第一章行列式.ppt课件

1、Ch1、行列式n阶行列式的定义阶行列式的定义行列式的性质行列式的性质行列式按行列展开行列式按行列展开克莱姆法那么克莱姆法那么返回返回上一页上一页下一页下一页1、n阶行列式的定义1、全陈列与逆序数、全陈列与逆序数 将将 这这n个数恣意组合后排成的数个数恣意组合后排成的数组组 称为一个称为一个n阶阶(全全)陈列，例如陈列，例如53214即为一个五阶全陈列。显然，即为一个五阶全陈列。显然，n阶陈列的总数阶陈列的总数为为n!。 在陈列中任取两个数，如前面的数大于在陈列中任取两个数，如前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序。后面的数，那么称它们构成一个逆序。n, 3 , 2 , 1njjj21返回

2、返回上一页上一页下一页下一页 (1) 一个陈列中一切逆序的总和称为此陈列的逆序数，记为t； (2) 逆序数为奇(偶) 数的陈列称为奇 (偶)陈列。参考题1、求以下陈列的逆序数 (1) 312; (2) 134782695; (3) ; (4) 解：(1) t=2; (2) t=1+1+3+3+1+1=10;321) 1(nnnn) 1(123返回返回上一页上一页下一页下一页 (3) ; (4) t=0。2、对换 将一个陈列中的两个数位置对调称为对换。 定理1：对换改动陈列的奇偶性。 定理2：在一切n阶陈列中，奇偶陈列各半，各为个 。2) 1(12)2() 1(nnnnt2! n返回返回上一页上

3、一页下一页下一页 证证: 设奇偶陈列分别为设奇偶陈列分别为p,q个个, 那么那么p+q=n!。 全部陈列全部陈列 全部陈列全部陈列 ，故，故p=q=n!/2 。3、二阶与三阶行列式、二阶与三阶行列式 引例：解二元线性方程组引例：解二元线性方程组 个奇个偶一次对换个偶个奇qpqp0,2112221122221211212111aaaabxaxabxaxa返回返回上一页上一页下一页下一页 解：用消元法易得解：用消元法易得 称为二阶行列式。称为二阶行列式。 假设记假设记 那么方程组的解可记为那么方程组的解可记为211222112112112211222112122211,aaaaabbaxaaaab

4、aabx2112221122211211aaaaaaaa2211112222121122211211,babaDababDaaaaD返回返回上一页上一页下一页下一页称为三阶行列式。22211211221111222221121122212111,aaaababaDDxaaaaababDDx322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa返回返回上一页上一页下一页下一页1212 21 253xxxx1225D 1 52 21D 1121 53 21,35D 2111 32 1123D

5、 12121,1DDxxDD 返回返回上一页上一页下一页下一页101211012D 返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页4、n阶行列式的定义阶行列式的定义 称为称为n阶行列式。阶行列式。 (1) n!项之和，正负各半；项之和，正负各半；(2) 每项为不同每项为不同行不同列的行不同列的n个元素之积个元素之积 ，其符号，其符号为为 ，t为陈列为陈列 的逆序数。的逆序数。 故故n阶行阶行列式的定义为列式的定义为 ijnnnnnnaaaaaaaaaaDdet212222111211记为1212njjnja aat) 1(njjj21 nnjjjtijaaaa2121) 1(

6、det返回返回上一页上一页下一页下一页112122112212nnnnnnaaaDa aaaaa1212( 1)ntPPnPDa aa返回返回上一页上一页下一页下一页1122( 1)tnna aa返回返回上一页上一页下一页下一页5、几种常用的特殊行列式、几种常用的特殊行列式 (1)上三角行列式上三角行列式 解：察看通项解：察看通项 知，要想知，要想使之不为零，必需使之不为零，必需 ，同理，同理 ，而，而 为为偶陈列，故偶陈列，故 。 nnnnnnnnaaaaaaaaD, 11, 122211211nnnjjnjjaaaa121121njn1211,2,1njnjjnnjjjn) 1(1221n

7、nnaaaD2211返回返回上一页上一页下一页下一页 (2)下三角行列式 (3)对角行列式 nnnnnaaaaaaD22112211nnnnnnnaaaaaaaaaD221121222111返回返回上一页上一页下一页下一页 (4)反对角行列式 解：对 ，必需 ，而 ，故得证。 11, 212)1(11, 21) 1(nnnnnnnnnaaaaaaDnnjjjaaa21211, 2, 1,121nnjjnjnj12()(1)21(1)/2nt j jjt n nn n返回返回上一页上一页下一页下一页2、行列式的性质 性质性质1：行列式与它的转置行列式相等，：行列式与它的转置行列式相等，即即 。

