资产定价理论-BS公式

1、第五讲第五讲 BSBS公式公式金融衍生工具概念金融衍生工具（金融衍生产品),建立在基础产品、变量上，价格取决于基础金融产品价格变动派生金融产品。（1）基础金融产品既有现货金融产品：债券、股票、银行定期存款订单；也）基础金融产品既有现货金融产品：债券、股票、银行定期存款订单；也有衍生金融工具；有衍生金融工具；（2）基础变量：利率、各类价格指数（）基础变量：利率、各类价格指数（CPI、PPI、航运价格指数、航运价格指数.）、天气）、天气(温度、湿度）指数温度、湿度）指数2022-5-735/7/2022基本特征跨期性跨期性杠杆性杠杆性不确定性、高不确定性、高风险性风险性联动性联动性衍生工具具有强大

2、构造特衍生工具具有强大构造特性，多级合成新衍生产品性，多级合成新衍生产品，还可复制基础产品，还可复制基础产品 金融远期金融远期期货期货期权期权 互换互换结构化金融衍生工具结构化金融衍生工具可按照产品形态、交易场所、基础工具种类、自身交易方法与特点等进行分类 货币衍生工具货币衍生工具 利率衍生工具利率衍生工具股权类产品衍生工具股权类产品衍生工具 信用衍生工具信用衍生工具 其他衍生工具其他衍生工具基本类型基本类型按基础工具分类按基础工具分类衍生工具分类2022-5-755/7/2022金融衍生工具功能投机投机降低交易成本降低交易成本微观功能微观功能ADBC价格发现价格发现套期保值套期保值资源配置资

3、源配置降低国家风险降低国家风险容纳社会游资容纳社会游资宏观功能宏观功能2022-5-765/7/2022产生与发展动因120世纪世纪70年代利市、汇市、债市、股市剧烈波动，商业银年代利市、汇市、债市、股市剧烈波动，商业银行、投资机构、企业需要寻找避险工具行、投资机构、企业需要寻找避险工具 220世纪世纪80年代以来金融自由化推动年代以来金融自由化推动3金融机构利润驱动金融机构利润驱动 4新技术革命提供物质基础与手段新技术革命提供物质基础与手段期权合约的基本概念 期权(option)是最基本的金融衍生工具之一。根据较为严谨的定义，期权是一种衍生性合约(derivative contract)，即

4、当合约买方付出期权费(option premium)后，其在特定时间内可以根据合约载明的执行价格(exercise price)，享有向合约卖方买入或卖出一定数量标的物(underlying assets)的权利，但无需承担必须买入或卖出该标的物的义务。如果上述权利的执行结果是买进标的物，则此期权称为“买入期权”或“看涨期权”(call option)，简称为“买权(call)”；如果上述权利的执行结果是卖出标的物，则此期权称为“卖出期权”或“看跌期权”(put option)，简称为“卖权(put)”按标的物不同分类商品期权金融期权石油类有色金属及贵金属农产品股票外汇指数（股票指数、天气指数

5、）利率期权合约的分类按权利有效行使时间不同欧式期权(European option)百慕大式期权(Bermuda option)美式期权(American option)其他新型期权亚式期权(Asian option)也称平均比率期权(average rate option)、两值期权(binary option)也称或有期权(all or nothing option)、障碍期权(barrier option)、回顾期权(look back option)、任选期权(chooser option)、彩虹期权(rainbow option)、复合型期权(compound option)“期权的

6、期权” 期权的价值体现在期权费(option premium)上，期权费的多少及为期权的价格。期权费=内在价值(intrinsic value) + 时间价值(time value)期权的收益曲线0俱乐部收益球员表现签入成本0PE0PE0PE0PEa. 买入看涨期权收益曲线b. 卖出看涨期权收益曲线c. 买入看跌期权收益曲线d. 卖出看跌期权收益曲线看涨期权多头看涨期权空头看跌期权多头看跌期权空头权利与义务有选择是否执行期权的权利，无义务只有根据多头要求执行或不执行期权的义务有选择是否执行期权的权利，无义务只有根据多头要求执行或不执行期权的义务期权费支付期权费收取期权费支付期权费收取期权费最大

7、损失期权费无限损失期权费无限损失最大获利无限获利期权费无限获利期权费合约选择预期未来行情上涨预期未来行情下跌预期未来行情下跌预期未来行情上涨多空头项目期权合约的定价模型 二叉树模型单期二叉树模型 假设一个距离到期日还有一期的股票欧式买入期权，行权价格为K。假定在期权有效期内，股票不会支付任何现金红利。 二叉树模型假设的标的股票价格S服从简单的平稳二项过程。在任何时点，价格可能上升至 或者下降至 。这一简单过程可以用二叉树表示为：u SdSSu SdS 设 表示买入期权的当前价值， 表示期末股价上涨到 时的期权价值，而 表示期末股价下跌到 时的期权价值。 因为在买入期权的有效期内只剩下一期，可以

