第五章光的偏振

1、第五章光的偏振1 试确定下面两列光波的偏振态。E二Aecos(etkz)+ecos(etkz兀/2)10xyE二Aesin(wtkz)+esin(wtkz兀/2)解：(1)两分振动的振幅：A=A=A0，相位差：屮-屮二-n/2xy0yx所以该光为左旋圆偏振光。(2)振动方程可写为：E=Aecos(cotkz+兀/2)+ecos(cotkz兀/2+兀/2)10xy两分振动的振幅：A=A=A0，相位差：屮-屮=-n/2该光仍然为左旋圆偏振光。2 为了比较两个被自然光照射的表面的亮度，对其中一个表面直接进行观察，另一个表面通过两块偏振片来观察。两偏振片的透振方向的夹角为600，若观察到两表面的亮度相

2、同，则两表面的实际亮度比是多少？已知光通过每一块偏振片后损失入射光能量的10%。解：设直接进行观察的表面的强度为10,用偏振片进行观察的表面的强度为I；已知两偏振片透振方向的夹角e=600。表面反射的光经过第一个偏振片后的光强度：厂=11(110%)=I220经过第二个偏振片后的光强度：/=厂cos29(110%)=竺I800因观察到两表面的亮度相等，则有：I"=I0解得两表面的实际亮度之比：10：I=81:8001:103 两个尼科耳N和N的夹角为600，在它们之间放置另一个尼科耳N，让123平行的自然光通过这个系统。假设各尼科耳对非常光均无吸收，试问N3和N的透振方向的夹角为何值

3、时，通过系统的光强最大？设入射光强度为I，求此时所能通过的最大光强。0解：设第三个尼科尔n3与第一个叫的夹角为e，则与第二个n2的夹角有两种情况：(1)0=600-e(2)P=600+e在0=60o-0的情况下：设平行自然光的强度为I0，通过叫的光强度为：I1II=I120通过n3的光强度为：I=ICOS20=丄Icos203120最后通过n2的光强度为：图(1)图(2)=ICOS2(6003一0)=ICOS20cos2(600200)应用三角变换公式：cOsxcOsy=2cos(x-y)+cos(x+y)化简得到：I=-1cos(2B600)+-22802使I2取极大值的条件：cos(2B6

4、00)=1即：B=300，或：0=300，N3与N-的夹角：0=300最后通过系统的光强度：I=212320用同样的方法可解出图(2)中，N3与N1的夹角：0=3004在两个正交的理想偏振片之间，有一个偏振片以匀角速度3绕光的传播方向旋转(见图)，若入射的自然光强度为I，试证明透射光强度为：0因：cos®tcos(900一t)=cos®tsin®t=sin2®tsin2®t=,：1一cos4®t士Y2最后证得：1=粧（1一cos4®t）5 线偏振光入射到折射率为1.732的玻璃片上，入射角是600，入射光的电矢量与入射面成3

5、00角。求由分界面上反射的光强占入射光强的百分比。解：根据折射定律：nsini=nsini1122已知入射角：i=6001计算得到折射角：i=3002As=Asin300=2A=Acos3002根据菲涅耳公式：=sin(i1-i2)Asin(i+i)s12A，tg(i-i)=12Atg(i+i)p12计算得到，反射光沿与入射面垂直和平行方向的分振幅：A，sA，=0p1则合振幅：A，=A反射光强与入射光强之比：,-A-=告)2=625%把入射线偏光矢量A沿与入射面垂直和平行两个方向分解，分别为：6 一线偏光垂直入射到一方解石晶体上，它的振动面和主截面成300角，两束折射光通过在方解石后面的一个尼

6、科耳棱镜，其主截面与入射光的振动方向成500角，计算两束透射光的相对强度。解：设入射线偏光的光振幅为A,经方解石透射出来的两束线偏光的光振幅分别为：A=Asin300A=Acos300oe尼科耳主截面NN'与入射光的振动方AA向成50。角，与方解石主图2截面00'的夹角有两种情况，见图（1）和图（2）。在图（1）中，经尼科耳棱镜出射的两束线偏光的光振幅：A=Asin10o=Acos30osin10o1eA=Acos1oo=Asin3oocos1oo2o两束透射光的相对强度：Ii=（Ai）2=00933IA22在图（2）中，经尼科耳棱镜出射的两束线偏光的光振幅：A=Asin100

