第4章-3高阶导数ppt课件

1、基本初等函数的导数导数的四则运算法则反函数的导数复合函数求导法隐函数的求导法参数方程求导法取对数求导法按定义求导数总结：求导方法两个习题 P114，12 P114，16 P114，13练习）3 高阶导数一. 高阶导数的概念高阶导数的运算法则 隐函数及参数方程确定的函数的高阶导数背景：加速度，导函数的导数。一. 高阶导数的概念,cos)(sinxx 观察,sin)(cosxx. sin 连续求两次导数的结果是x , sin 记为的二阶导数称为函数xxxxxsin)(cos)(sin)(sin )( )( ,仍然的导函数如果函数一般说来xfxf的二的导数为原来函数则称可导 )( )( ,xfxf

2、. ) )()( , xfxf记为阶导数推广: , , 1 )( 的函数它仍是阶导数存在的设xnxf . ,阶导数数的则称它的导数为原来函若它可导n : 阶导数的记号为n .dd ,d)(d , ),()()(nnnnnnxyxxfyxf , ) )()()1()(xfxfnn ,d)(dddd)(d11nnnnxxfxxxf ,dddddd11nnnnxyxxy , )( )1()(nnyy按照一阶导数的极限形式, 有：xxfxxfxfynnxnn)()(lim)()1()1(0)()(00)1()1(0)()()()(lim)(00 xxxfxfxfynnxxnxxn和二阶导数定义：P11

3、8 一个函数的导函数不一定再可导, 也不一定连续. 如果函数 f ( x) 在区间 I 上有直到 n 阶的导数 f (n)(x) , 且 f (n)( x) 仍是连续的 (此时低于 n 阶的导数均连续 ), 则称 f (x) 在区间 I 上 n 阶连续可导, 记为.)( ) I ()(nnCxfCxf或 假如 f (x) 在区间 I 上的任意阶的高阶导数均存在且连续, 则称函数 f (x) 是无穷次连续可导的, 记为.)( ) I ()(CxfCxf或1)(nnxnxy21) 1()()( nnxnnxnyy3)2( ) 1()( nxnnnyyknkkxknnnnyy) 1()2( ) 1(

4、)()1()(. , 的高阶导数求幂函数Znxyn)1(nk 解解例例1 1注意：当 k = n 时!123)2( ) 1()()(nnnnxnn所以：. 0)( , 1 ,)(knxnk时当从而knknxknnnx) 1() 1()()()1(nk 0)()(knx)1( nk)()()(knkbaxy, 1 时当nk kknabaxknnn)(1() 1( , 1 时当 nk0 )(ky解解例例2 2 . )( 的高阶导数求nbaxy多项式的高阶导数.nnnnnaxaxaxaxP1110)(231202)2)(1() 1( nnnaxnnaxnnay!0)(nayn解解12110) 1(n

5、nnaxnanxay例例3 3 . 0)2()1(nnyy对多项式而言： 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶数的导数均为 0 . 求 y = ex 的各阶导数.解解xey y = ex 的任何阶导数仍为 exxnxee)()()(Nnxxeeyy )()(xney)(例例4 4求 y = ax 的各阶导数.解解aayxln运用数学归纳法可得)( )(ln)()(Znaaanxnx2)(ln)ln()( aaaayyxxkxkaay)(ln)(例例5 5求 y = lnx 的各阶导数.解解11xxy2122) 1() 1(

6、xxy3)2)(1( xy111! ) 11 () 1(x212! ) 12() 1(x313! ) 13() 1(x设 kkkxky! ) 1() 1(1)(例例6 611)1()()!1() 1(kkkxkky)1(1)1(! 1) 1() 1(kkxk)( )!1() 1()(ln1)(Nnxnxynnnn类似地, 有)( )()!1() 1()(ln(1)(Nnbaxanbaxnnnn那么故由数学归纳法得. 1 的高阶导数求xy 解解)(ln1 xxy)1()()()(ln)(ln nnnxxy)1(1)1(! 1) 1() 1(nnxn)1(!) 1(nnxn 注意这里的方法例例7

7、7即类似地：)1()()(!) 1(1nnnnbaxanbax)( ! ) 1(1)1()(Zxxnxnnn解解xycosxysin xycos xysin)4(. cos , sin 的各阶导数求xyxyxysin 看出结论没有？)24sin(x)23sin(x)22sin(x)21sin(x例例8 8运用数学归纳法可以证得:)( )2sin()(sin)(Znnxxn类似地 , 可求得:)( )2cos()cos()(Znnxxn解解xxsincos)(cotdddd22xxxyx2csc.dd , sinln22xyxy求)sin(lnddddxxxyxcot例例9 9)sin(coss

