113导数的几何意义（共63张）

1、1.1.3 导数的几何意义一、导数的几何意义一、导数的几何意义1.1.切线的概念切线的概念: :如图如图, ,对于割线对于割线PPPPn n, ,当点当点P Pn n趋近于点趋近于点P P时时, ,割线割线PPPPn n趋近于确定的位置趋近于确定的位置, ,这个确定位置的直线这个确定位置的直线PTPT称为点称为点P P处的处的_._.切线切线2.2.导数的几何意义导数的几何意义: :函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数就是切线处的导数就是切线PTPT的的斜率斜率k,k,即即k= .k= .000 x0f(xx)f(x )limf (x )x 思考：思考：割线割线PPP

2、Pn n的斜率的斜率k kn n与切线与切线PTPT的斜率的斜率k k有什么关系？有什么关系？提示：提示：割线割线PPPPn n的斜率是的斜率是 当点当点P Pn n沿着曲线无沿着曲线无限趋近于点限趋近于点P P时时,k,kn n无限趋近于切线无限趋近于切线PTPT的斜率的斜率k.k.n0nn0f(x )f(x )k,xx二、导函数的概念二、导函数的概念1.1.定义定义: :当当x x变化时变化时,_,_便是便是x x的一个函数的一个函数, ,我们称它为我们称它为f(x)f(x)的导函数的导函数( (简称简称_)._).2.2.记法记法:f:f(x)(x)或或y y, ,即即f f(x)=y(

3、x)=y= .= . f(x)f(x)导数导数x0f(xx)f(x)limx 判断：判断：( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)导函数导函数f(x)f(x)的定义域与函数的定义域与函数f(x)f(x)的定义域相同的定义域相同.( ).( )(2)(2)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2的导数是的导数是f(x)=2x.( )f(x)=2x.( )(3)(3)函数函数f(x)=0f(x)=0没有导函数没有导函数.( ).( )提示：提示：(1)(1)正确正确. .导函数导函数f(x)f(x)与原来的函数与原来的函数f(x)f(x)有相同的定有相同的定义域义域.

4、 .(2)(2)正确正确. .可利用导数定义求可利用导数定义求f(x)=xf(x)=x2 2在在x=xx=x0 0处的导数处的导数, ,再把再把x x0 0换换成成x x即可即可. .(3)(3)错误错误. .函数函数f(x)=0f(x)=0上每一点的导数都是上每一点的导数都是0,0,函数函数f(x)=0f(x)=0的导的导函数是函数是f(x)=0.f(x)=0.答案：答案：(1) (2) (3)(1) (2) (3)【知识点拨知识点拨】1.1.对切线的三点说明对切线的三点说明(1)(1)曲线上一点是否有切线，要根据割线是否有无限趋近的位曲线上一点是否有切线，要根据割线是否有无限趋近的位置来判

5、断置来判断. .若有，则在此点有切线若有，则在此点有切线, ,且切线是唯一的且切线是唯一的; ;若没有若没有, ,则在此点处无切线则在此点处无切线. .(2)(2)曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点曲线的切线并不一定与曲线只有一个公共点, ,可以有多个可以有多个公共点公共点. .(3)(3)若函数若函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处有导数，则在该点处函数处有导数，则在该点处函数f(x)f(x)的曲线的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率必有切线，且导数值是该切线的斜率. .若函数若函数f(x)f(x)在在x x0 0处导数处导数不存在，则在该点处的切线斜率不存在，但切线存在，切线不

6、存在，则在该点处的切线斜率不存在，但切线存在，切线的倾斜角为直角的倾斜角为直角. .2.2.函数函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0) )、导函数、导函数f(x)f(x)之间的区之间的区别与联系别与联系(1)(1)函数在一点处的导数函数在一点处的导数f(xf(x0 0),),就是在该点处函数值的改变就是在该点处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限值量与自变量的改变量之比的极限值, ,它是一个常数它是一个常数, ,不是变数不是变数. .(2)(2)导函数是指函数在某一区间内任一点导函数是指函数在某一区间内任一点x x的导数构成的函数的导数构成的函数. .