7、=Asin300sin2001eA=Acos100=Acos300cos2002o两束透射光的相对强度：厶=(住)2=0.044227 线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的方解石波片上，光的振动面和波片的主截面成300角，求：（1）透射出来的寻常光和非常光的相对强度是多少？（2）用钠光入射时如要产生900的相位差，波片的厚度应为多少？（入=589nm）解：（1）经波片透射，形成的o、e两束线偏光的振幅：A=Asin300A=Acos300oe相对光强度：I:I=1:3oe(2)已知方解石：ne=1.486、no=1.658，eo由：=2d(nn)且知：入oe波长：A=589nmA®

8、=2得到波片的厚度：d=8.2x10-5cm4(nn)oe8 有一块平行石英片是沿平行于光轴方向切出的，要把它切成一块黄光的1/4波片，问这块石英片应切成多厚？石英：n=1.552、n=1.543、入eo=589.3nm解：由：d(nn)=(2k+1)oe4得到波片的厚度：d=(2k+1)x1.64x103cm9 (1)线偏振光垂直入射到一个表面和光轴平行的波片,透射出来后,原来在波片中的寻常光和非常光产生了n的相位差，问波片的厚度为多少？已知：n=1.553、n=1.544、入=500nm。(2)问这块波片应怎样放置才能eo使透射出来的光是线偏光，而且它的振动面和入射光的振动面成900角？解

9、：(1)根据题意，这是一个1/2波片，由：d(n-n)=(2k+1)oe2得到波片的厚度：d=(2k+1)x2.75x103cm(2)线偏光经过1/2波片后仍然是线偏光，但透射光矢量的振动方向将从原来的方向转过20，已知：20=900,则应使波片的光轴与入射光矢量的方向成450角。10 线偏振光垂直入射到一块表面平行于光轴的双折射波片，光的振动面和波片光轴成250角，问波片中的寻常光和非常光透射出来后的相对强度如何？解：经波片透射，形成的o、e两束线偏光的振幅：A=Asin25oA=Acos25ooe相对光强度：I:I=0.2174oe11在两个正交尼科耳棱镜N和N之间垂直插入一块波片，发现N

10、后面有122光出射，但当N绕入射光向顺时针转过200后，N的视场全暗。此时，把22波片也绕入射光顺时针转过200，N视场又亮了。问：(1)这是什么性质的波片；(2)N要转过多大的角度才能使N的视场又变为全暗？22解：(1)当N2绕入射光向顺时针转过200后，视场变为全暗的，只有线偏光才会产生这种全暗的现象，并且光经N1后为线偏光，线偏光经过半波片后仍然是线偏光，所以该波片是1/2波片。2)根据题意，线偏光光矢量的方向经过半波片后，转过的角度是400，若要使N2的视场又变为全暗，必须也要转过400角。12一束圆偏振光，(1)垂直入射到1/4波片上，求透射光的偏振状态；(2)垂直入射到1/8波片上

11、，求透射光的偏振状态。解：因入射光为圆偏振光，则两线谝光的相位差为：Ap=±兀/20(1) 当透过1/4波片时，产生的附加相位差：Ap'=土兀/2贝V两线偏光的合相位差：Ap=Ap+人0=±兀或Ap=Ap+A0二000即圆偏光通过1/4波片后，透射光为线偏光。(2) 当通过1/8波片后，产生的附加相位差：A0=M/4则两线偏光的合相位差：Ap二Ap+A0=±3/4或Ap二Ap+A0二土兀/400即圆偏光通过1/8波片后，透射光为椭圆偏光。13试证明一束左旋圆偏光和一束右旋圆偏光，当它们的振幅相等时，合成的光是线偏振光。解：根据题意，可写出两光的波方程。左旋

12、圆偏光：E=Acos(®tkz)i-sin(®tkz)j1右旋圆偏光：E二Acos(®tkz)i+sin(®tkz)j2两个方程变形为：E/A=cos(®tkz)isin(®t-kz)jE/A二cos(®tkz)i+sin(®tkz)j2将两个方程两边平方相加：E2E2+匸=2即：E2+E2二2A2A2A212说明合成的光波是线偏光。14设一方解石波片沿平行光轴方向切开，其厚度为0.0343mm，放在两个正交的尼科耳棱镜间。平行光束经过第一尼科耳棱镜后，垂直地射到波片上，对于钠光(入=589.3nm)而言，晶体的折

