历年考研数学线代真题1987-2016(最新最全)

1、X|x2 x3 x4 0x2 2x3 2x4 1x2 (a 3)x3 2x43x1、2 x2x3 ax4历年考研数学一真题1987-20161987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(5)已知三维向量空间的基底为 因(1,1,0), 2 (1,0,1),% (0,1,1)，则向量b (2, 0, 0)在此基底下的坐标是 .三、(本题满分7分)3 0 1 设矩阵A和B满足关系式AB = A 2B,其中A 1 1 0 ,求矩阵B.0 1 4五、选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分.每小题给出的四个选项中，只有一

2、个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)设A为n阶方阵，且A的行列式|a | a 0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于(A)a(B)(C)an1(D)ana九、(本题满分8分)问a,b为何值时，现线性方程组精选有唯一解，无解，有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(4)设4阶矩阵A 的节，, B R刊其中% %,冷函均为4维列向量，且已知行列式|a| 4,|b| 1,则行列式A B=.三、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有

3、一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(5) n维向量组四, ,L , %(3 s n)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数 k1,k2,L ,ks,使K% k20c2 L ks 4 0(B)如0C2,L , OCs中任意两个向量均线性无关(C)如，a2,L , 0cs中存在一个向量不能用其余向量线性表小(D)如，出山，窕中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、(本题满分6分)1 0已知AP BP,其中B 0 00 0八、(本题满分8分)2 0 0010 00 ,P 21 0，求A,A5.已知矩阵A 0 0 1与B0 y 0相似.求X与y.(2)求一个满足P 1AP

4、B的可逆阵P.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）300100（5）设矩阵 A140,I010，则矩阵（A 21）1=.003001二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（5）设A是n阶矩阵，且A的行列式|A| 0,则A中（A）必有一列元素全为0（ B）必有两列元素对应成比例（C）必有一列向量是其余列向量的线性组合（D）任一列向量是其余列向量的线性组合三、（本题共3小题，每小题5分,满分15分）七、（本题满分6分）问为

5、何值时，线性方程组X4x16x1x2 2x3x2 4x3 22有解，并求出解的一般形式3八、（本题满分8分）假设 为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明 为a 1的特征值.（2） N为A的伴随矩阵A*的特征值.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）(5)已知向量组 oc1(1,2,3,4), oc2(2,3,4,5),0(3,4,5,6),以(4,5,6,7),则该向量组的秩是.二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（5）已

6、知自、8是非齐次线性方程组AX b的两个不同的解，的、W是对应其次线性方程组 AX 0的基础解析，K、侬为任意常数，则方程组 AX b的通解（一般解）必是(A)k1 0C1k2 ( O10C2 )(B) k1al k2( 01(C)七、k1 a1 k2 ( B12 )(本题满分6分)(D)1k2( 0fe)设四阶矩阵10B00110001100011,C2000120031204312且矩阵A满足关系式A(E1 _1B)C其中e为四阶单位矩阵,C 八、（本题满分8分）A.1表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵求一个正交变换化二次型f x12 4x2 4x2 4x1x2

7、4x1x3 8x2x3成标准型.1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学（ 一 ） 试卷一、填空题（ 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 把答案填在题中横线上）5200210 0（5）设4阶方阵A 2100，则a的逆阵a 1=.00120011二、选择题（ 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内）（5）设n阶方阵A、B、C满足关系式ABC E,其中E是n阶单位阵，则必有(A) acb e ( C) bac e(B) cbae(D) bcae七、 （本题满分8 分

8、）已知 的（1,0,2,3）,。2（1,1,3,5）, 03(1, 1,a 2,1), 04(1,2,4,a 8)及 b (i,i,b 3,5).（1） a、b为何值时，0不能表示成孙叼,如%的线性组合？（2） a、b为何值时，B有1 , 0（2, 0C3, 4的唯一的线性表小式？写出该表小式.八、 （本题满分6 分）设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A E的行列式大于1.1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一 ) 试卷( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 把答案填在题中横线上)a1b1a1b2 La1bn设A a2bla2bl La加 -其中 ai