7、(3)(3)函数函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处的导数处的导数f(xf(x0 0) )就是导函数就是导函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的函数值处的函数值, ,这也是求函数在点这也是求函数在点x x0 0处的导数的方法之一处的导数的方法之一. .类型类型 一一 求曲线上在一点处切线的方程求曲线上在一点处切线的方程 【典型例题典型例题】1.(20131.(2013宿州高二检测宿州高二检测) )曲线曲线 在点在点 处的切处的切线方程为线方程为_._.21yx223(1)2，2.2.如图，已知曲线如图，已知曲线 上一点上一点求求:(1):(1)点点P P处的切线的斜率处的切线的斜

8、率. .(2)(2)点点P P处的切线方程处的切线方程. .31yx38P(2, ),3【解题探究解题探究】1.1.求曲线上一点的切线方程的关键是什么？求曲线上一点的切线方程的关键是什么？2.(1)2.(1)曲线曲线 在在x=2x=2处的导数的意义是什么？处的导数的意义是什么？(2)(2)过点过点P(xP(x0 0,y,y0 0),),斜率为斜率为k k的直线方程是什么的直线方程是什么? ?探究提示：探究提示：1.1.关键是求曲线上切点处切线的斜率关键是求曲线上切点处切线的斜率, ,即求该点的导数即求该点的导数. .2.(1)2.(1)曲线曲线 在在x=2x=2处的导数就是该点切线的斜率处的导

9、数就是该点切线的斜率. .(2)y-y(2)y-y0 0=k(x-x=k(x-x0 0).).31yx331yx3【解析解析】1.1.因为因为所以切线的斜率所以切线的斜率k k1.1.所以所求的切线方程为所以所求的切线方程为答案答案: :22x011 (1x)2(12)22ylimx x01lim(1x) 12 ，5xy0.25xy022.(1)2.(1)因为因为所以当所以当x x0 0=2=2时，时，y=y= = =所以所以f(2)=4.f(2)=4.即点即点P P处的切线的斜率为处的切线的斜率为4. 4. 31yf(x)x ,333x0 x011(2x)2y33limlimxx 223x0

10、13 2x3 2( x)( x)lim3x 222x01lim 3 23 2 x( x)24.3 (2)(2)在点在点P P处的切线方程是处的切线方程是即即12x-3y-16=0.12x-3y-16=0.8y4(x2),3【拓展提升拓展提升】1.1.求函数求函数y=f(x)y=f(x)的导数的三个步骤的导数的三个步骤(1)y=f(x+x)-f(x).(1)y=f(x+x)-f(x).(2)(2)(3)(3)yf(xx)f(x).xxx0yyf (x)lim.x 2.2.求曲线上某点处的切线方程的基本步骤求曲线上某点处的切线方程的基本步骤(1)(1)求出该点的坐标求出该点的坐标. .(2)(2)

11、求出函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率求出函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率. .(3)(3)利用点斜式写出切线方程利用点斜式写出切线方程. .【变式训练变式训练】求曲线求曲线 在点在点 处的切线的斜率，并写处的切线的斜率，并写出切线方程出切线方程. .【解析解析】因为因为所以切线的斜率所以切线的斜率所以切线方程为所以切线方程为y y2 24(x4(x ) )，即，即4x4xy y4 40.0.1yx1(2)2，x0 x011yxxxylimlimxx 22x011limxx xx ，1x2ky |4.12 过一点求曲线的切线方程过一点求曲线的切线方程【典型例题典型例题

