新人教版数学八下练习：资源拓展卷17.2勾股定理的逆定理

1、17.2勾股定理的逆定理基础闯关全练拓展训练1. 五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是222222答案CC选项中，满足15+20=25,7+24=25,有两个直角三角形.2. 如图，四边形ABCD中,AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,DA=13cm,且/ABC=90,则四边形ABCD的面积为（）2222A.6cmB.30cmC.24cmD.36cm答案C连接AC,vZABC=90°,ABm4BC=3cm,AC=5cm,/CD=12cm,DA=13cm,AC2+cD=52+122=169=132=DA,ADC为直角三角形

2、S四边形ABC=SACI-SABC=-ACCDABBC2=-X5X12-X4X3=30-6=24(cm).故四边形ABCD的面积为24cnf.故选C.3. 适合下列条件的ABC中,直角三角形的个数为（） a=3,b=4,c=5; a=6,ZA=45； a=2,b=2,c=2;/A=38°,/B=52°.D.4A.1B.2C.3222答案Ca=3,b=4,c=5,+4325=5,满足的三角形为直角三角形；a=6,/A=45,只此两个条件不能断定三角形为直角三角形；a=2,b=2,c=2-,422+22=8=(2-)2,满足的三角形为直角三角形；4/A=38°,/B=

3、52°,/C=180-/A-/B=90°,满足的三角形为直角三角形综上可知：满足的三角形均为直角三角形故选C.4. 如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的三条线段是()12A.CD,EF,GHB.AB,EF,GHC.AB,CD,GHD.AB,CD,EF222222222222答案BAB=2+2=8,CD=4+2=20,EF=1+2=5,GH=2+3=13.222因为AB+EF=8+5=13=GH,所以AB,EF,GH能构成一个直角三角形.5. 如果a,b,c是一组勾股数，且a,b,c没有大于1的公因数，那么我们称这一

4、组勾股数为基本勾股数，如:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41都是基本勾股数.观察这些基本勾股数，你发现各数组中的勾与股及其积各有何特点？勾、股、弦三者的积有何特点？写出你发现的结果.解析勾与股必为一奇一偶，勾与股的积能被4整除，勾、股、弦三者的积能被60整除.6. 如图，已知正方形ABCD的边长为4,点E为AB的中点,F为AD上一点，且AF=AD,试判断EFC的形状.解析4点E为AB的中点，BE=2, CE2=bE'+bC=22+42=20.同理，EF2=AE+AF=22+12=5,cF=dF+cD=32+42=25./ce2+ef2=c, EFC是以/CEF为

5、直角的直角三角形能力提升全练拓展训练1. 已知ABC中,a、b、c分别为/A、/B、/C的对边，则下列条222件：a=4,b=7-,c=8-；a:b:c=1：3:2;/A：ZB：ZC=3：4:5;/A=2/B=2/C.其中能判断ABC是直角三角形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个答案C22Ta+b=-=2-,c=-=一,Aa2+b2=c2,a此三角形是直角三角形；Ta2：b:C=1:3:2,设a2=x(x>0),22222贝Ub=3x,c=2x,x+2x=3x,A.a+c=b,a此三角形是直角三角形；ZA：ZB：ZC=3：4:5,a设ZA=3x,则/B=4x,/C=5x,vZA+Z

6、B+ZC=180,a3x+4x+5x=180°,解得x=15°,aZA=45,ZB=60°,ZC=75,此三角形不是直角三角形；tZA=2ZB=2ZC,设ZB=ZC=x,则ZA=2x,ax+x+2x=180°,解得x=45°,aZA=2x=90,a此三角形是直角三角形故选C.2. 设一个直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边上的高为h,斜边长为c,则以c+h,a+b,h为边长的三角形的形状是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定22222222答案A利用面积法可确定ab=ch,则（a+b）+h=a+2ab+b+h=c+2

7、ch+h=（c+h）,所以以c+h,a+b,h为边长的三角形是直角三角形，故选A.3. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AEBE、CE,ABEACBE'.若AE=1,BE=2,CE=3,则ZBE'C=度.答案135解析连接EE',ABEACBE',aCE'=AE,BE'=BE,ABE=ZCBE',aZEBE'是直角,aEBE'是直角三角形,ZBEE'=ZBE'E=45°,亠22222222/AE=1,BE=2,aBE'=2,E'C=1.EE'=2+2=8,E'

8、;C=1,EC=9,aEC=E'C+EE',EE'C是直角三角形，aZEE'C=90°,aZBE'C=135.,公共汽车行驶4. 如图所示，A,B,C,D是四个小城镇，除B,C外，它们之间都有笔直的公路连接于城镇之间，其票价与路程成正比已知各城镇间的公共汽车票价如下:AB:10元;AC:12.5元;AD:8元;BD:6元;CD:4.5元.为了方便B,C之间的交通，在B,C之间建成一条笔直的公路，请按上述标准计算出B,C之间公共汽车的票价为多少元.解析在ABD中,AB=10,AD=8,BD=6,所以AD+BD=82+62=100,AB2=102=

9、100,所以ad+bD=aB,所以BD丄AD.易知A,D,C三点共线,/BDC=90.在RtBDC中,BC=7.5,故B,C之间公共汽车的票价为7.5元.模拟全练22-1,2n,n+1（n是大于1的正整数）,其中拓展训练1. 下列几组数：6,8,10;7,24,25;9,12,15;n是勾股数的有（）A.1组B.2组C.3组D.4组答案D-/62+82=100=102,6>8、10是勾股数；T72+242=257,24,25是勾股数；V92+122=152,9,12,15是勾股数；（2-1）2+（2n）2=（n2+1）2,.行2-1,2n,n2+1（n是大于1的正整数）是勾股数.故选D.