8、得到： CuCdC,0uCMax u SK,0dCMax d SK,0uCMax u SK,0dCMax d SKC可以用下图描述：u SdS构造这样一个证券组合：(1)卖出一份买入期权；(2)买入 份的标的股票。期初时，该证券组合的价值为：期末时，如果股票价格上涨，则该证券组合的价值为：期末时，如果股票价格下跌，则该证券组合的价值为：SCuu SC dd SC SCuu SC dd SC 可以选择一个 使得总体的证券组合是无风险的，即不论股价如何变动，证券组合的价值相同。!udnu SCd SCrnr 可以得到：()udCCSud 当 为上值时，持有这一证券组合的投资者不承担风险，且该证券组

9、合的终值确定已知。因此，投资者应该期望在该期内赚取无风险利率(r)：11dud SCu SCSCrr 带入 的表达式，可得：11ududdCCCCrSCd SSudSudCr 11uddudCCrCuddCCudr111udrdurCCududCr 整理得：定义：1rdud 公式可进一步简化得：1-1+rudCCC 对于上述公式的直观理解可以是：期权的的价值等于到期时期权价值的加权平均现值。公式中的权数 通常被解释为风险中性概率，而这种衍生品定价方法也被称为风险中性定价法。多期二叉树模型在单期二叉树模型的基础上再增加一期，其变动情况如下图所示：Su Sd S2dS2uSu d SCuCdCdd

10、CuuCudC可能的股票价格变动（两期）可能的期权价格变动（两期）其中： 表示如果股票价格增加两次，买入期权的价值 表示如果股票价格下降两次，买入期权的价值 表示如果股票价格上升一次又下降一次，买入期权的价值为uuC2,0Max uSK2,0Max dSKddCudC,0Max u d SK 根据单期二叉树模型的结论，如果股票价格在1时期为 ，我们可以倒推在1时期的期权价值为：u S1-1+ruuuduCCC 如果股票价格在1时期为 ，则1时期的期权价值为：d S1-1+ruuuddCCC考虑0时期，将 与 带入单期二叉树定价公式中uCdC1-1+rudCCC 可以得到：111111uuudu

11、dddCCCCrrCr 即：2222111uuudddCCCCr 按照完全相同的方法，从到期日往回推倒，可以建立起一个递归过程以得到具有任何时期的买入期权价值。可以证明对于任意n，其一般的估值公式为：0!10,!1nnjjjnjjnnMaxudSKjnjCr 在之前的讨论中，都是以买入期权为例。同样，模型也适用于卖出期权。 卖出期权可表示为：0!10,!1nnjjjnjjnnMaxKudSjnjPr 布莱克布莱克斯科尔斯斯科尔斯(Black-Scholes) 期权定价模型期权定价模型 1973年，美国芝加哥大学教授费希尔布莱克与迈伦斯科尔斯发表了期权定价和公司债务一文。在该文中，他们提出了有史

12、以来第一个期权定价模型，即Black-Scholes期权定价模型。该模型推导出了基于无红利支付股票的任何衍生证券价格必须满足的微分方程，并运用该方程得出了股票的欧式看涨期权和看跌期权的价值。B-S模型的模型的8条基本假设：条基本假设：1，股票价格服从波动率 和收益率为常数的随机过程；2，对卖空没有任何限制，卖空所得资金由交易者自行支配；3，没有交易费用和税收，且所有证券是高度可分的；4，在衍生证券的有效期内没有红利支付；5，不存在无风险套利机会；6，证券交易是连续的；7，无风险利率r为常数，且对所有到期日都相同；8，讨论的期权为欧式期权。 在上述假设条件下，若当前为t时刻，期权到期日为T时刻，

13、 为股票在T时刻的价格，X为期权的执行价格，则欧式看涨期权到期日的期望价值为：TS到期日期望价值,0TE Max SX 因此，在风险中性的世界中，欧式看涨期权的现价c就是这个期望价值以无风险利率贴现的结果：,0r TtTceE Max SX（1） 根据假设条件1，可以推导出在风险中性世界中， 具有对数正态分布性质，即 服从如下的分布：TSlnTS2lnln,2TSNSrTtTt（2） 利用积分的方法对式（1）右边求值，并将式（2）代入到式（1）中，最终可得：12r T tcSN dXeN d（3）式中 为均值为0，标准差为1的标准正态分布的累计概率分布函数。 N x其中：21ln/2SXrTt