12、】1.1.过点过点(-2(-2，0)0)且与曲线且与曲线 相切的直线方程为相切的直线方程为_._.2.2.已知曲线已知曲线 和点和点A(1,0),A(1,0),求过点求过点A A的切线方程的切线方程. .xf(x)x231yx3【解析解析】1.1.可以验证点可以验证点(-2(-2，0)0)不在曲线上，设切点为不在曲线上，设切点为P(xP(x0 0,y,y0 0) )，其中，其中由由= = =000 xyx2，00000 x0 xxxxx2x2f (x )limx x0002lim(x2)(xx2) 202,(x2)所以，切线方程为所以，切线方程为又点又点(-2(-2，0)0)在切线上，在切线上

13、，所以所以解得解得x x0 0=2,=2,所以所以因此切线方程为：因此切线方程为：x-8y+2=0.x-8y+2=0.答案：答案：x-8y+2=0 x-8y+2=000200 x2y(xx ),x2(x2)00200 x2( 2x ),x2(x2) 01y,22.2.设切点为设切点为P(xP(x0 0, x, x0 03 3),),则切线的斜率为则切线的斜率为k=f(xk=f(x0 0)=)=所以切线方程为所以切线方程为又因为切线过点又因为切线过点A(1,0),A(1,0),所以所以化简得化简得 解得解得x x0 0=0=0或或13330020 x011(xx)x33limxx ，320001

14、yxx(xx )3，3200010 xx(1x ),332002xx0,303x.2当当x x0 0=0=0时，所求的切线方程为：时，所求的切线方程为：y=0;y=0;当当 时，时，所求的切线方程为：所求的切线方程为：即即9x-4y-9=0.9x-4y-9=0.即过点即过点A A的曲线的切线方程为的曲线的切线方程为y=0y=0或或9x-4y-9=0.9x-4y-9=0.03x2993y(x),842【拓展提升拓展提升】求过曲线求过曲线y=f(x)y=f(x)外点外点P(xP(x1 1,y,y1 1) )的切线的方程的的切线的方程的步骤步骤(1)(1)设切点设切点(x(x0 0,f(x,f(x0

15、 0).).(2)(2)利用所设切点求斜率利用所设切点求斜率(3)(3)用用(x(x0 0,f(x,f(x0 0),P(x),P(x1 1,y,y1 1) )表示斜率表示斜率. .(4)(4)根据斜率相等求得根据斜率相等求得x x0 0, ,然后求得斜率然后求得斜率k.k.(5)(5)根据点斜式写出切线方程根据点斜式写出切线方程. .x0yklim.x 类型类型 二二 求切点的坐标求切点的坐标 【典型例题典型例题】1.1.曲线曲线y yx x3 3在点在点P P处的切线斜率为处的切线斜率为3 3，则点，则点P P的坐标为的坐标为_._.2.2.直线直线l:y=x+a(a0):y=x+a(a0)

16、和曲线和曲线C:y=xC:y=x3 3-x-x2 2+1+1相切相切. .(1)(1)求求a a的值的值. .(2)(2)求切点的坐标求切点的坐标. .【解题探究解题探究】1.1.曲线上一点切线的斜率与该点的导数有什么曲线上一点切线的斜率与该点的导数有什么关系关系? ?2.2.切点的坐标满足切线方程吗？是否也满足曲线的方程？切点的坐标满足切线方程吗？是否也满足曲线的方程？探究提示：探究提示：1.1.曲线上一点切线的斜率就是该点的导数曲线上一点切线的斜率就是该点的导数. .2.2.切点的坐标既满足切线方程，同时也满足曲线的方程切点的坐标既满足切线方程，同时也满足曲线的方程. .【解析解析】1.1

17、.因为因为y yx x3 3，所以，所以令令3x3x2 23 3，得，得x x1 1，所以点所以点P P的坐标为的坐标为(1,1)(1,1)或或( (1 1，1).1).答案答案: :(1,1)(1,1)或或( (1 1，1)1)33x0(xx)xylimx 322x0( x)3x ( x)3xxlimx 222x0lim ( x)3xx3x3x . 2.(1)2.(1)设直线设直线l与曲线与曲线C C的切点为的切点为(x(x0 0，y y0 0) )，因为因为则则解得解得x x0 01 1或或x x0 0当当x x0 01 1时，时，y y0 0 x x0 03 3x x0 02 21 11