10、2. 已知ABC的三边分别为a、b、c,则下列条件中不能判定ABC是直角三角形的是（）222A.b=a-cB.a:b:c=1:：2C.ZC=ZA-ZBD.ZA：ZB：ZC=3：4：5答案Dvb2=a2-c2,Ab2+c2=a2,故选项A能判定ABC是直角三角形12+(_)2=22,.a2+b2=c2,/C=9C°,故选项B能判定ABC是直角三角形/C=ZA-/A=ZB+ZA=90°,故选项C能判定ABC是直角三角形；/A：ZB：ZC=3：4:5,/C=X180°=75°,故选项D不能判定ABC是直角三角形.故选D.3. 在ABC中,三边长满足b2-a2=

11、c2,则互余的一对角是()A.ZA与ZBB.ZB与ZCC.ZA与ZCD.以上都不正确答案C/ABC的三边长满足b2-a2=c2,b2=a2+c2,ABC是直角三角形且ZB=90°,/A+ZC=90.故选C.4. 如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,AD=1,且ZABC=90,试求ZA的度数.（8分）解析连接AC,在RtABC中,AC2=AB+bC=22+22=8,/AB=BC, ZBAC=/ACB=45,在厶ACD中，/AC2+A&=8+1=9=32=DC, ZDAC=90, ZBAD=45+90°=135°.5. 我们新定义一种三角形：两

12、边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫常态三角形.例如:一三角形三边长分别是5,6和8,因为62+82=4X52=100,所以这个三角形是常态三角形若厶ABC三边长分别是2,和4,则此三角形常态三角形(填是”或不是”(2)若RtABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为(请按从小到大排列)；如图，RtABC中，ZACB=90,BC=6,CD=AD=DBJBCD是常态三角形，求厶ABC的面积.解析(1)是.一：-:".设CD=x(x>0),则AB=2x,若厶BCD是常态三角形，则有以下两种可能 x2+x2=4CB=4X62=36X4=144,222x=144,x=72,x=6,

13、AB=12由勾股定理得AC=-=6则ab(=ACBC二X6X6=18. x2+62=4x2,36=3x2,x2=12,x=2_,AB=4一，则AC=-=2:Sab(=ACBC二X2X6=6.三角形ABC的面积为6一或18中考全练拓展训练a,b,c,称为勾股数.世界上第一次给出1阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数勾股数通解公式的是我国古代数学著作九章算术，其勾股数组公式为其中m>n>O,m,n是互质的奇数.应用：当n=1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.（8分）解析当n=1时,a=-（m2-1）,b=m,c=_（m2+1）,直角三角形有一边长为5,-(i)当a=

14、5时，-(m2-1)=5,解得m=±(舍去);(ii) 当b=5时,m=5,代入得,a=12,c=13;2(iii) 当c=5时，-(m+1)=5,解得m=±3,/m>0,.m=3代入得，a=4,b=3.综上所述,直角三角形的另外两条边长分别为12,13或3,4.2. 在ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,设c为最长边，当a2+b2=c2时，ABC是直角三角形；当a2+b2丸2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究ABC的形状（按角分类）.（8分）（1）当厶ABC三边长分别为6、8、9时，ABC为三角形；当厶ABC三边长分别为6、8、11时,ABC为三角形

15、；222222猜想：当a+bc时，ABC为锐角三角形；当a+bc时，ABC为钝角三角形；判断当a=2,b=4时，ABC的形状，并求出对应的c的取值范围.解析（1）两直角边长分别为6、8时,斜边长=10,当厶ABC三边长分别为6、8、9时，ABC为锐角三角形当厶ABC三边长分别为6、8、11时,ABC为钝角三角形故答案为锐角；钝角222当a+b>c时,ABC为锐角三角形；当a+b<c时，ABC为钝角三角形故答案为><Tc为最长边,2+4=6,4W<6,又a+b=2+4=20, 由a2+b2>c2,即c2<20,得0<c<2_,当4W<2

16、时,这个三角形是锐角三角形； 由a2+b2=c2,即c2=20,得c=2_,当c=2一时,这个三角形是直角三角形； 由a2+b2<c2,即c2>20,得c>2一，当2一<。<6时,这个三角形是钝角三角形3. 在数学活动课上，老师要求学生在5X5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，画四种图形，并直接写出其周长.（8分）解析第一类:第二类：第三类：第四类：第五类：核心素养全练拓展训练1.能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称为一组勾股数，观察下列表格3,4,532+4=525,12,13

17、52+122=1327,24,2572+242=2丘9,40,419+40=41a,b,c2.22a+b=c试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论写出当a=17时,b,c的值.解析(1)共同点：各组数均满足a2+b2=c2;最小的数是奇数,其余的两个数是连续的正整数；最小的数的平方等于另两个连续整数的和，如22223=9=4+5,5=25=12+13,7=49=24+25,9=8仁40+41,由以上共同点我们可得出这样一个结22论：设m为大于1的奇数，将m拆分为两个连续的整数之和，即m=n+(n+1),则m,n,n+1就构成一组简单的勾股数.22222证明:Tm=n+(n+1)(

18、m为大于1的奇数),-'-m+n=2n+1+n=(n+1),.m,n,n+1是一组勾股数.2(2)由(1)中的结论可知,当a=17时,/17=289=144+145,b=144,c=145.2.据我国古代周髀算经记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五后人概括为勾三、股四、弦五”.观察:3、4、5;5、12、13;7、24、25;发现这些勾股数的勾”都是奇数，且从3起就没有间断过,计算-(9-1),-(9+1)与-(25-1),-(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能(用勾)表示7、24、25的股和弦的算式；(2)根据(