9、0,b 0,(i 1,2,L ,n).则矩阵 a 的秩 r(A)=L LLL, i ianb1anb2Lanbn( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)10(5)要使& 0 , &1都是线性方程组ax 0的解，只要系数矩阵a为21(A)2 1 2(B)(C)1001011(D) 4220118、 (本题满分7 分)设向量组01, 02, 内线性相关,向量组02, (% , &线性无关，问:(1) 0能否由町饱线性表出？证明你的结论.(2) a能否由孙 如。3线性表出？证明你的结论.9、

10、 (本题满分7 分)设 3 阶矩阵 A 的特征值为1 1, 2 2, 3 3, 对应的特征向量依次为1111&1 , &2%3，又向量B 2 .1493将B用1 &, &线性表出.求An艮n为自然数).1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一 ) 试卷一、填空题( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 把答案填在题中横线上)(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n 1,则线性方程组AX 0的通解为.二、选择题( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括

11、号内)123(5) 已知 Q 2 4 t , P 为三阶非零矩阵, 且满足 PQ 0, 则369(A) t 6 时 P 的秩必为1 B) t 6 时 P 的秩必为2(C) t 6时P的秩必为1(D)t 6时P的秩必为27、 (本题满分8 分)已知二次型f(Xi,X2,X3)2x；3x23x22ax2X3(a0)通过正交变换化成标准形f y；2y25y；,求参数a及所用的正交变换矩阵.8、 (本题满分6 分)设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中n m,I是n阶单位矩阵，若AB I,证明B的列向量组线性无关.1994年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、填空题（本题共5小题,每小题3分,

12、满分15分.把答案填在题中横线上）（5）已知” 1,2,3, 1,1,设A a &其中a是a的转置，则A n =.2 3、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）已知向量组供，0C2,%的线性无关，则向量组(A)(C)线性无关线性无关(B) %(D)出82, 82出，口384 , 84的口2, 8283, 83%，的 内线性无关线性无关八、（本题满分8分)设四元线性齐次方程组(ij 为x1-IX2又已知某线性齐次方程组（n）的通解为 （1）求线性方程组（I）的基础解析.X2 0 , X40k1(0,1,1,0

13、)k2( 1,2,2,1).（2）问线性方程组（I ）和（H ）是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由.九、（本题满分6分）设A为n阶非零方阵，A*是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵，当A * A 时,证明A 0.1995年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上） 设三阶方阵a , B满足关系式A 1BA 6A BA ,且A00 ,贝1 B =17,把所选项前的字母填在题后的括号内）、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求a11(5)设 Aa21a

14、31(A) AP1P2 = B(C) P1P2A = B 八、(本题满分a12a22a32a13a23a33,B耳2a22a32a3010a23尸1100,P2a33001(B) AP2Pl = B(D) P2RA = B，则必有7分)设三阶实对称矩阵A的特征值为11,23 1,对应于1的特征向量为01，求 A.1九、（本题满分6分）设A为n阶矩阵，满足aaI（I是n阶单位矩阵，A是A的转置矩阵）,|A| 0,求A I1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)1 0 2设A是4 3矩阵，且A的秩r(A) 2,而B

15、0 2 0,则r(AB)=.1 0 3、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(5)四阶行列式a100b400a2 b2a3 b3bi0的值等于000a4(A) a1a2a3a4 b1b2b3b4(C) (aa2 bb)(a3a4 b3b4)八、(本题满分6分)(B)a1a2a3a4 bib2b3b4(D)(a2a3 b2b3)(aa4 bib4)设A I 2工其中I是n阶单位矩阵，见n维非零列向量，彳是工的转置.证明(1) A 2 A的充分条件是已2 1.(2)当士 1时，A是不可逆矩阵.九、(本题满分8

16、分)已知二次型 f(x1,x2,x3) 5x2 5x； cx32 2x1x2 6x1x3 6x2x3 的秩为 2, (1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.指出方程f(x1,x2,x3) 1表示何种二次曲面.(一 )试卷1997 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、填空题( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 把答案填在题中横线上)122设A 4 t 3旧为三阶非零矩阵，且AB 0,则1=.311二、选择题( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)a1b1c1