18、 1，又又(x(x0 0，y y0 0) )在直线在直线y yx xa a上，将上，将x x0 01 1，y y0 01 1代入得代入得a a0,0,与已知条件矛盾，舍去与已知条件矛盾，舍去; ;32322x0(xx)(xx)1 (xx1)ylim3x2xx ，02x x00y |3x2x1，1.3当当x x0 0 时，时，则切点坐标为则切点坐标为将切点坐标将切点坐标 代入直线代入直线y yx xa a，得得 故故(2)(2)由由(1)(1)知切点坐标是知切点坐标是133201123y()()13327，1 233 27( ， )，1 233 27( ， )23132a27327 ，32a.2

19、71 23().3 27 ，【互动探究互动探究】若把题若把题1 1中的中的“点点P P处的切线斜率为处的切线斜率为3”3”变为变为“点点P P处的切线与直线处的切线与直线x+y=0 x+y=0垂直垂直”，结果如何，结果如何? ?【解析解析】因为因为y yx x3 3，所以，所以因为所求切线与直线因为所求切线与直线x+y=0 x+y=0垂直，垂直，所以切线的斜率为所以切线的斜率为1 1，所以，所以3x3x2 21 1，得，得所以点所以点P P的坐标为的坐标为33x0(xx)xylimx 322x0( x)3x ( x)3xxlimx 222x0lim ( x)3xx3x3x . 3x3，3333

20、(,),(,).3939【拓展提升拓展提升】1.1.求切点坐标的一般思路求切点坐标的一般思路(1)(1)先设切点坐标先设切点坐标(x(x0 0,y,y0 0).).(2)(2)求导函数求导函数f(x).f(x).(3)(3)求切线的斜率求切线的斜率f(xf(x0 0).).(4)(4)由斜率间的关系列出关于由斜率间的关系列出关于x x0 0的方程，解方程求的方程，解方程求x x0 0. .(5)(5)由于点由于点(x(x0 0,y,y0 0) )在曲线在曲线y yf(x)f(x)上，将上，将x x0 0代入求代入求y y0 0，得切点，得切点坐标坐标. .2.2.切点问题的处理方法切点问题的处

21、理方法(1)(1)由条件得到直线的倾斜角或斜率由条件得到直线的倾斜角或斜率, ,由这些信息得知函数在由这些信息得知函数在某点的导数某点的导数, ,进而求出点的横坐标进而求出点的横坐标. .(2)(2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来, ,如直线如直线的倾斜角和斜率的关系的倾斜角和斜率的关系, ,两直线平行或垂直与斜率的关系等两直线平行或垂直与斜率的关系等. .类型类型 三三 导数几何意义的综合应用导数几何意义的综合应用 【典型例题典型例题】1.1.曲线曲线 和和y=xy=x2 2在它们交点处的两条切线与在它们交点处的两条切线与x x轴所围成的

22、轴所围成的三角形的面积是三角形的面积是_._.2.2.已知已知f(x)=xf(x)=x2 2，g(x)=xg(x)=x3 3. .(1)(1)求求f(x),g(x)f(x),g(x)，并判断，并判断f(x)f(x)和和g(x)g(x)的奇偶性的奇偶性. .(2)(2)若对于所有的实数若对于所有的实数x x，f(x)-2ag(x)f(x)-2ag(x)恒成立，试求实恒成立，试求实数数a a的取值范围的取值范围. .1yx【解题探究解题探究】1.1.已知曲线方程，如何求两条曲线的交点的坐已知曲线方程，如何求两条曲线的交点的坐标？标？ 2.2.奇函数、偶函数的判断方法是什么？不等式奇函数、偶函数的判

