113导数的几何意义－公开课

1、Email: 知识回顾知识回顾00( )( ) f xxf xyxx(1) 函数平均变化率函数平均变化率几何意义：几何意义：OABxyy=f(x)x0 x0+xf(x0)f(X0+x)xy00000()( )( )limlimxxf xxf xyf xxx (2) 导数的定义导数的定义割线割线AB的斜率的斜率问题探究问题探究PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P, ,即即 0时时, ,割线割线PPn 趋于趋于确定位置确定位置PT. .则我们把直线则我们把直线PT称为称为曲线在点曲线在点P处的切线处的切线. .xyx图像观摩图像观摩新课探究新

2、课探究 割线割线PPn的斜率的斜率kn与切线与切线PT的斜率的斜率k有什有什么关系么关系?当点当点Pn无限趋近于点无限趋近于点P即即x0时时, kn无无限趋近于切线限趋近于切线PT的斜率的斜率k .0000()( )limlimnxxf xxf xkkx 导数的几何意义导数的几何意义即即: :0000()( )( )limxf xxf xkf xx 切 线提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ;用途用途: :函数函数f(x)在在x=x0处的导数就是切线处的导数就是切线PT的斜率的斜率切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.通过

3、通过无限无限逼近逼近的方法，将割线的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为趋于的确定位置的直线定义为切线切线（交点可能不惟一）（交点可能不惟一）适用适用于各种曲线。所以，这种定义于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质才真正反映了切线的直观本质. . 2l1lxyABC问题：问题：1、回顾如何判断一条直线为、回顾如何判断一条直线为圆的切线？圆的切线？对比巩固对比巩固2、如左图、如左图, 直线直线l1,l2是否为切是否为切线？线？例例1:1:如图如图, ,它表示跳水运动中高度随时间变化的函它表示跳水运动中高度随时间变化的函数数 的图象的图象. .根据图象根据图象, ,请描述、请描述、

4、比较曲线比较曲线h(t)在在t0, t1, t2 附近的变化情况附近的变化情况. .应用应用2( )4.96.510h ttt例题分析例题分析解：解：我们用曲线我们用曲线h(t)在在t0,t1,t2处的切线，刻画曲线处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况在上述三个时刻附近的变化情况.(1) 当当t=t0时时,曲线曲线h(t)在在t0处的切线处的切线l0平行于平行于x轴轴.所所以以, 在在t=t0附近曲线比较平坦附近曲线比较平坦,几乎没有下降几乎没有下降. (2) 当当t=t1时时,曲线曲线h(t)在在t1处的切线处的切线l1的斜的斜h(t1)0. 所以所以, 在在t=t1附近曲

5、线下降附近曲线下降, 即函数即函数h(t)在在t=t1附附 近单调递减近单调递减. (3)当当t=t2时时,曲线曲线h(t)在在t2处的切线处的切线l2的斜率的斜率h(t2)0. 所以所以,在在t=t2附近曲线下降附近曲线下降, 即函数即函数h(t)在在t=t2附近附近也单调递减也单调递减. 与与t2相比相比, 曲线在曲线在t1附近下降得缓慢些附近下降得缓慢些.如图如图, ,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 的的 图象图象. . 请描述、比较曲线请描述、比较曲线h(t)在在 t3, t4 附近的变化情况？附近的变化情况？练习练习2( )4.96.510h

6、 tttl4l3应用应用例例2:2:求曲线求曲线y=x2+1在点在点P(1,2)处的切线斜率及切线方程处的切线斜率及切线方程.QPxy-111OjMyx0002200()( )lim(1)1 (1 1)2()limlim2.xxxf xxf xkxxxxxx 求曲线上某点处的切线方程的步骤求曲线上某点处的切线方程的步骤: :21yx解：解：切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.因此, 切线的斜率k=2； 求出函数求出函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数f(x0); 利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.变式训练变式训练2、已知曲线、已知曲线 在点在点 处的切线的斜处的切线的斜率为率为16，则点，则点 的坐标为的坐标为_.22+4yxxpp1、曲线、曲线 在点在点 处的切线的处的切线的倾斜角为倾斜角为( )21-62yx11(1)2，-A.90 。 B.45 。 C.135 。 D.60。（3，30）B一个概念：一个概念：曲线在某点的切线曲线在某点的切线 两种题型两种题型: :(1)(1)研究函数图像的变化趋势研究函数图像