17、a1xb1yc10,(4) 设oc1a2,oc2b2,a3c2 , 则三条直线a2xb2yc20,a3b3c3a3xb3yc30(其中ai2 bi20,i 1,2,3 )交于一点的充要条件是(A) 0C1, 0C2, 03 线性相关(B) 0C1 , 0C2, 0C3线性无关(C)秩 r(01 ,0(2 ,03)秩 r ( ai,02)( D)01,0C2,03 线性相关,OC1,02 线性无关7、 ( 本题共 2 小题 , 第 (1) 小题 5 分 , 第 (2) 小题 6 分 , 满分 11 分 )设B是秩为2的5 4矩阵，的1,1,2,3:“2 1,1,4, 1T, “3 5, 1, 8

18、,9T是齐次线性方程组Bx 0的解向量，求Bx 0的解空间的一个标准正交基.1(2)已知己1是矩阵A12125 a 3 的一个特征向量.1b 21)试确定a,b参数及特征向量E所对应的特征值.2) 问 A 能否相似于对角阵?说明理由.8、 (本题满分5 分)设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.(1) 证明 B 可逆 .(2) 求 AB 1 .1998年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）设A为n阶矩阵，|A| 0,A为a的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵.若a有特征值，则（A）2 E必有特征值.二

19、、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （4）设矩阵ab Ga2b2c2是满秩的，则直线x a3 yb3zc3与直线xa1yb1zc1,a1a2b1b2。 C2a?a3b2b3C2C3a3 b3 c3（A）相交于一点（B）重合（C）平行但不重合（D）异面十、（本题满分6分）已知二次曲面方程x2 ay2 z2 2bxy 2xz 2yz 4可以经过正交变换y P化为椭圆柱面方程 2 4 2 4,求a, b的值和正交矩阵P.十一、（本题满分4分）设A是n阶矩阵，若存在正整数k,使线性方程组A kx 0有解向量蠲

20、且Ak1a 0.证明：向量组的Aa,L ,Ak1a是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组（I ）a12x2a22X2a1,2nx2na2,2nx2an,2nx2bnX的一个基础解析为(b111bl2,L ,b1,2n)T,(b21,b22,L ,b2,2n)T,L ,(bn1,bn2,L ,bn,2n)T.试写出线性方程组(H )b12 y2Lb22 y2L。2口丫2n b2,2n y2bn1XMbn2 y2 Lbn,2n 丫2的通解，并说明理由.1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一 ) 试卷一、填空题( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 把答案

21、填在题中横线上)(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 .二、选择题( 本题共 5 小题 , 每小题 3 分 , 满分 15 分 . 每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)设A是m n矩阵，B是n m矩阵，则(A) 当 m n 时 , 必有行列式| AB | 0( B) 当 m n 时 , 必有行列式| AB | 0( C) 当 n m 时 , 必有行列式| AB | 0( D) 当 n m 时 , 必有行列式| AB | 0十、 ( 本题满分8 分 )a1设矩阵 A 5 b1c0c3 , 其行列式| A |a1,又A的伴随矩阵A*有一

22、个特征值,属于的一个特征向量为a ( 1, 1,1)T,求a,b,c和0的值.( 本题满分6 分 )设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m n实矩阵，bt为B的转置矩阵，试证btab为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B) n2000年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、填空题（本题共5小题，每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上）1 21%1（4）已知方程组2 3a 2 X23无解，则2 =.1a2X30二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分.设n维列向量组g,L,am（m n）线性无关，则n维列向量组 加L ,配线性无关的充分必要条件为（A）向量组的,L ,即可由向量组

23、0,L ,南线性表示（B）向量组瓯L ,际可由向量组 如L,即线性表示（C）向量组的,L ,即与向量组0,L ,际等价 （D）矩阵A （卬L ,%）与矩阵B （,国）等价十、（本题满分6分）*设矩阵A的伴随矩阵A100001001010,且ABA 1 BA 1 3E ,其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B .0308H 、（本题满分8分）某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计然后熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为Xn和,记成向量Xnyn求xn1与xn的关系式并写