23、断方法是什么？不等式axax2 2+bx+c+bx+c0 0恒恒成立的充要条件是什么？成立的充要条件是什么？探究提示：探究提示：1.1.把两条曲线的方程联立，方程组的解就是交点的坐标把两条曲线的方程联立，方程组的解就是交点的坐标. .2.(1)2.(1)函数奇偶性的判断方法：函数奇偶性的判断方法：对于函数对于函数y=f(x)y=f(x)定义域内的任意定义域内的任意x,x,若若f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),则则y=f(x)y=f(x)为偶函数；为偶函数；若若f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),则则y=f(x)y=f(x)为奇函数为奇函数. .(2)(2)不等式不等式ax

24、ax2 2+bx+c+bx+c0 0恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是 或或2a0,b4ac0 ab0,c0.【解析解析】1.1.由由 得得 所以曲线所以曲线 和和y=xy=x2 2的交点的交点坐标是坐标是(1(1，1)1)， 的导数为的导数为21y,xyxx1,y1,1yx1yx2x0 x0 x111(xx)xxxxylimlimxxx ，所以所以y|y|x=1x=1=-1,=-1,切线的方程是切线的方程是y=y=x+2,x+2,y=xy=x2 2的导数为的导数为切线方程为切线方程为y=2xy=2x1 1，两条切线与，两条切线与x x轴的交点坐标分别为轴的交点坐标分别为(2(2，0)0)和

25、和 故它们与故它们与x x轴所围成的三角形的面积轴所围成的三角形的面积答案：答案：22x 1x0(xx)xylim2x,y |2,x 1( ,0)2，133S1.224 342.(1)2.(1)由导数的定义知，由导数的定义知，= = =f(x)f(x)和和g(x)g(x)的定义域均为的定义域均为R R，故定义域关于原点对称，故定义域关于原点对称，因为因为f(-x)=-2x=-f(x)f(-x)=-2x=-f(x)，所以，所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数. . 因为因为g(-x)=3(-x)g(-x)=3(-x)2 2=3x=3x2 2=g(x)=g(x)，所以，所以g(x)g(x)为偶函数

26、为偶函数. .22x0(xx)xf (x)lim2xx ；33x0(xx)xg (x)limx 22x0(xx)x(xx)x(xx)xlimx 222x0lim 3x3xx( x)3x . (2)(2)由由f(x)-2ag(x)f(x)-20-2x+20对任意实数对任意实数x x恒成立，恒成立，当当a=0a=0时，转化为时，转化为-2x+20-2x+20恒成立，即恒成立，即x1x0-2x+20对所有实数对所有实数x x都成立得，都成立得， 解得解得综上，综上， 为所求为所求. .2a0( 2)4 2 3a0 ，1a.61a6【拓展提升拓展提升】导数几何意义应用问题的解题策略导数几何意义应用问题

27、的解题策略(1)(1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方程以及直线间的位置关系等，因此要综合应如直线斜率与方程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题用所学知识解题. .(2)(2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量. .(3)(3)一定要区分曲线一定要区分曲线y=f(x)y=f(x)在点在点P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线与过

28、点处的切线与过点P(xP(x0 0，f(xf(x0 0)的切线的不同，前者的切线的不同，前者P P为切点，后者为切点，后者P P不一定为切不一定为切点点. .【变式训练变式训练】求证：函数求证：函数 图象上各点处的切线斜率都图象上各点处的切线斜率都小于小于1.1.【解题指南解题指南】利用导数的定义求函数的导数，曲线上每一点利用导数的定义求函数的导数，曲线上每一点的导数就是曲线上各点处切线的斜率，再证明斜率小于的导数就是曲线上各点处切线的斜率，再证明斜率小于1 1即可即可. .1yxx 【证明证明】yy因为对于定义域内的任意因为对于定义域内的任意x x，都有，都有所以所以 图象上各点处的切线斜率

