逻辑学 第七章复合命题的重言式及重言等值式推理

1、复合命题的重言式及重言等值式推理复合命题的重言式及重言等值式推理 一、复合命题公式的分类一、复合命题公式的分类 任何复合命题都可以用简单命题和五个基本的命题联结词任何复合命题都可以用简单命题和五个基本的命题联结词的组合来表达，任何复合命题的形式都可以用命题变项和五个的组合来表达，任何复合命题的形式都可以用命题变项和五个基本的真值联结词的组合来表示。基本的真值联结词的组合来表示。 这样表达出来的复合命题的形式，称之为复合命题公式这样表达出来的复合命题的形式，称之为复合命题公式. .复合命题公式根据其真假情况可分成三种。复合命题公式根据其真假情况可分成三种。 1 1、重言式、重言式 重言式就是指常

2、真的公式，也就是无论命题变项如何赋值重言式就是指常真的公式，也就是无论命题变项如何赋值（即变项无论为真还是为假），它总是真的。例如，（即变项无论为真还是为假），它总是真的。例如，pppp就就是个重言式。是个重言式。 2 2、矛盾式、矛盾式 矛盾式是指常假的公式，也就是无论命题变项如何赋值，矛盾式是指常假的公式，也就是无论命题变项如何赋值，它总是它总是假的，例如，假的，例如，pppp就是个矛盾式。就是个矛盾式。 3 3、可满足式、可满足式 可满足式就是指可真可假的公式，也就是在命题变项赋可满足式就是指可真可假的公式，也就是在命题变项赋值中，复合命题公式值中，复合命题公式可能为真，也可能为假可能为

3、真，也可能为假。例如，。例如，pqpq就是个可满足式。就是个可满足式。 二、重言式的判定方法二、重言式的判定方法 重言式反映逻辑规律，是进行正确推理的依据。重言式反映逻辑规律，是进行正确推理的依据。那么如何判定一个公式是否是重言式呢？那么如何判定一个公式是否是重言式呢？下面介绍两种判定方法。下面介绍两种判定方法。 1 1、真值表法、真值表法 真值表，就是指能真值表，就是指能显示一个真值形式在它的命题变项的各种显示一个真值形式在它的命题变项的各种真值组合下所取真值的图表。真值组合下所取真值的图表。 真值表法的判定程序有以下三个步骤：真值表法的判定程序有以下三个步骤： 第一，找出给定真值形式里的所

4、有变项，列出这些变项的第一，找出给定真值形式里的所有变项，列出这些变项的各种真值组合情况。各种真值组合情况。 例例1 （pq) q p其中变项为其中变项为p、q，其真值组合情况为：，其真值组合情况为： 第二，公式的构成过程，由简到繁地列举出该公式的各第二，公式的构成过程，由简到繁地列举出该公式的各个组成部分，最后为该公式本身。个组成部分，最后为该公式本身。 第三，第三，根据（根据（1）（5）五个基本真值形式的真值表）五个基本真值形式的真值表，一步，一步步地计算出步地计算出每个组成部分的真值每个组成部分的真值，最后得出该公式的真值。最后得出该公式的真值。如果如果这个公式在，否则就判定它不是重言式

5、。这个公式在，否则就判定它不是重言式。 例例2 判定下列公式是否是重言式：判定下列公式是否是重言式：pp，pp，p p。用真值表法判定如下：。用真值表法判定如下： 例例2 判定下列公式是否是重言式：判定下列公式是否是重言式：pp，pp，p p。用真值表法判定如下：。用真值表法判定如下： p p pp pp p p + + + + + 可见，可见，pp为重言式，而为重言式，而pp是可满足式，是可满足式，p p是矛盾式。是矛盾式。例例3 用真值表法判定公式（用真值表法判定公式（pq）（qr）（pr）是）是否为重言式。否为重言式。 p q r pq qr （pq)(qr) pr （pq）(qr)(p

6、r) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +例例3 用真值表法判定公式（用真值表法判定公式（pq）（qr）（pr）是）是否为重言式。否为重言式。 2、归谬赋值法、归谬赋值法 上面我们讲的真值表法可用来判定各种公式是否为重言式。但是，对于含上面我们讲的真值表法可用来判定各种公式是否为重言式。但是，对于含有较多命题变项的公式来说，尽管我们总能计算出最后的真值，用这种方法就有较多命题变项的公式来说，尽管我们总能计算出最后的真值，用这种方法就显得很繁琐。因此，我们引进了归谬赋值法。显得很繁琐。因此，我们

7、引进了归谬赋值法。 归谬赋值法只适用于蕴涵式。归谬赋值法只适用于蕴涵式。其主要思路是：如果一个蕴涵式是重言式，那么该公式的变项无论赋什么值，其主要思路是：如果一个蕴涵式是重言式，那么该公式的变项无论赋什么值，前件真而后件假是不可能的，即如果前件真而后件假，前件真而后件假是不可能的，即如果前件真而后件假，则命题变项在赋值时必则命题变项在赋值时必然导致逻辑矛盾。然导致逻辑矛盾。 例例1 判定（判定（pq） pq是否是重言式。是否是重言式。 假设这一蕴涵式的前件（假设这一蕴涵式的前件（pq） p为真，而后件为真，而后件q为假。为假。 则有则有 （p q） p q （1） - （2） + - （3）