8、性质性质2：交换两行：交换两行(列列)，行列式仅改动符，行列式仅改动符号。号。 推论：假设两行推论：假设两行(列列)一样，那么行列式为一样，那么行列式为零。零。 证：证： ，故，故D=0。 性质性质3：用数：用数k乘某行乘某行(列列)等于用等于用k乘该行乘该行列式。列式。TDDDD列交换相同的两行返回返回上一页上一页下一页下一页 例如， 切记： nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaakaaaaaakakaka212222111211212222111211111211112121222212221212nnnnnnnnnnnnnnkakakaaaakakakaaaakDkkDkakakaa

9、aa返回返回上一页上一页下一页下一页 性质性质4：假设两行：假设两行(列列)成比例，那么行列成比例，那么行列式为零。式为零。证：证： 性质性质5：把某一行：把某一行(列列)各元素乘上同一数各元素乘上同一数后加到另一行后加到另一行(列列)对应元素，行列式不变。对应元素，行列式不变。 性质性质6：0211121111211211121111211nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaakaaaaaakakaka返回返回上一页上一页下一页下一页 性质7: 假设A,B均为n阶方阵，那么 注：计算行列式最常用的两种方法之一是利用行列式的性质将其化为上三角。nnnnknkknnnnnknkknnnnnk

10、nknkkkknaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa21211121121211121121221111211BABAAB返回返回上一页上一页下一页下一页 参考题参考题2、计算、计算 (1) (2) 解：解：(1)3351110243152113DbaaabaaabD 131213121534084602110211513301627D 5522521312131208460846400020020000065 返回返回上一页上一页下一页下一页 (2)212(2)121abaaaaDabbaabbaababab21(2) 00(2)()00aaabbaab baba返回

11、返回上一页上一页下一页下一页112211312D 121323( 2)( 3)( 1)1121121120336 0116 011028014003rrrrrrD返回返回上一页上一页下一页下一页122222222232222Dn返回返回上一页上一页下一页下一页21( 1)12001000020002000210021002020202rrDnn返回返回上一页上一页下一页下一页xaaaaxaaDaaxaaaax1xna1xna返回返回上一页上一页下一页下一页11111aaaxaaDxnaaxaaax11111aaaxaaDxnaaxaaax返回返回上一页上一页下一页下一页1000100000aa

12、axaxnaxaaxa11nxnaxa返回返回上一页上一页下一页下一页121212nnnxmxxxxmxDxxxm1niixm1niixm返回返回上一页上一页下一页下一页2212111nnniinxxxmxDxmxxm2212111nnniinxxxmxDxmxxm返回返回上一页上一页下一页下一页211110000nnnniiiixxmxmxmmm返回返回上一页上一页下一页下一页3、行列式按行列展开1、余子式和代数余子式、余子式和代数余子式 在在n阶行列式中，将阶行列式中，将 所在的第所在的第i行、第行、第j列划去后余下的列划去后余下的n1阶行列式称为阶行列式称为 的余子式，的余子式，记为记为

13、 ，而，而 称为称为 的代数余子式。的代数余子式。 在在 中，中， 的余子式的余子式ijaijaijMijjiijMA) 1(ija333231232221131211aaaaaaaaa12a3331232112aaaaM返回返回上一页上一页下一页下一页代数余子式 。2、行列式的展开法那么 定理3：行列式等于它的某一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 推论:行列式中某一行(列)的各元素与另一行 (列)对应元素代数余子式的乘积之和为 1 2121212( 1)AMM 1122iiiiininDa Aa Aa Ai按第 行展开1122jjjjnjnja Aa Aa Aj按第 列展开

14、返回返回上一页上一页下一页下一页零，即 。 综合定理和推论可得： 例如，jiAaAaAajninjiji,02211行jijiDAaAaAajninjiji02211jijiDAaAaAanjnijiji0221111121312132 1212223213233313233( 1)aaaaaaaaaaaaaa 111311122 22 3222331333132( 1)( 1)aaaaaaaaaa 返回返回上一页上一页下一页下一页 注：计算行列式最常用的两种方法之二注：计算行列式最常用的两种方法之二是利用展开法那么将行列式展开。是利用展开法那么将行列式展开。参考题参考题3、计算行列式、计算行

15、列式 解：解：3351110243152113D3 35111511111311 ( 1)111100105505530D 返回返回上一页上一页下一页下一页参考题4、证明范德蒙行列式51162620( 6) ( 5)2 ( 5)4055550 1112112222121111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxV返回返回上一页上一页下一页下一页1221224231141312nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx返回返回上一页上一页下一页下一页3040222207005322D 04034030030422222222222228700000070070 返回返回上

16、一页上一页下一页下一页13040222207001111D 返回返回上一页上一页下一页下一页3 21340( 1)( 7)22228111D 1414243444 14 24 34 4414243444142434411( 1)11 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)DAAAAMMMMMMMM 。返回返回上一页上一页下一页下一页1414214342393092141414001000214321622762423942774147730923012231212276276220214777211721112122560560 返回返回上一页上一页下一页下一页10100100114211

