第六章“双一流”高效自主招生好题(第六章)

1、“双一流”高效自主招生好题精选（第六章）1. （复旦大学自主招生）太空飞船在宇宙空间中飞行时，会遇到太空尘埃的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布着尘埃n颗，每颗尘埃平均质量为m,尘埃速度可忽略、飞船的横截面积为S,与尘埃碰撞后将尘埃完全黏附住。当飞船维持恒定的速率v飞行时，飞船引擎需要提供的平均推力为（）12232C.nmvSA.nmvSB.nmvS12DnmvS解析：选B以飞船为参照物，选择一和飞船横截面积相等的圆柱内的尘埃进行研究。则该圆柱内的尘埃相对于飞船以速度v做匀速直线运动，在t时间内，由长度为x=vt,横截面积为S、体积为V=vtS的尘埃柱碰到飞船上，尘埃柱内尘埃颗粒数目

2、为N=nvtS,尘埃总质量为M=Nm=mnvtS,根据动量定理，Ft=Mv，联立解得：F=nmv2S,选项B正确。2. （“卓越”自主招生）长为L,质量为M的木块静止在光滑水平面上。质量为m的子弹以水平速度v0射入木块并从中射出。已知从子弹射入到射出木块移动的距离为s,则子弹穿过木块所用的时间为L+sA.v0心+1+d；Ls+l1+小洋英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语解析：选B子弹穿过木块过程,设子弹穿过木块过程所受阻力为对子弹和木块系统，动量守恒，有：mvo=mv1+Mv2,1212f,对子弹，由动能定理：一f(s+L)=mv1?mv0由动量定理：一ft=mv

3、1mv0对木块，由动能定理：fs=Mv22,2由动量定理：ft=Mv2,联立解得：t=L+1+Ms。选项B正确。v0-m3. （上海交通大学自主招生）如图所示，在长为L的轻杆的两端分别固定一个线度可忽略的质量分别为M=3m和m的小球，竖直放置在光滑的水平面上。因受到空气的扰动影响，系统倾倒。在M落地的瞬间，M的速度大小为vm=。该过程中系统的质心相对于小球m的位移大小为11C解析：系统质心在两球连线上且距m的距离为严。在系统倾倒过程中，系统水平方向动量守恒。在M落地的瞬间，M与m的水平速度分量均为零，M的速度方向竖直向下，由机械能守恒定律，MgL=1mvm2,解得vm=_2gL。由于水平方向不

4、受外力，系统质心在水平方向位移为零。系统的质心相对于小球m的位移大小为：s=l。4答案：2gL3j2L4. （“卓越”自主招生）某同学用图甲所示的实验装置验证碰撞中动量守恒，他用两个质量相等、大小相同的钢球A、B进行实验。首先该同学使球A自斜槽某一高度由静止释放，从槽的末端水平飞出，测出球A落在水平地面上的点P与球飞出点在地面上垂直投影O的距离Lop。然后该同学使球A自同一高度由静止释放，在槽的末端与静止的球B发生非对心弹性碰撞（如图乙所示），碰撞后两球向不同方向运动，测出两球落地点M、N与O点间的距离Lom、Lon。该同学多次重复上述实验过程，并将测量值取平均。(1)下列关系正确的是(填字母

5、代号A. Lop=Lom+LONB. LopLom+lon）。（2）根据实验原理，试推导出OM与ON间夹角的大小。解析：（2）设球的质量为m,碰撞前瞬间球A的速度大小为va,碰撞后瞬间球A、B的速度大小分别为va、vb。两球在碰撞过程中动量守恒，碰撞后两球动量的矢量和与碰撞前球动量的矢量相同，一定满足平行四边形定则，如图所示。在弹性碰撞过程中，机械能守恒，因此有：2mva2=1mva2+mvb2设小球做平抛运动的时间为t,Lop/Lom则va=t，va=t，vbLon由式得,Lop2=Lom2+Lon2因此，OM与ON间的夹角为90答案：（1）B（2）见解析5.（清华大学保送生测试）如图所示，

