熵值法的原理及实例讲解

1、嫡值法1.算法简介燔值法是一种客观赋权法，其根据各项指标观测值所提供的信息的大小来确定指标权重。设有m个待评方案，n项评价指标，形成原始指标数据矩阵*=（七兀=，对于某项指标X）,指标值X”的差距越大，则该指标在综合评价中所起的作用越大：如果某项指标的指标值全部相等，则该指标在综合评价中不起作用。在信息论中，埼是对不确定性的一种度量。信息量越大，不确定性就越小，埼也就越小:信息最越小，不确定性就越大，燧也越大.根据燧的特性，我们可以通过计算尴值来判断一个方案的随机性及无序程度，也可以用燧值来判断某个指标的离散程度，指标的离散程度越大，该指标对综合评价的影响越大！因此，可根据各项指标的变异程度，

2、利用信息燔这个工H.计算出各个指标的权重，为多指标综合评价提供依据！2.算法实现过程2.1 数据矩阵A=；：其中X"为第i个方案第j个指标的数值x.X口】皿/nxm2.2 数据的非负数化处理由于墙值法计算采用的是各个方案某一指标占同一指标值总和的比值，因此不存在量纲的影响，不需要进行标准化处理，若数据中有负数，就需要对数据进行非负化处理！此外，为了避免求焙值时对数的无意义，需要进行数据平移：对于越大越好的指标：Xmin(X1j,X力,XQ.X,=+1,1=1,2,，n;jJmax(Xlj,X2j,.,Xnj)-miii(Xlj,X2j,.,Xnj)对于越小越好的指标：maxKjXzj

3、,一,%)-%.%=+1,1=1,2,11；j=1,2,，mJmax(X1j,X2j,，XGmm(XX，X.)为了方便起见，仍记非负化处理后的数据为X“2.3 计算第j项指标下第i个方案占该指标的比重片(j=l,2,-m)1=12.4 计算第j项指标的烟值ej=-k*之PJog?),其中kO.ln为自然对数，e3>0=,式中常数k与样本数in有关,i=l一般令k=%1m，则OVeKl2.5 计算第j项指标的差异系数.对于第j项指标，指标值X”的差异越大，对方案评价的作用越大，焙值就越小gj=lYj,则：gj越大指标越重要2.6 求权数Wj=,j=l,2mZgjj=l2.7 计算各方案的综

4、合得分(i=U,.-n)j-i3,墙值法的优缺点燧值法是根据各项指标指标值的变异程度来确定指标权数的，这是一种客观赋权法，避免了人为因素带来的偏差，但由于忽略了指标本身重要程度，行时确定的指标权数会与预期的结果相差甚远，同时烯值法不能减少评价指标的维数！理解精值法学习嫡值法，熔值法是一种理论的数学方法，从计算机科学角度上看，属于一种算法。要运用精值法当然要理解它，搞懂它。牖值法原理：焙的概念源于热力学，是对系统状态不确定性的一种度量。在信息论中信息是系统有序程度的一种度量。而墙是系统无序程度的一种度量,两者绝对值相等，但符号相反。根据此性质，可以利用评价中各方案的固有信息，通过精值法得到各个指

5、标的信息烯，信息熠越小，信息的无序度越低，其信息的效用值越大，指标的权重越大。具体的方法步骤见附图课件。燔是不确定性的度量，如果用Pj表示的j个信息不确定度（也即出现的概率）则破个信息（设有n个）的不确定度量也可用下式表示:S=-k£尸,ln(Py)这就是嫡。其中K为正常数，当各个信息发生的概率相等时，即Pj=l/n,S取值最大，此府烯最大。可利用嫡信息的概念确定权重,假设多属性决策矩阵如下：4xx24Xy.工”X、”Af=*一mLmlm2rnn.则用p=上(/m表示第7个成性下第i个方案4的贡献度。 可以用百来表示所有方案对属性%的贡献总量：mE/=-KZ舄In明)其中，常数K=l