8、in2sinxexeyxx )sin(cos2sinxxex. ,sinyeyx 求解解xeyxcossin二阶导数经常遇到, 一定要掌握.例例10102)(d)(dyyy223d ( ,0).dxyy yyy 解解由复合函数及反函数的求导法则, 得)()(1dddddddd22yyyxyyx2)(ddd)(dyyxxy3)(yy y1例例1111 . dd , 22的导数对是的导数对是与yxyxxyyy d1 , dxyy试从导出解解例例1212 ).( ),()( , )( )(2xfxfxfxfn求且满足有任意阶导数设 , )()( 2得求导两边关于对等式xxfxf ),(2)()(2)

9、(3xfxfxfxf ),(32)()(32)(42xfxfxfxf ),(! )( 1)(则有设xfkxfkk)()() 1( ! )()1(xfxfkkxfkk ,)( ! ) 1()(! ) 1(1)1(2kkxfkxfk 由数学归纳法得)(! )(1)(xfnxfnn高阶导数的运算法则 设 f (x), g(x) 有直到 n 阶的导数, 那么(1)(2) 莱布尼兹公式)()()()()()()(xgxfxgxfnnn)()()()()()(0)(xgxfCxgxfkknnkknn. ! )( ! , knknCkn其中两个基本公式：证明，P117. 651dd 2100100 xxx求

10、由于) 3)(2(16512xxxx,3121xx故31dd21dd651dd1001001001002100100 xxxxxxx101101)3(1)2(1!100 xx101100101100)3( !100) 1()2( !100) 1(xx解解例例1313)1( )(1! ) 1()(nnnxnx解解. , sin )80(2yxxy求设由莱布尼兹公式)80(2)80()sin(xxy)(280sin2080 xxCxxxxxsin6320cos160sin2)(278sin2280 xC )2sin()(sin )(nxxn)3( 0)( , 2)( ,2)( )(222 nxxx

11、xn)(279sin)2(180 xxC例例1414. 0)()() 12()( )1 ()(2) 1()2(2xfnxfxnxfxnnn证证0)()()1 ( 2 xfxxfx)(11)1 ()( 222xfxxxxxxf 满足下式证明 arcsin)( xxf看出一点什么没有？ 你打算怎么处理此式？例例1515 1 1)( 2xxf对上式关于 x 求导 n 次：)1(21)(20)()1 ()()(1 ( nnnnxfxCxfxC故)()2(! 2) 1()()2()()1 ()()1()2(2xfnnxfxnxfxnnn即0)()() 12()1 ()(2)1()2(2xfnxfxnfx

12、nnn)2(22)()1 ( nnxfxC0)()()1(1nnxfxC0)(1)()()1(xfnxfxnn)(0)(nnxfxC 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数原则是: 按照高阶导数的定义, 运用隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则逐阶进行求导. .dd , 4 2222xyyyxx求设对方程两边关于 x 求导:022yyyxyxyxyxy22 故解解 想想如何求二阶导数？例例1616yxyxxy22dd 22从而3322)2(24)2()(6yxyxyyxx2)2()(3yxyxy2)2()21)(2()2)(2(yxyyxyxy2)2( 223yxyxyxxy 对方程两边关于

13、 x 求导, 得:对该方程两边关于 x 求导:yeyeyxyyyxyx 2)1 (yxyxexyyey 2)1 (2.yxyxexyey解解)1 (yeyxyyx从而其中,例例1717 . , yeyxyx 求设.dd , )(tan 22xyyxy求设方程两边对 x 求导)1()(sec2yyxy)(sec1)(secdd 22yxyxxy得)(sin12yx )(csc2yx 解解例例1818xyxxydddddd22)(cot)(csc232yxyx)1 ()(cot)csc()csc(2yyxyxyx)csc()csc(2yxyx)(cscdd2yxx故)(csc2yxy.dd , a

14、rctan)1ln( 332xyttytx求设解解)1ln()arctan(dd2tttxy)1ln(2dd222ttxy21211122tttttttt41122122例例1919 )1ln(41dd2233tttxy3422228112412ttttttt 参数方程求导 并不难啊 ！22(sin )d . (1 cos )dxa ttyyatx 设求解解) )sin() )cos1 (ddttataxy 2cottttcos1sin) )sin(2cotdd)(22ttatxy)cos1 (12sin212tat) ,2 ( Zkkt2)cos1 (1ta例例2020.dd , )( ,

15、)( , )()( 22xytytxtyytxx求均有二阶导数已知解解)()(ddtxtyxytxxytxydddddddd22)()()(txtxty)()()()()()(2txtxtxtytxty 3)()()()()(txtxtytxty 例例2121例例2222 )( 是由方程组设xyy 01sin 03 2 3 2ytextty . 0 dd ,22txy求所确定的隐函数解解 3, , 03 3 3 0 2及得由txxtt, 2 6 ddttx 1 , 01sin 0 及得由tyyyte ,2 cos sin1cos ddytetetetyyyy, )2 6)(2( cos dd dd dd tytetxtyxyy故2 6cos2dddddddd 22ttyexxyxxyy从而2 6cosdd22dd2 6costtxyeyexttyy32)2 6)(2(cos6sin)2 6( dd)2)(2 (6 cos)3( tytttex