6、一个沙漏（古代的一种计时器）置于个盘秤上，初始时瓶中的所有沙子都放在上面容器中，瓶的质量为M，瓶中沙子质量为m。在t=0时，沙子开始释放流入下面的容器，沙子以质量变化率为詈=入离开上面的容器，试画出（并定性标明）一个图，给出在t0的全部时间内秤的读数。解析：在t=0时，秤的读数为（M+m）g。沙子开始释放流入下面的容器，在沙子没有到达容器底部的过程中，设下面容器高刻读数为（Mg=(M+m)g入,2gh。则时间ti=，时间t内下落沙子质量入，在0ti时间内，秤的读数为逐渐减小，ti时(trigPi在沙子接触容器底面时，由动量定理，（FAmg）Zt=Anv,v=2gh，解得F=Ang+入顽。由此可

7、见，在沙子在接触容器底面到上面容器漏完这段时间内，秤的读数等于（M+m）g。在上面容器中沙子漏完后，由于空中还有沙子在不断冲击下面容器底面，所以秤的读数大于（M+m）g，同上分析可得，秤的读数为（M+m）g+入,2。等到下面沙子完全落在下面容器中，秤的读数等于（M+m）g。答案：如图所示6. （清华大学自主招生）将一质量为m、长为L的柔软绳一端悬挂在天花板上，另一端自由悬垂，恰好与一台秤的秤盘接触。某时刻放开柔软绳的上端，求台秤的最大读数。解析：设t时刻落到秤盘上的柔软绳长度为I，此时空中柔软绳的绳速为v=2gl在tt+At的时间内，又有Am=pA的柔软绳落到秤盘上，忽略微元段柔软绳的重力冲量

8、，由动量定理可得：FAt=Amv=pAv,考虑到：At=v解得：F=pv2=2pg。台秤的读数为落到台秤上柔软绳的重力和F之和，即Fn=F+pg=3pg。当柔软绳即将都落到台秤上时，1=L,台秤的读数最大，台秤的最大读数为3mg。答案：3mg7. （“卓越”自主招生）一质量为m=40kg的孩童，站在质量为M=20kg的长木板的一端，孩童与木板在水平光滑冰面上以v0=2m/s的速度向右运动。若孩童以a=2m/s2相对木板的匀加速度跑向另一端，并从端点水平跑离木板时，木板恰好静止。小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语(1) 判断孩童跑动的方向；(2) 求出木板的长度

9、L。解析：(1)孩童应沿着木板运动的方向跑动，即孩童开始时应站在木板的左端，向右跑。(2) 设孩童跑离木板时相对木板的速度为u,根据匀加速直线运动规律得u2=2aL设孩童跑离木板时木板相对于冰面的速度为v，孩童相对冰面的速度为v=u+v,由于冰面光滑，孩童和木板组成的系统在水平方向上不受外力，所以动量守恒。选冰面为参照系，v0的方向为坐标正方向，则有：(M+m)v0=Mv+mv若木板恰好静止，即要求木板相对冰面的速度v=0,由此可得U=v0。m综合上述各式得：L=1吐咚2vo22aJm丿0将已知数据代入上式得L=2.25m。答案：向右跑(2)2.25m8. (“北约”自主招生)平直铁轨上停着一

10、节质量为M=2m的小车厢。可以忽略车厢与水平铁轨之间的摩擦。有N名组员沿铁轨方向列队前行，另有一名组长在最后，每名组员的质量同为m。(1) 当组员和组长发现前面车厢时，都以相同速度vo跑步，每名组员在接近车厢时又以2vo速度跑着上车坐下。组长却因跑步速度没有改变而恰好未追上车，试求N。(2) 组员们上车后，组长前进速度减小为罗，车上的组员朝着车厢前行方向一个接一个水平跳下，组员离开车厢瞬间相对车厢速度大小同为u,结果又可使组长也能追上车。试问：跳车过程中组员们总共消耗掉人体中多少内能？解析：(1)组员跳上车的过程系统动量守恒。临界情况对应N个组员跳上车后车厢速度为v0,则:Nm2v0=(Nm+