6、/ln(m),Utk就能保证O=EjV=l,即耳最夫为1。由式中可以看出,当某个属性下各方案的贡献度趋于,致时，与趋广1：特别是当全相等时，也就可以不考虑该目标而屈性在决策中的作用，也即此时屈性的权重:为零。这样，可看出属性值由所有方案差异大小来决定权系数的大小.为此可定义可为第/屈性卜各方案贡献度公致性程度。dj=l-Ej 则各属性权重助如下：JdI< 当=0时，第j属性可以就除，其权乖等于0。 如果决策者事先已有些经验的主观估计权币A，则可借助上述的wj来对人进行修正。Z7» 埼值法最大的特点是宜接利用决策矩阵所纥小的片兄计算权重，而没有引入决策者的主观判断。利用Excel

7、进行熔值法计算求解1. 给出算例，题干是购买教车的一个决策矩阵，给出了四个方案供我们进行选择，每个方案中均有相同的六个属性，我们需要利用熠值法求出各属性的权S,级在方案中的贡献度。油耗功率费用安全性维护性操作性本田51.46357奥迪9230759桑塔纳81.81157别克122.5187552.一：求第j个属性下第i个方案Ai的贡献度，公式为附图一，在excel中，先求出各列的和，然后用每行的数值比上列和，形成新的矩阵，如附图2a2M=.可利用燧信息的概念确定权重，假设多属性决策矩阵如下：4则用p=_A_IX)表示第/个属性下第i个方案4的贡献度。L油耗功率急用安全性维护性操作性?本田51.

8、463573奥迪9230759桑塔纳81.8115755别克122.518755347.7652222267P矩阵30.1470390.181S18O.09230769O.136364O.227273O.2f192310.2647060.259740.46153«460.3181W20.2272730.3461540.2352940.233766。16923077O.2272730.31818?，192308120.3529410.3246750.276923080.3181820.2<3G."2S08）购买辛乔车决策矩阵3.求出所有方案对属性Xj的贡献总量，用附图一

9、所示的算法。在excel操作中，将刚才生成的矩阵每个元素变成每个元素与该In（元素）的积，如附图2所示。可以用马来表示所有方案对属性%的贡献总量：m马=-K1与In代）其中，常数K=l/ln（m）,武需，就能保证OKEfj即Ej最大为L由式中可以看出，当某个属性下各方案的贡献度趋于一致时，鸟趋于1;特别是当全相等时，也就可以不考虑该目标的属性在决策中的作用，也即此时属性的权重为零。0.1470590.1818180.092307690.1363640.2272730.2692310.2647060.259740.461538460.3181820.2272730.3461540.2352940

10、.2337660.169230770.2272730.3181820.1923080.3529410.3246750.276923080.3181820.2272730.1923081J1-0.2819-0.30995-0.2199349-0.2717-0.33673-0.35328-0.35183-0.35015-0.3568569-0.36436-0.33673-0.367220.34045-0.33976-0.3006371-0.33673-0.3643C-0.31705-0.36757-0.36524-0.3555735-0.36436-0.33673-C.317054. 求出常数k,

11、k为1/ln（方案数）,本例中有4个方案，4中车的类型，所以求得k为0.721348,再求k与新矩阵每一列和的乘积，这样获得的6个积为所有方案对属性xj的贡献度。至此所有的Ej就求出来了。-0.2819-0.30995-0.2199349-0.2717-0.33673-0.35328-0.35183-0.35015-0.3568569-0.36436-0.33673-0.36722-0.34045-0.339760.3006371-0.33673-0.36436-0.31705-0.36757-0.36524-0.3555735-0.36436-0.33673-0.31705-1.34175-

12、1.3651-1.2330024-1.33714-1.37455-1.354615. dj为第j属性下各方案贡献度的一致性程度。dj=l-Ej,利用上面求得的Ej,可以得到djCl9Ej=0.9678710.9847140.889423210.9645450.9915250.9771410Dj=0.0321290.0152860.110576790.0354550.0084750.0228596. 各属性权重为对应的dj与所有dj和的商©dj的和为0.22478,求得各89Ej=0DJ=1力之34属性的权重为0.140.070.490.160.040.100.9678710.9847140.889423210.9645450.9915250.9771410.0321290.0152860.110576790.0354550.0084750.0228590.224787.【二二工二工Q?Q.9QQ'Q】所以在购买汽车时，据所提供信息，利用燧