24、成矩阵形式：xn1 A xn . yn 1ynyn 1yn1（2）验证月4 ,於 1是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值.（3）当x12时，求Xn111y yn 122001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(4)设A 2 A 4E O,则(A 2E) 1 =.、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)1111设A 1111111111110000，则 A与 B00000000(A)合同且相似(C)不合同但相似(B)合同

25、但不相似 (D)不合同且不相似九、(本题满分6分)设0C1 ,0C2,L , Ofc为线性方程组AX O的一个基础解系，向t10C112a2,也t10C2t2O3,L,&t1OCst2 Otj,其中t1,t2为实常数，试问t1 ,t2满足什么条件时加gL , 3也为AX O的一个基础解系？十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,A2X线性无关，且满足A3x 3Ax 2A2x.(1)记 P (x,Ax,A2x),求 B 使 A PBP 1 .(2)计算行列式|A E .2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.把答案

26、填在题中横线上)(4)已知实二次型f(x1,x2,x3)a(x12x2x2)4x1 x24x1x34x2x3经正交变换可化为标准型f6yl2,则2=.二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(4)设有三张不同平面，具方程为aix by gz di (i 1,2,3 )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为九、(本题满分6分)已知四阶方阵 A (g，a2,a3, 04) ,0cl,a2,a3,a4均为四维列向量，其中a2,g，a4线性无关，2 a2a3 .若00c

27、la2a3% ,求线性方程组A x 0的通解.十、(本题满分8分)设A,B为同阶方阵，(1)若A,B相似，证明A,B的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当A ,B为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）1111 （4）从R2的基w , % 到基B , &的过渡矩阵为0112、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （4）设向量组1: 0cl，町L ,

28、与可由向量组II : 3, 0,L , &线性表示，则（A）当r s时，向量组II必线性相关（B）当r s时，向量组II必线性相关（C）当r s时，向量组I必线性相关（D）当r s时，向量组I必线性相关（5）设有齐次线性方程组Ax 0和Bx 0,其中A,B均为m n矩阵，现有4个命题：若Ax 0的解均是Bx 0的解，则秩（A）秩（B）若秩（A）秩（B）,则Ax 0的解均是Bx 0的解若Ax 0与Bx 0同解，则秩（A）秩（B）若秩（A）秩（B）,则Ax 0与Bx以上命题中正确的是（A）（B）九、（本题满分10分）3220 10设矩阵 A 232, P 1 01, B0同解(C)(D)P %*P

29、 ,求B 2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.十、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为l: ax 2by 3c 0, l2 : bx 2cy 3a 0,l3: cx 2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)2 1 0(5)设矩阵A 1 2 0 ,矩阵B满足ABA* 2BA*巳其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B =0 0 1、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，

30、只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B ,再把B的第2列加到第3列得C ,则满足AQ C的可逆矩阵Q为0 1 0(A) 1 0 01 0 10 1 1(D) 1 0 00 0 1010010(B) 1 0 1(C) 1 0 0001011(12)设A,B为满足ABO的任意两个非零矩阵，则必有(A) A的列向量组线性相关(C) A的行向量组线性相关(20)(本题满分9分),B的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关(B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关(1 a)x

31、X2 L Xn 0,设有齐次线性方程组2xi (2 a)x2 L 2xn L L L L L L0,(n 2)37nx nx2 L (n a)xn0,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵A1 43的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(5)设%血，的均为3维列向量,记矩阵A(01,a2,03), B (如a2a3,o12 a24 03,O13 a29a3),如果A| 1,那么|B二、选择题(本题共8小题，每小题4

32、分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(11)设1, 2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为,a2,则, A(凶 的)线性无关的充分必要条件是(A) i 0(B) 2 0(C) i 0(D) 2 0(12)设A为n(n 2)阶可逆矩阵，父换A的第1行与第2行得矩阵B.A ,B分别为A,B的伴随矩阵，则(A)父换A的第1列与第2列得B(B)父换A的第1行与第2行得B(C)父换A的第1列与第2列得B(D)父换A的第1行与第2行得B(20)(本题满分9分)已知二次型 f(x1,X2,X3) (1 a)x； (1 a)x； 2x2