13、射率：n=1.486、n=1.658,eo问：通过第二个尼科耳棱镜后，光束发生的干涉是加强还是减弱？如果两个尼科耳棱镜的主截面是相互平行的，结果又如何？解：根据题义，把方解石切割为波晶片，系统最后透射出来的光产生偏光干涉现象。2兀波片引入的相位差：2二亍（n-n）d二20兀入Oe若两个尼科耳正交，由：I=A2sin220sin212计算得到最后的光强：I=0，光强是减弱的。若两个尼科耳平行，由：I=A2（1-sin220sin2竺>）12计算得到最后的光强：I二A2，光强是加强的。115 单色光通过一个尼科耳N，然后射到杨氏干涉装置的两个细缝上，问：（1）尼科耳N的主截面与图面应成怎样的

14、角度才能使光屏上的干涉图样中的暗条纹为最暗？（2）在上述情况下，在一个细缝前放置一半波片，并将这半波片绕着光线方向继续旋转，问在光屏上的干涉图样有何变化？解：（1）若使暗条纹为最暗，即要求通过两缝的光强度相等，两列相干光矢量的方向相同，所以应把尼科耳棱镜放置在双缝的对称轴线上，并且使其主截面与双缝的方向平行。（2）当在一个缝前放半波片，通过该缝的线偏光矢量的方向发生变化，使沿原方向的分量减小，从而降低了条纹的可见度。继续旋转波片，当其光轴与细缝成450夹角时，通过两缝的光矢量相互垂直，干涉条纹消失，在屏上出现照度均匀的现象，随着波片的旋转，可观察到条纹从最清晰，然后逐渐减弱，到消失，再出现干涉

15、条纹，逐渐清晰的现象。16 单色平行自然光垂直照射在杨氏双缝上，屏幕上出现一组干涉条纹。已知屏上A、C两点分别对应零级亮条纹和零级暗条纹，B是AC的中点，如题图所示，试问：（1）若在双缝后放一理想偏振片P,屏上干涉条纹的位置、宽度会有何变化？（2）在一条缝的偏振片后放一光轴与偏振片透光方向成45。的半波片，屏上有无干涉条纹？A、B、C各点的情况如何？解：（1）因自然光通过偏振片后，<£透射光为线偏光，光强度减小一半，寸所以在双缝后放偏振片，不影响干涉条纹的位置和宽度，只是亮条纹的强度减小一半，暗条纹的强度不变。2)因所放波片的光轴与偏振片的透振方向成450角，出射为线偏光，与另

16、一缝透过的线偏光相垂直，两束光的相位差为：Ap=兀，干2涉条纹消失，在屏上出现照度均匀的现象。未加偏振片和波片时，因A点为零级亮条纹，两束光的相位差为：Ap=0，则该点的合相位差：Ap=Ap+Ap=兀1AA12所以A点的两束光合成为一束二、四象限的线偏光；在C点为零级暗条纹，两束光未加偏振片和波片时的相位差：Ap=兀，则该点的合相位差：Ap=Ap+Ap=2兀，最后在C点两1CC1C2束光合成为一、三象限的线偏光；在B点，合相位差：Ap=Ap+Ap=兀/2+兀=3/2兀，并且两束B1B2线偏光的强度是相等的，最后合成一束圆偏光。17 厚度为0.025mm的方解石波片，其表面平行于光轴，放在两个正

17、交的尼科耳棱镜之间，光轴与两个尼科耳各成450。如果射入第一个尼科耳的光是波长为400760nm的可见光，问透过第二个尼科耳的光中，少了那些波长的光？解：图中N1、N2是两尼科耳的主截面，O是波片的光轴。可见光经第一个尼科耳后，成为一束线偏光，光矢量的方向与N1平行，振幅设为A；线偏光经过波片，分解为两束线偏光，光振幅为Ao和Ae：A=Acos450A=Asin450oe2兀两束光的相位差：Ap=(n-n)d1入oe两束线偏光再经过第二个尼科耳后，形成两束振动方向平行的线偏光，其振幅为A2o和A2e:11A=Acos45ocos45o=AA=Asin45osin45o=A2o22e22冗最后透

18、射出系统的两光的相位差：Ap=飞一(n-n)d+兀九oe两光叠加，产生干涉现象，其光强度：I=A2+A2+2AAcosA®=2o2e2o2eA21+cos2九(nn)d+兀oe根据题意，要使某些波长的光消失，即应产生干涉相消，应使：2兀A®=(nn)d+兀=(2k+1)兀k=1、2、3、九oe化简得到：九二（none）d，代入数据：d二0.025mm和k的值，在可见光k的范围内，计算知道对应k值为：k=6、7、8、9、10，所少光的波长为：九二717nm、614nm、537nm、478nm、430nm18 把一块切成长方体的KDP晶体放在两个正交的偏振片之间，组成一个产生普

