121 p22p 1当 p1 ,1 f x 在 0,1 上12p1最大值为1 ,最小值为 21p 21x p1p2p1-第 -34页-例 5、设e，证明lnln证明：即证ln x设f xxxe， f /x1ln x0x2xe 时fx单减当 lnln即例 6、设 fx 在 0, c 上可导，且f/x单调减， f 00证明： f abf af b， 0abab 。证：令 F xf xaf xf aF/ xf / xaf / xf / x 单调减a0 ， xax ，f/xaf / x F/ a 0 ，即F x单调减fx0 , b， F bF 00即f abf af b作业：见课后习

25、题第四章不定积分教学目的与要求1理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。2掌握不定积分的根本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。3求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。-第 -35页-一、 一元函数积分的概念、性质与根本定理1、原函数、不定积分在区间上，如F/ xf x ，称 f x 为 F x 的导函数，称F x 为 f x 的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。如 F x 为f x的一个原函数，那么F xC 为 f x 的全体原函数。记为f(x)dx ，即f(x)dx =F xC不定积积分性质(1)( f(x)dx )/f(x)或d f

26、(x)dx f x dx(2)F/ (x)dxF(x)C(3)k f(x)dxk f(x)dx(4) ( f(x) g(x)dx f(x)dxg(x)dx原函数与导函数有互逆关系,由导数表可得积分表。例、 F x 是ln x的一个原函数，x求： dF sin x解： F/(x)lnxxdF(sin x)dF(sinx) dsinxlnsinx cosxdxdsinxsinx例、 f x 的导函数是sin x，那么 f x 的原函数sin xc1 xc2，( c1、 c2为任意常数)例、在以下等式中，正确的结果是CA、f / (x)dxf xB、df(x)f(x)-第 -36页-C、df (x)

27、dx f(x)D 、d f (x)dx f(x)dx1112 )dx例、 x x (112 )dx x 2x 4(1xx35(x 4- x4 )dx714x 44x 4C72、计算方法10换元法第一类换元法凑微分法常用凑微分形式dkxkdxd xcdxex dxdex1 dxdlnxxcosxd sin x12dxd 1xx1dxdxsec2xdxd tan x2 x1dxd arcsin x1xdx d1 x 21 - x 2x 2- xdxd1 x 2sin 2x dxd sin 2x1 - x 2sin 2x dxd cos2x例：1、11112xdx32xd(3 2x)ln 3 2x c322-第 -