33、2(1 a)xx2 的秩为 2.(1)求a的值；(2)求正交变换x Qy,把f (x1, x2,x3)化成标准形.(3)求方程 f (x1, x2, x3) =0 的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B1 2 32 4 6 (卜为常数)，且人8 O,求线性方程组Ax 0的通解.3 6k2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)2 1一 .一 ,一 设矩阵A, E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA B 2E,则B =.1 2(6)设随机变量X与Y相互独立，且均服从

34、区间0,3上的均匀分布，则P maxX,Y 1 =.二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (11)设01, a2,L , 0cs，均为n维列向量，A是m n矩阵，下列选项正确的是(A)若叫ot2, L , %,线性相关，则A %, A %L , A %,线性相关(B)若町牝上，,线性相关，则A % A 2,L ,A %,线性无关(C)若, ot2, L , %,线性无关，则A %, A %L , A %,线性相关(D)若, ,L , %,线性无关，则A % A牝上，A %,线性无关.1 1 0(12)

35、设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B ,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C ,记P 0 1 0 ,则0 0 11 1TT(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组(A) C P 1AP(B) C PAP 1(C) C PTAP(D) C PAP TX| x2 x3 x414x1 3x2 5x3 x41有3个线性无关的解ax1x2 3x3 bx4 1(1)证明方程组系数矩阵A的秩r2.(2)求a,b的值及方程组的通解(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量出(1)求A的特征值与特征向量.(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A ,使得QTAQ A .1,2, 1 T

36、, 0C20, 1,1 T是线性方程组Ax 0的两个解.2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一 )试卷( 本题共 10 小题 , 每小题 4 分 , 满分 40 分 , 在每小题给的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后括号内)(7)设向量组 卬如03线性无关,则下列向量组线形相关的是(A) % 如 0C2(8) 设矩阵 A0C3, &Oi211i2 ii i2(B) % a2, a2 a3, a3i000 1 0 ,则A与B000(C) %2 oc2,a22o3,oc32al( D) o) 202, oc2 203,oc32al(A) 合同 , 且相似( B)

37、 合同 , 但不相似( C) 不合同 , 但相似( D) 既不合同, 也不相似(11 16 小题 , 每小题 4 分 , 共 24 分 , 请将答案写在答题纸指定位置上)0100(15) 设矩阵 A则A3的秩为001000010000(21)( 本题满分11 分 )x1 x2 x30设线性方程组x1 2x2 ax3 0 , 与方程x1 2x22x1 4x2 a x3 0x3(22)( 本题满分11 分 )设3阶实对称矩阵A的特征向量值1 1, 2 2, 32.的a 1, 有公共解, 求 a 的值及所有公共解.(1, 1,1)T是A的属于特征值i的一个特征向量，记BA5 4A3 E, 其中 E

38、为 3阶单位矩阵 .(1)验证出是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量(2) 求矩阵 B .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (5)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若A3 0,则(A) E A不可逆，E A不可逆(B)E A不可逆，E A可逆(C) E A可逆，E A可逆(D)E A可逆，E A不可逆、填空题(9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)设A为2阶矩阵，孙牝为线性无关的2维列向量，A

39、的0,Aa2 2al电，则A的非零特征值为 .(20)(本题满分11分)A aT 0 T,1为a的转置，1为0的转置.证明：(1) r(A) 2. (2)若 B线性相关，则 r(A) 2.(21)(本题满分11分)设矩阵A(1)求证A2a 12_-a 2a OO O 1a2 2a(2) a为何值,方程组有唯一解,现矩阵A满足方程AXn n，求 X1.B,其中XX1,L ,Xn T, B 1,0,L ,0(3) a为何值,方程组有无穷多解，求通解.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷、选择题(1-8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选

40、项前的字母填在题后的括号内.)11(5)设出, a2, 03是3维向重仝向R的一组基，则由基内, %,-%231到基0cl的过渡矩阵为1(A) 201(B) 0121(C) 1212141414161616121(D) J416121416121416(6)设A, B均为2阶矩阵，A ,B分别为A, B的伴随矩阵,若A2, B 3,则分块矩阵A 的伴随矩阵为O_ *(A) O 3B2A O_ *(B) O* 2B 3A O_ *(C) O 3A2B O_ *(D) O 2A3B O、填空题(9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.)2,其中7为a的转置，则矩阵0 T的

