预测模型（灰色系统分析方法）

1、预测模型 回归模型 灰色模型 微分方程模型 等等回归分析方法 一元线性回归 可线性化一元非线性回归 多元线性回归 多项式回归 多元二项式回归一元线性回归分析的主要任务主要任务是：非线性回归：（1）双曲线双曲线xbay1返回返回多元回归：多项式回归多元二项式回归多元二项式回归由下列 4 个模型中选择 1 个（用字符串输入，缺省时为线性模型）： linear（线性）：mmxxy 110 purequadratic（纯二次）： njjjjmmxxxy12110 interaction（交叉）： mkjkjjkmmxxxxy1110 quadratic（完全二次）： mkjkjjkmmxxxxy,11

2、10 灰色系统分析方法一、灰色系统相关背景 1982年，中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色系统模型对实验观测数据没有什么特殊的要求和限制，因此应用领域十分宽广。 灰色系统分析方法主要是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分利用数量不多的数据和信息寻求相关因素自身与各因素之间的数学关系即建立相应的数学模型二、灰色系统理论的主要内容 灰色关联分析 灰

3、色模型 GM(1,1)等 灰色预测 等等三、灰色模型GM 1、数据的生成A累加生成（Accumulating Generation Operator ）AGO设为原始序列令则称数列为一次累加生成数列，1-AGO)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxX 0(1)1( );1,2,kiXkxi kn 例如已给原始数据数列 它没有明显的规律性。1-ago为：将上述数据作图如下： r-ago为 11;1,2,krrixkxi kn 3 , 5 . 1 , 2 , 10X 11,3,4.5,7.5X B累减生成IAGO是在获取增

4、量信息时常用的生成，累减生成对累加生成起还原作用 记原始数列 则令称为一次累减生成如（1，5，6，8）一次累减生成序列（1，4，1，2）类似定义r次累减生成)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxX 0111 ;2,xkxkxkkn C均值生成原始序列称 为数列的邻值 对于常数 0,1 ，称为该数列生成系数（权）为的邻值生成特别的=0.5为邻均值生成数。类似可定义非邻均值生成数(0)(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(1),( ).,( )Xxxxkxkxn(0)(0)(1),( )xkxk(0)(0)(0)( )( )(1)(1)zkxkxk(0)(0)(0)1(

5、 )( )(1)2zkxkxk2、GM(1,1)模型 设原始序列为 其1-ago序列为 邻均值生成序列)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxX)(,),3(),2()1()1()1()1(nzzzZ)1()(21)()1()1()1(kxkxkz 则GM(1,1)模型的基本形式 为 参数a为发展系数，反映了 及 的发展态势 b为灰色作用量 又称为白化背景值序列bkazkx)()()1()0(0)X(1)x(1)( )zk 则GM(1,1)模型的基本形式 为 参数估计定理 ： 记 GM(1,1)模型的参数的最小二乘估计b

6、kazkx)()()1()0(),(baTa )() 3()2()0()0()0(nYxxx1)(1)3(1)2()1()1()1(nBzzzYBBBaTT1)( 引入中间参数，又可表示为GM（1，1）的时间响应序列）的时间响应序列 定义定义为GM(1,1)模型 的白化方程，也叫影子方程。其时间响应函数为 由此得到GM（1，1）的时间响应序列badtdxx)1()1(bkazkx)()()1()0(ababtexxat) 1 ()()1()1(0)(1)(1)(1)(1)( )kkkxxx(0)(1)(1)aakbae xeababkexxak) 1 () 1()0()1(nk, 2 , 1n

7、k, 2 , 1四、灰色预测基本步骤： 1、数据的预处理与前期检验2、建立灰色模型，估计参数3、生成模拟值4、检验误差5、预测 1、数据的预处理与前期检验 在专著 灰色系统理论教程中，指出：GM(1，1)模型发展系数a只有在(-2，+2)，也就是a的绝对值小于2，GM(1，1)才有意义只有原序列级比才能满足。若不满足，可以尝试以下处理方式： 对数处理，（对数变换） 方根处理，（开m次方） 平移处理 （加一常数）(0)(0)(0)(1)( )(0.1353,7.389),k=2,3.n( )kkkxx2、建立灰色模型，估计参数 参数估计定理 ： 记 GM(1,1)模型的参数的最小二乘估计bkaz

8、kx)()()1()0(),(baTa )() 3()2()0()0()0(nYxxx1)(1)3(1)2()1()1()1(nBzzzYBBBaTT1)( 3、生成模拟值(0)(1)(1)(1)(1)( )kkkxxx(0)(1)(1)aakbae xeababkexxak) 1 () 1()0()1(1,2,1kn1,2,1kn4、检验误差 定义1：残差序列)(,),2(),1 ()0(n(0)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1),(2)(2),( )( )xxxxxnxn)()(21)()(000120000nxnxkxkxssinkii 上述三个定义给出了检验模型的三种方法。 这

9、三种方法都是通过对残差的考察来判断模型的精度，其中平均相对误差和模拟误差都要求越小越好，关联度要求越大越好，均方差比值越小越好以及小误差概率越大越好. 给定 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级。常用的精度等级见下表，可供检验模型参考。5、预测 根据问题需要进行预测，对结果进行分析说明 例：某城市人均年收入统计（05年-08年）（单位:万元)如下试建立灰色模型预测。第一步： 级比检验（符合）记原始序列27260,29547,32411,35388(1)( )(0.1353,7.389),k=2,3.n( )kkkxx(27260,29547,32411,35388)( (1), (2

10、), (3), (4)Xxxxx 第二步：建立模型1-AGO(1)(1)(1)(1)(1)(1),(2),(3),(4)(27260,56807,89218,124606)Xxxxx5 .71)1 ( ) 4 ( () 1 () 4 (21)1 ( )( () 1 ()(32kxxxxxkxxkxss90. 0997. 05 .715 .114301150215 .1143011502111ssssss关联度为一级。计算均方差比C46.64,75.4154)(41,75.18)(4148.6103,37252465)(41, 5 .31151)(412412412214124121SkSkSx

11、kxSkxxkkkk 均方差比值为一级。 计算小误差概率： 小误差概率为一级，故可用35. 001. 048.610346.6412SSC80.41166745.01S75.11)4(,25.55)3(,75.24)2(,75.18) 1 (95. 01)6745. 0)(1SkPp进行预测09年)() 1() 1(286574313834) 1()1 ()1 ()0(089995. 0)1 (kxkxkxekxk(0)0.089995*40.089995*3(5)31383431383438713.29(xee元）SARS疫情对某些经济指标影响问题 03年数学建模比赛赛题 问题的提出 2003年的SARS疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定的影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是明显的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业很多方面难已进行定量地评估，现仅就SARS疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分