19、克尔斯效应的装置。已知电光常数Y=1.06x10-nm/V，寻常光在该晶体中的折射率n=1.51,若入射光波长为550nm,试计算从晶体出射的两束线偏光相位差为n时，所需加在晶体上的纵向电压（叫做半波电压）。解：根据公式：A®二孚n3丫V入0代入数据计算得到：V=7.53x103V19 将厚度为1mm且垂直于光轴切出的石英片放在两个平行的尼科耳棱镜之间，使从第一个尼科耳出射的光垂直射到石英片上，某一波长的光波经此石英片后，振动面旋转了200，问石英片厚度为多少时，该波长的光将完全不能通过？解：要使光完全不能通过，应该使第一个尼科耳出射的光束又通过晶片后，光振动的方向转过（2k+1加/

20、2，k=l、2、3、,此时光矢量的振动方向与第二个尼科耳的主截面垂直,所以石英片的厚度:兀1d二（2k+1）二（2k+1）x4.5mm220020试求使波长为509nm的光的振动面旋转1500的石英片的厚度。石英对该光的旋光度为29.70mm-1。解：已知光的振动面在单位长度上旋转29.7omm-i,则所求石英片的厚度：d二1500-29.70二5.051mm21将某种糖配制成浓度不同的4种溶液：100cm3溶液中分别含有30.5g、22.76g、29.4g和17.53g的糖。分别用旋光量糖计测出它们通过每分米溶液转过的角度依次是49.50、36.10、30.30和26.80,根据这些结果,计

21、算这几种糖的旋光率的平均值是多少?解:光矢量的振动面在溶液中旋转的角度屮，正比于溶液浓度C和传播的长度l:屮二ic根据题目给出的数据，可计算出四种溶液的旋光率:W1cm3（162.3。、158.6。、148.5。、152.9。）lCdmg平均值为：=155.601cm3dm22如题图所示装置，S为单色点光源，置于透镜L的焦点处，P为起偏器,L为此单色光的1/4波片，其光轴与偏振器的透振方向成a角，M为平面反1射镜。已知入射到偏振器的光束强度为I，试通过分析光束经过各元件后的光振动状态，求出光束返回后的光强。各元件对光束的损耗忽略不计。解：射入偏振器的为自然光，经过偏振器后出射为线偏光，再经1/

22、4波片出射，为椭圆偏振光，椭圆偏光由平面镜反射又回到1/4波片，透射后退化为线偏光，经偏振器出射，出射光仍然是线偏光。1第一次经过偏振器的光强度：I二111201经波片、平面镜反射回到偏振器的线偏光的光强为：I二11120该线偏光的振动方向与偏振器的透振方向成2a角，所以出射光的光强，根据马吕斯定律计算得到：1I=Icos2a=cos2a1223 一束椭圆偏振光沿Z轴方向传播，通过一个线起偏器，当起偏器透振方向沿X方向时，透射强度最大，其值为1.5I;当透振方向沿Y方向时，0透射强度最小，其值为I。（1）当透振方向与X轴成。角时，透射强度为0多少？（2）使原来的光束先通过一个1/4波片后，再通

23、过线起偏器，1/4波片的轴沿X方向，现在发现，当起偏器透光轴与X轴成300角时，透过两个元件的光强最大，求光强的最大值，并确定入射光强中非偏振成分占多少？解：24 有下列几个未标明的光学元件：（1）两个线偏器；（2）一个/4波片；（3）一个半波片；（4）一个圆偏振器。除了一个光源和一个光屏外，不借助其他光学仪器，如何鉴别上述光学元件？解：任意取其中两个元件，对准光源，旋转后方的元件，观察能否出现两次消光和两次光强最大现象，换上其他元件进行鉴定，直至其中的两个元件出现上述现象为止，则这两个元件就是线偏振器。在两个偏振器中间在放入其他的元件，旋转检偏器，如果出现两次消光和两次光强最大现象，则该元件

24、即为半波片；出现光强为两次最大和两次最小现象的为1/4波片；出现光强不变现象的是圆偏振器。25 一束绿光以600角入射到磷酸二氢钾（KDP）晶体表面，晶体的巴=1.512、n=1.470。设光轴与晶体表面平行，并垂直于入射面，求晶体中o光与e光的夹角。解：根据题意，o、e两光在晶体中,折射定律都是成立的，由：nsini=nsini1122晶体中o光的折射角：i二34.94oo2e光的折射角：i二36.1Ooe2晶体中o光与e光的夹角：i-i二1.O6oo2e226 通过尼科耳棱镜观察一束椭圆偏振光时，强度随尼科耳棱镜的旋转而改变，当强度为极小值时，在尼科耳棱镜（检偏器）前插入一块1/4波片，转