41、非零特征值为(13)若3维列向量% (满足aT(20)(本题满分11分)11日的匕的所有向量6 1(2)对中的任意向量&, &证明&,&, &无关.(21)(本题满分11分)设二次型f X,X2,X3ax2 ax2a 1 x2 2x1X3 2x2X3.(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;(2)若二次型f的规范形为y； y2,求a的值.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)、选择题(1-8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中(5)设A为m n型矩阵，B为n m型矩阵，若AB E,则(A)秩(A) m,秩(B

42、) m(6)设A为4阶对称矩阵，且A2 A(B)秩(A) m,秩(B) n (0,若A的秩为3,则A相似于C)秩(A) n,秩(B) m(D)秩(A) n,秩(B) n(A)(B)(C)(D)二、填空题(9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.)(13)设的(1,2, 1,0)T,叱(1,1,0,2)T, % (2,1,1, )T,若由孙如为形成的向量空间的维数是2,则=.(20)(本题满分11分)11设 A 01 0 ,b11a1，已知线性方程组Ax1b存在两个不同的解.求，a.(2)求方程组Ax b的通解.(21)(本题满分11分)22 T设一次型f (Xi ,X

43、2, X3) x Ax在正父变换x Qy下的标准形为y y2,且Q的第二列为(,0,).22(1)求 A.(2)证明A E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵.2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学（ 一 ） 试卷.)0001，10一、选择题（1-8 小题 , 每小题 4 分 , 共 32 分 , 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内10015、设A为3阶矩阵，把A的第二列加到第一列得到矩阵B ,再交换B的第二行与第3行得到单位阵E,记P11 1 0 , P200010则A=（）AP1P2BP11 P2CP2P1DP21 P16、设A （ i

44、2 3 4）是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若（1,0,1,0）T是Ax 0的一个基础解系，则A*x 0的基础解系可为（）A13B12C123D 234二、填空题：9 14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定的位置上。13、若二次曲面的方程x2 3y2 z2 2axy 2xz 2yz 4，经正交变换化为y12y224，则a 20、 （本题满分11 分）设向量组 1（1,0,1）T,2 （0,1,1）T ,3 （1,3,5）T不能由向量组 1（1,1,1）T,2（1,2,3）T,3 （3,4,a）T 线性表示；（1）求a的值；（ 2） 将 1 , 2, 3用 1, 2, 3

45、线性表示；21、 （本题满分11 分）11001111A为3阶实对称矩阵，A的秩为2,且A 0 0-1 1求（1） A 的特征值与特征向量（ 2）矩阵 A一、选择题: 定位置上.18小题，每小题2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指(5)00 ,C1C211 ,C311其中Ci。为任意常数,C4则下列向量组线性相关的是（(A)(B)(C)1, 3 , 4(D)2 , 3, 4(6)设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵，且1AP1, 2 , 3，Q 12, 2, 3贝 UQ 1AQ(A)1(

46、B)12(C)2(D)、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分,2请将答案写在答题纸指定位置上.(13)设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E xxT的秩为(20)1（本题满分10分）设A 0a1001100(21)求A已知线性方程组 Ax b有无穷多解,并求Ax b的通解。10（本题满分10分）三阶矩阵A 0 11 0,AT为矩阵A的转置，已知r（ATA） 2,且二次型fxT ATAx。1）求a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。2013硕士研究生入学考试数学一5 .设A, B, C均为n阶矩阵，若AB=C,且B可逆，则()A.矩阵C的行向量组与

47、矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩P$ C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价1 a 12 0 06 .矩阵a b a与0 b 0相似的充分必要条件为()1 a 10 0 0A. a 0,b 2 B. a 0,b为任意常数 C. a 2,b 0 D. a 2,b为任意常数13.设A=(aij)是3阶非零矩阵,A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i, j=1,2,3),则| A| =20 .(本题满分11分)1a0 1设A a ,B 0 1 ,当a, b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。1 01 ba1b1a2 ，b2a3b32(bX12x2 4x3) , I己002y2T ；f在正交变换下的标准形为2y221 .(本题满分11分)设二次型 f(x1,x2,x3