14、dTt22ln/2SXrTtdTt21ddTt 对于欧式看跌期权的定价，由于欧式期权不能提前执行，因此欧式看涨期权与欧式看跌期权之间在期权到期日具有平价关系：21r T tpXeNdSNdr T tcXepS 所以，在 已知的情况下，根据 和 之间的平价关系可以计算出 的值为ccppBlack-Scholes模型的改进模型的改进 Black-Scholes模型提出后，由于其定价模型是关于股票期权的，因此在应用到股票指数期权、期货期权等方面需要作出一些改进。关于期货期权的改进 经过证明，期货价格的行为类似于红利率等于r的股票价格行为，因此期货期权的定价可以和连续支付红利率为r的股票的定价相同。改

15、进后的期货期权的定价模型为：12r T tceFN dXN d21r T tpeXNdFNd其中：21ln/2FXTtdTt22ln/2SXTtdTt基于红利支付股票期权的改进 支付红利时股票价格会降低，因此，支付连续红利（红利率为q）使得股票价格的增长率比不支付红利率时减少了q。因此，基于红利支付股票期权的定价模型为：()12r T tq T tcSeN dXeN d其中：21ln/2SXrqTtdTt22ln/2SXrqTtdTt()21r T tq T tpXeNdSeNd 此模型也能用于股指期权的定价。此时S表示股票指数的值， 表示指数波动率，q表示指数的红利收益率。关于货币期权的改进

16、 为货币期权定价时，定义S为即期汇率， 为汇率变动波动率， 为外汇在其发行过程中的无风险利率，同时假设汇率与股票价格遵循相同的随机过程。可以证明外汇持有者收入的“红利收益率”等于外汇在其发行国的无风险利率 ，所以改进后的货币期权的定价模型为：其中：21ln/2fSXrrTtdTt22ln/2fSXrrTtdTtfrfr()12frT tr T tcSeN dXeN d()21frT tr T tpXeNdSeNdB-S公式公式1964年年Paul Samuelson提出提出S.D.E （5.1） 设设 V 是看涨期权价格，是看涨期权价格， S是股价，是股价， K是敲定价格，是敲定价格， T是到

17、期时间，是到期时间，则有则有B-S公式公式 (5.2)B-S公式证明公式证明Step 1 由由Ito公式公式运用对冲技巧，可将运用对冲技巧，可将(5.1)化为如下形式化为如下形式 (5.3) 注意边界条件注意边界条件(看涨期权看涨期权 call option） (5.4)求解区域为求解区域为（5.3）与（）与（5.4）构成了抛物型方程的）构成了抛物型方程的定解问题。定解问题。Step 2 做自变量代换做自变量代换定解问题（定解问题（5.3）和（）和（5.4）化为如下形式）化为如下形式Step3 对对Cauchy问题（问题（5.5）和（）和（5.6） 作函数变换作函数变换（5.5）化为如下形式）

18、化为如下形式令令此时，（此时，（7.5）化为）化为（7.6）化为）化为Step4 Cauchy问题（问题（5.7）和（）和（5.8）可用）可用 Passion公式公式计算求得计算求得Step5 注意到注意到 ，返回到原来的未知函数，返回到原来的未知函数这里这里令令按照标准正态分布的概率分布函数，可得按照标准正态分布的概率分布函数，可得同理同理第六讲第六讲期权价格的计算期权价格的计算6.1 高斯（高斯（Gauss）变量分布）变量分布 函数的估计函数的估计由由B-S公式知，需计算公式知，需计算该函数在期权定价中非常重要，下面给出三种方该函数在期权定价中非常重要，下面给出三种方法。法。方法一（精度方

19、法一（精度10-7）其中其中方法二（精度方法二（精度10-3）其中其中方法三（精度方法三（精度10-n）证明：利用极坐标变换和积分不等式可得：证明：利用极坐标变换和积分不等式可得：再利用介值定理即得到结果。再利用介值定理即得到结果。6.2 布朗运动的模拟布朗运动的模拟方法一方法一：记：记 是一种独立的、服从相同分布的随机是一种独立的、服从相同分布的随机变量序列，概率分布为变量序列，概率分布为 ， ，则则 ， ，记记 利用随机过程利用随机过程 来表示布朗运动来表示布朗运动.此处此处 ， （Gauss函数）是一个不大于函数）是一个不大于x的整数。的整数。方法二方法二：设：设 是一个服从正态分布序列

20、，是一个服从正态分布序列，若若 ，记，记则则 与与 具有相同的分布函数，具有相同的分布函数，因此，布朗运动可用因此，布朗运动可用 来代替。来代替。6.3 S.D.E的模拟的模拟方法一方法一：（：（Euler估计法）估计法）记记则可用则可用 模拟模拟 。方法二方法二 ：（Brown估计法）估计法）利用表达式利用表达式用用 来代替其中的来代替其中的 ，得到，得到应用应用:基于跳过程的可转债定价基于跳过程的可转债定价一、主要概括一、主要概括目前我国共有12只可转债在二级市场交易，其中签率虽然远低于股票，但投资优势已被机构投资者充分认识，比如上市7只可转债的收益在2010年的三季度平均涨幅为9.52%