25、动1/4波片使它的光轴平行于检偏器的透振方向，再把检偏器沿顺时针方向转动200就完全消光。问（1）该椭圆偏光是右旋的还是左旋的？（2）椭圆的长、短轴之比是多少？解：27 推导出长、短轴之比为2:1，长轴沿X轴的右旋和左旋椭圆偏振光的琼斯矢量，并计算两个偏振光叠加的结果。解：长、短轴比为2：1，长轴沿x轴的右旋椭圆偏振光的的电场分量：E=Aeikz=2aeikzxxE=Ae(kz+A9)=ae(ikz_2)yy该右旋偏光的归一化琼斯矢量为：1Ax幺込屮Ay2.兀et2v5ti有：，'A2+A2=(2a)2+a2=、；5axy若为左旋偏光，人申=兀/2,琼斯矢量为：a21r2E2半a兀e=

26、i-i=3°31'e2o2=冇i两光叠加：E=Ei+E2=75：卜音:卜吉J爲=0=合0合成光波是一束矢量沿X轴的平面偏光。28 一束黄光以500角入射到方解石片上，晶片的切割方式是使光轴平行于前表面并垂直入射面，试求这两束出射光之间的夹角。已知方解石对黄光的折射率n=1.658,n=1.486。oe解：根据斯涅耳定律sini=nsini102osini=nsini1e2e式中i为入射角，i,i分别为寻常光和非常光的折射角。故12o2ei=arcsin(sin'i)=arcsin(0.766)=arcsin(0.462)=27O312on1.658oi=arcsin(

27、Sinii)=arcsin(0.766)=arcsin(0.515)=31。2'2en1.486e则两束出射的平面偏振光之间的夹角29 平行单色自然光垂直照射杨氏双缝，在幕上得到一组干涉条纹。（1）若在双缝后放一偏振片，试问干涉条纹有何变化？（2）若在一个缝的偏振片后面再放一片光轴和偏振片后面再放一片光轴和偏振片的透射出来的平面偏振光振面成450的半波片，则幕上的条纹又如何变化？解：（1）已知杨氏干涉实验中，幕上光强分布按公式为”AoI=41co2-o2式中I0为一个缝在幕上某点形成的光强，Ao为以缝发出的光波到达幕上某点的位相差。若用一偏振片放在双缝后，则干涉条纹的光强分布为I=4厶

28、）co222光强比不加偏振片减半的原因是由于偏振片吸收一半光强的缘故。其次由于偏振片极薄对光程差的影响甚微，故干涉条纹的位置和条纹的间隔并不改变。（2）若在双缝中一个缝的偏振片后面放一半波片，其光轴和偏振片的透射出来的平面偏振光振动面成450。则此缝的平面偏振光和另一疑的平1面偏振光比较，将对称于1波片光轴，转过20=2X45。，此时，变成两2束同频率、振动方向互相垂直的光的迭加，迭加结果不能形成明暗条纹。幕上获得均匀照度，各点光强相同，其数值为二+Lo=I。22o30把一个棱角a=0.33。的石英尖劈，其光轴平行于棱，放在相互正交的尼科耳之间。当X=6563A的红光通过尼科耳和尖劈产生干涉。

29、试计算相邻两条纹间的距离。已知该波长入射时，石英的折射率n=1.54190,n=1.55093。0e解：由于尼科耳N1和N2正交，故经N2透射出来的寻常光和非常光的位相差由514题可知为2兀Ao=l（n一n）+兀Xe0石英尖劈放在正交尼科耳N、n2之间，则可在n2后面看到尖劈所产生的平行尖劈棱边的明暗相间的等厚干涉条纹。设和尖劈棱顶相距y处的劈厚为l,则/二ytgguy-a故在/厚的劈处所产生的位相差为人2兀/、二y-a(n-n)+兀九e0当A申二(2k+1)兀为干小相当，A申二2k兀为干涉相长。那么相邻暗条纹的间距可由下式2兀A®=y-a(n一n)+兀=(2k+1)兀九e0求算，并令Ak=1，得到Ak2兀Ay-a（n一n）=2兀xAk九e0人九6563x10-8Ay=a（ne一no）0.33x盒x（1.55093-1.541900）=180x6563x10一8=1.2619厘米0.03兀x0.0090331有一厚度为0.04毫米的方解石晶片，其光