11、2m)v0,解得：N=2。(2)第一个组员跳下车后车厢速度为v1，则由动量守恒定律：(2m+2m)v0=(m+2m)v1+m(u+v1)第二个组员跳下车后车厢速度为v0，则由动量守恒定律：av0yo3mv1=2m玄+m+u,解得：6v011v0u=7，v1=14。跳车过程中组员们总共消耗掉人体中内能:/Js学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语13mvi22-14mvo2+2mivo2+11212512mu+2v0-i3mv1=彳2mvo。512答案：（1）2Tmv029. (“北约”自主招生)质量为M、半径为R的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。圆盘

12、中心处有一只质量为m的小青蛙(可处理成质点)，小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度记为vx,竖直向上的分速度记为vy,合成的初始速度大小记为v,将圆盘后退的速度记为u。(1)设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。对给定的vx,可取不同的vy,试导出跳起过程中青蛙所做功W的取值范围，答案中可包含的参量为M、R、m、g(重力加速度)和vX。将问所得W取值范围的下限记为Wo,不同的vx对应不同的Wo值，试导出其中最小值Wmin，答案中可包含的参量为M、R、m和go(2)如果在原圆盘边紧挨着放另外一个相同的静止空圆盘，青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向

13、与水平方向夹角为45青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。跳W，起过程中青蛙所作功记为W，试求W与问所得Wmin间的比值y=矿，答案中可包Wmin含的参量为M和mo解析：(1)青蛙跳起后落地点在圆盘外。青蛙跳起过程，水平方向动量守恒，mvx=Mu,vxt+utR,vy=gt，跳起过程中青蛙做功W=mv2+“Mu2。222222212mMgRmvx联立解得：W1mvx十&m+m2v/十話。222_mMgR十228m+Mvx根据两个正数积一定，两数相等时,22222,21 2.mMgRmvxmM十mvxWo=mvx十厂P+=2 8（m十M）vx2M2M由干mM十mvx2mM2g2R2m2Mg2R2为定

14、值2M8m十M2vx2=16m+M为，小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语和最小，2mM+mvx2M=222mMgR228m+Mvx解得vx2MgR；M2m+MM+m可得Wi=mgRmin4mMgR4m+Mm+M=mgRM=小洋英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语(2)设青蛙起跳速度为v，青蛙跳起过程，水平方向动量守恒,mvcos45=Mu,vcos452R,gtvsin45=2，跳起过程中青蛙做功W=计算小猴从小圆桶上方边缘部位落到小圆桶底部中心所经历的时间&。mv试求直杆长度L。导出小猴跳离大圆桶时相对地面的速度vm。解析：(1)

15、小猴跳出后做平抛运动，从开始到经过小圆桶上方圆周边缘部位所经历的时间为匕，在竖直方向有:+Mu2。联立解得：W=1+mgR。答案:W_yWmin(1)W1mvx2+222mMgR22+8m+Mvx22mVx2MmgR(2)2+mM10. (北京大学自主招生)直径和高同为d的不带盖子的小圆桶，用一根水平的直杆与直径和高同为2d的带盖子大圆桶连接后，静放在光滑水平面上，它们的总质量为M。大圆桶顶部边缘部位有一个质量为m的小猴，此时小猴、两圆桶底部中心和直杆处于同一竖直面内，如图所示。设小猴水平跳离大圆桶顶部，恰好能经过也处于运动状态的小圆桶上方圆周边缘部位后，落到小圆桶底部中心。小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语12d=2gti，小猴从开始到落入小圆桶底部中心所经历的时间为t2，在竖直方向有:解得：t2=2/Js学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语t=t211=2小猴跳出后在水平方向相对于圆桶做匀速直线运动。从小猴跳出到经过小圆桶上方圆周边缘部位，使用时间水平方向相对于圆桶位移X