8、+ + （4） + - - 其中，命题变项其中，命题变项p的赋值出现矛盾。既然出现矛盾，就表明原假设不成立的赋值出现矛盾。既然出现矛盾，就表明原假设不成立，即不可能是前件真而后假。，即不可能是前件真而后假。 所以，（所以，（pq） pq是重言式。是重言式。 从从例例1中可以看出，归谬赋值法的判定程序可分三个步骤：中可以看出，归谬赋值法的判定程序可分三个步骤： 第一，第一，假设被判定的公式为假，为此，要在主联结词下面假设被判定的公式为假，为此，要在主联结词下面写上写上“一一”； 第二，根据这一假设，即前件真而后件假，根据真值联结第二，根据这一假设，即前件真而后件假，根据真值联结词的逻辑性质，依次

9、对公式中的各部分公式赋以相应的真值，词的逻辑性质，依次对公式中的各部分公式赋以相应的真值，直到直到所有的命题变项被赋以确定的真值为止所有的命题变项被赋以确定的真值为止； 第三，检查所有命题第三，检查所有命题变项的真值，如果至少有一个命题变变项的真值，如果至少有一个命题变项赋值出现矛盾，那么这个被判定的公式就是重言式。项赋值出现矛盾，那么这个被判定的公式就是重言式。例例 （pq） p q例例 （pq）rp(qr) 例例 p q r p q r作业：判定下列公式是否是重言式作业：判定下列公式是否是重言式例例4 p q p q 例例 （pq） p q + + + + + - - + 因为这种假设未导

10、致矛盾，所以该公式不是重言式。因为这种假设未导致矛盾，所以该公式不是重言式。 例例 （pq）rp(qr) 这是个等值式。根据等值规则，可以将等值式化为两个蕴这是个等值式。根据等值规则，可以将等值式化为两个蕴涵式，然后分别判定两个蕴涵式是否是重言式。涵式，然后分别判定两个蕴涵式是否是重言式。 （1）（）（pq）r）（p(qr)） + - + + - - + - + - - 其中，其中，q的赋值出现矛盾，所以（的赋值出现矛盾，所以（1）式是重言式。）式是重言式。 （2）（）（p(qr)）（(pq)r） + + + + + + + 其中，其中，r的赋值出现矛盾，所以（的赋值出现矛盾，所以（2）式也是

11、重言式。）式也是重言式。 故（故（pq）r) (p(qr)是重言式。是重言式。 例例 在一起凶杀案中，侦查人员了解到以下一些情况：在一起凶杀案中，侦查人员了解到以下一些情况： （1）凶手是甲或乙或丙；）凶手是甲或乙或丙； （2）只有是盗窃杀人案，甲才是凶手；）只有是盗窃杀人案，甲才是凶手； （3）如果是盗窃杀人案，那么被害人的财物会丢失；）如果是盗窃杀人案，那么被害人的财物会丢失； （4）如果乙是凶手，那么案件发生在中午）如果乙是凶手，那么案件发生在中午12点以后；点以后； （5）案件发生在中午）案件发生在中午12点以前，并且被害人的财物没有丢点以前，并且被害人的财物没有丢失。失。解解 简单命

12、题用符号表示如下：简单命题用符号表示如下： p：甲是凶手：甲是凶手 q：乙是凶手：乙是凶手 r：丙是凶手：丙是凶手 s：本案是盗窃杀人案：本案是盗窃杀人案 t：被害人的财物丢失：被害人的财物丢失 u：案件发生在中午：案件发生在中午12点以后点以后 推理如下：推理如下： （1）1 pqr （2）2 s p （3）3 st （4）4 qu （5）5 u t （6）5 u （7）4、5 q （8）5 t （9）3、5 s （10）2、3、5 p （11）2、3、4、5 p q （12）1、2、3、4、5 r 例例 在一起凶杀案中，公安人员掌握了如下情况：在一起凶杀案中，公安人员掌握了如下情况： （1

13、）甲或乙是凶手；）甲或乙是凶手； （2）如果甲是凶手，那么作案地点不在办公室；）如果甲是凶手，那么作案地点不在办公室； （3）如果丙的证词真实，则办公室里有枪声；）如果丙的证词真实，则办公室里有枪声； （4）只有作案地点在办公室，丙的证词才不真实。）只有作案地点在办公室，丙的证词才不真实。 公安人员因此得出：如果办公室里无枪声，那么凶手是乙公安人员因此得出：如果办公室里无枪声，那么凶手是乙不是甲。不是甲。 问：此推理是否有效？问：此推理是否有效？ 解：简单命题用符号表示如下：解：简单命题用符号表示如下： p：甲是凶手：甲是凶手 q：乙是凶手：乙是凶手 r：作案地点在办公室：作案地点在办公室 s：丙证词真实：丙证词真实 t：办公室里有枪声：办公室里有枪声 判定如