17、1411114 01156056016010014 11014061 返回返回上一页上一页下一页下一页0000000abbbbabbbDabba 1 11110( 1)00000nabbbabbAaaba 返回返回上一页上一页下一页下一页11( 1)0000nnbbbbabbbAbbab 返回返回上一页上一页下一页下一页1100000( 1)00000nnbabaAbaaba 12( 1)()nnb ba 112122( 1)()( 1)()nnnnnnDa abb baab ba 。返回返回上一页上一页下一页下一页4、克莱姆法那么1、伴随矩阵、伴随矩阵 定义：对方阵定义：对方阵A，由其行列式

18、，由其行列式 各元素的各元素的代数余子式构成的方阵代数余子式构成的方阵称为的伴随矩阵，记为称为的伴随矩阵，记为 。DnnnnnnAAAAAAAAA212221212111*A返回返回上一页上一页下一页下一页 例如， ， 。 定理4：对恣意方阵A， 证：343122321A222563462*AEAAAAA*mnmmnnaaaaaaaaaAA212222111211*AAAAAAAAAAAAnnnnnn212221212111返回返回上一页上一页下一页下一页 ，同理 ，即 。 定义：对方阵A，当 时，称之为奇特阵， 时，称之为非奇特阵。 定理5：A非奇特(即 ) 可逆，且 。 证：(必要性)由定

19、理4， 因A非奇特即 ，故 EAEAAA*EAAAAA*0A0A0AA*11AAAEAAAAA*0AEAAAAAA*11返回返回上一页上一页下一页下一页 由定义知，A可逆，且 。 (充分性)因A可逆，即有 ，使故 ，得 ，即A非奇特。 推论：假设 或 ，那么A,B互逆。 证： ， ，得 ， ，即A,B均可逆，且互为逆矩阵。参考题5、 ，求 ，其中 。*11AAA1AEAA11,11AAEAA0AEAB EBA EAB 1EBAAB0A0B abAcd1A0adbc返回返回上一页上一页下一页下一页 解：解： ，即，即A可逆，又可逆，又 故故 参考题参考题6、求、求 的逆阵。的逆阵。0bcadAa

20、cbdAAAAA22122111*acbdbcadA11343122321A返回返回上一页上一页下一页下一页 解：解： ，即，即A可逆，可逆， 故故 2、克莱姆法那么、克莱姆法那么 定理定理6：假设：假设n元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组02 A222563462*A222563462211Annnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111返回返回上一页上一页下一页下一页的系数行列式那么此方程组有独一解 其中Di是将D中的第i列元素用右端项替代后所得的行列式，即 0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaDniDDxii,

21、 2 , 1,nnninninniiiaabaaaabaaD11111111111返回返回上一页上一页下一页下一页 注：假设注：假设D=0，那么此方程组无解或有，那么此方程组无解或有无穷多组解。无穷多组解。 推论：对齐次线性方程组推论：对齐次线性方程组其有非零解的充要条件是系数行列式其有非零解的充要条件是系数行列式D=0。000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa返回返回上一页上一页下一页下一页123123132 31,4254, 3,xxxxxxxx2132111 14254213021101100D 111381381425112527

22、112301001D 返回返回上一页上一页下一页下一页221325151445481381131100D3111215154244281828303100D1231239, 1, 6DDDxxxDDD 返回返回上一页上一页下一页下一页1231231230,0,0 xxxxxxxxx。1111111111(2)11(2) 0101111001D返回返回上一页上一页下一页下一页2(2)(1)2(2)(1)02(2)(1)0返回返回上一页上一页下一页下一页123452221127312451112243150D 返回返回上一页上一页下一页下一页414243444541424344452227,222

23、0AAAAAAAAAA。41424344459,18AAAAA 1122,()0,()ijijinjnD ija Aa Aa Aij返回返回上一页上一页下一页下一页nD返回返回上一页上一页下一页下一页0000000000000nD返回返回上一页上一页下一页下一页110000000000( 1)0000000nnnD 返回返回上一页上一页下一页下一页1000000( 1)()0000000n nn11nnD 111nnnDD 返回返回上一页上一页下一页下一页于是12112212212212221nnnnnnnnnnDDDDnnn 返回返回上一页上一页下一页下一页12322221231111123

24、1111nnnnnnnnxxxxVxxxxxxxx返回返回上一页上一页下一页下一页123222212311111231111nnnnnnnnxxxxVxxxxxxxx1232221122331212121122331111000nnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxx xxx xxx xxx xxx xxx x返回返回上一页上一页下一页下一页按最后一列展开，得123122221122331113232323211223311121212121122331111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxx xxx xxx xxx xVxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx x 12311222212112312222123111111nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxx 返回返回上一页上一页下一页下一页123122221211231222212311111nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxx1211nnnnnxxxxxxV112112111nnnninnininiiixx Vxxxx V11231211jjnnjijijijijiij nxx Vxxxx