21、，与上证指数三季度涨幅7.94%相比高出很多。可转债市场的健康发展，需要可转债市场制度的完善，尤其需规范可转债发行与定价体制。2.在计算过程中避免蒙特卡洛的不足之处，采用龙格-库塔计算方法解决了非模拟计算的问题，并使公式/模型能适用于股票价格波动变量服从任一分布下的可转债的定价方案。为何研究为何研究创新点创新点1.引入股票的跳扩散因素到可转债的定价，并考虑了跳过程的百分比，使股票的跳-扩散频率更高，更能体现对可转债定价的影响。3.通过建模，案例分析的形式，一系列的分析和检验预测，探究模型与中国可转债市场价格的拟合性。文章结构二、可转债的现状与问题二、可转债的现状与问题投资者投资者融资者融资者风

22、险转换后股权被稀释股价波动股价波动固定利息收益税收利益、连续融资利息低，融资成本低债券被提前赎回债券被强制转换股票上涨增值潜力损失高利息风险优点优点我国可转债发行量不稳定、在债券我国可转债发行量不稳定、在债券发行总量的比例有待提高发行总量的比例有待提高我国可转债发行公司行业分布不均，我国可转债发行公司行业分布不均，聚拢性有待调整聚拢性有待调整我国可转债条款千篇一律，具体款我国可转债条款千篇一律，具体款项有待精雕细琢项有待精雕细琢股票价格高低可转债的风险与优点我国可转债的问题我国可转债的问题强制转换债券提前赎回债券三、可转债定价的理论与方法（一）三、可转债定价的理论与方法（一）基于二叉树期权基于

23、二叉树期权ntntrFry1)1 ()1 (BCBV债券价格分为纯债券价值与期权价值：)()(21dNXedSNCrTijSdujii,.1 , 0,),max(,FkSdufjiijN基于利率期限结构基于利率期限结构基于基于Black-Scholes公式公式的可转债定价的可转债定价三、可转债定价的理论与方法（二）三、可转债定价的理论与方法（二）假定股票价格满足下方程：SdwSdtdS伊藤引理dwdtdS)2(2 )()D(D)U(UttdNYdNYSbSdwaSdtdS)D(D)U(U2)21(lnttdNYdNYbdwdtbaSd、 其中 、 是股票价格跳-扩散的表现，分别表示股票每日收盘

24、价相比前一交易日向上或向下振动2%以上的百分比，相互独立。UYDY%10%,2UY%2%,10DY四、基于跳过程的可转债定价（一）四、基于跳过程的可转债定价（一）)ln() 1,(11jijikkjkkSSiir111111) 1,(11) 1,(kkiijkkjkkkkjiiriiiir21111)1,(11) 1,() 1,(kkkkiijkkjkkjiiiiriirESS0) 1,(1kkjiir0)1,(1kkiiESS1010) 1,(1kkkkjiirkkr10)1,(1kkiikkESSESS)21 (122btrta021kknESStb)()D(D)U(UttdNYdNYSb

25、SdwaSdtdS每个样本集每个样本集单一单一样本样本集集汇总汇总四、基于跳过程的可转债定价（二）四、基于跳过程的可转债定价（二）tbtbaYYsSkiikiit)21(exp)1 ()1 (21D1U0DU)(0ReEVrTFBCSSCFFBCSBRTTT,)21(exp)1 ()1 ()()21(exp)1 ()1 (21D1U0)21(exp)1 ()1 (02D1DU1U0DU2D1DU1U0MBCtbtbaYYskiikiirTMBCtbtbaYYsBrTTkiikiikiikiiItbtbaYYsCMeEIPeEV dxpxxEx)()(FBCtbtbaYYskiikiiT)21(

26、exp)1 ()1 (21D1U0)(DU0DU000)21(exp)1 ()1 (21D1U0000TkiikiirTTrTTTrTTrTdttbtbaYYsCMeBdtedtSCMeBdteV正股价格公式可转债价格龙格-库塔方法0T的确定五、基于跳过程的可转债定价的实证检验（一）五、基于跳过程的可转债定价的实证检验（一）可转债名称正股 沪市新钢转债新钢转债0.001365 0.016151 0.001433 0.011650 7.92 9.19澄星转债澄星转债0.002999 0.009445 0.003072 0.012054 10.22 8.15博汇转债博汇转债0.002187 0.011825 0.002247 0.010985 9.73 8.69王府转债王府转债0.000808 0.014429 0.000863 0.010495 30.96 28.16双良转债双良转债-0.000079 0.010417 -0.000016 0.011203 19.53 12.27中行转债中行转债-0.000054 0.019911 -0.000008 0