29、都小于图象上各点处的切线斜率都小于1.1.x0f(xx)f(x)limx x011(xx) (x)xxxlimx x0 xx(xx)xlim(xx) xx 222x0(xx)x 1x11lim1(xx)xxx ，2111,x1yxx 【规范解答规范解答】用导数的定义求切线的方程用导数的定义求切线的方程【典例典例】【条件分析条件分析】【规范解答规范解答】yy3x3x2 23 3. . 2 2分分设切点坐标为设切点坐标为(x(x0 0，x x0 03 33x3x0 0) )，则直线则直线l的斜率的斜率k kf(xf(x0 0) )3x3x0 02 23 3，所以直线所以直线l的方程为的方程为y y

30、(x(x0 03 33x3x0 0) )(3x(3x0 02 23)(x3)(xx x0 0).). 4 4分分又直线又直线l过点过点P(1P(1，2)2)，所以所以2 2(x(x0 03 33x3x0 0) )(3x(3x0 02 23)(13)(1x x0 0) )，33x0(xx)3(xx)x3xlimx 所以所以2x2x0 03 3-3x-3x0 02 2+1=(x+1=(x0 0-1)-1)2 2(2x(2x0 0+1)=0+1)=0, ,解得解得x x0 01 1或或x x0 0 . . 6 6分分故所求直线斜率为故所求直线斜率为k=3xk=3x0 02 2-3=0-3=0或或k

31、k3x3x0 02 23 3于是于是y-(-2)=0y-(-2)=0(x-1)(x-1)或或y y( (2)2) (x(x1)1)，即即y=-2y=-2或或 1010分分故过点故过点P(1P(1，2)2)的切线方程为的切线方程为y y2 2或或 1212分分1294 ，9491yx.4491yx.44【失分警示失分警示】【防范措施防范措施】1.1.记清常用的公式记清常用的公式利用导数的定义求曲线上某一点的导数，要记清导数的表达利用导数的定义求曲线上某一点的导数，要记清导数的表达式，化简后求极限时的式子要有意义，如本例中求得式，化简后求极限时的式子要有意义，如本例中求得y=3xy=3x2 2-3

32、.-3.2.2.理清切点的实质理清切点的实质在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件: :一是切点，二一是切点，二是切线的斜率是切线的斜率. .其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点点P(1,-2)P(1,-2)不一定是切点，做题时要高度关注不一定是切点，做题时要高度关注. .【类题试解类题试解】求抛物线求抛物线y=xy=x2 2过点过点 的切线方程的切线方程. .【解析解析】由于点由于点 不在抛物线上，可设切点为不在抛物线上，可设切点为(x(x0 0,x,x0 02 2),),f(xf(x0 0)=)= =所

33、以切线的斜率为所以切线的斜率为2x2x0 0, ,5(, 6)25(, 6)200 x0f(xx)f(x )limx 220000 x0 x0(xx)xlimlim(2xx)2x ,x 又因为此切线过点又因为此切线过点 和点和点(x(x0 0,x,x0 02 2),),所以所以 即即x x0 02 2+5x+5x0 0-6=0.-6=0.解得解得x x0 0=-6=-6或或x x0 0=1.=1.因此过点因此过点(-6,36),(1,1)(-6,36),(1,1)的切线方程分别为的切线方程分别为y-36=-12(x+6)y-36=-12(x+6)和和y-1=2(x-1),y-1=2(x-1),

34、即即12x+y+36=012x+y+36=0和和2x-y-1=0.2x-y-1=0.5(, 6)22000 x62x ,5x21.1.设设f(xf(x0 0) )0 0，则曲线，则曲线y yf(x)f(x)在点在点(x(x0 0，f(xf(x0 0)处的切线处的切线( )( )A.A.不存在不存在B.B.与与x x轴平行或重合轴平行或重合C.C.与与x x轴垂直轴垂直D.D.与与x x轴斜交轴斜交【解析解析】选选B.B.由导数的几何意义知由导数的几何意义知B B正确正确. .2.2.如果曲线如果曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(x(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线方程为处的切线方程为x+2y-3=0,x+2y-3=0,那么那么( )( )A.f(xA.f(x0 0) )0 0B.f(xB.f(x