答案拓扑学基础B

1、答案拓扑学基础 B东北大学秦皐岛分校学号课程名称：拓扑学基础（答案）试卷： B 考试形式：闭卷2. 叙述同胚映射的定义并给出一个不是同胚映射连续的满开映射。（ 5 分）答：定义：拓扑空间之间的一个连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也 班级姓名装订装线订线内不要答题授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2011 年 5 月 26 日试卷：共 3 页一、填空题：（每空 2 分，共 30 分）1. 数字 30的连通分支的个数是 2 ,数字 9的连通分支的个数是 1。2.数字 8 的割 点的个数 是 1。数字 6的割点的个数是无穷。 3.汉字“土”的指数为 1的点的个数 为指数为 2 的点的

2、个数 为，指数为 3 的点的个数为 1 , 指数为 4 的点的个数为 1。4. 给实数集赋予欧式拓扑，则区间 0,1 的内部是，导集是，闭包是 0, 叮。5. 设 X 1,2, 写出所有拓扑， X, ,1 , X, ,2 。二、问答题：（共 30 分）1. 分别给出既开又闭既不开又不闭的集合的例子。（5 分）答：双曲线中每个连通分支都是既开又闭的集合。（ 2 分） X 1,2,3, 取拓扑为 （X, , 1 ，贝叫 2 是既不开又不闭的集合。（ 5 分）注：例子不唯一，正确即可。是连续的。（ 3分）商映射在不是一一对应时是一个不是同胚映射连续的满开映射。（5 分）注：例子不唯一，正确即可。3.

3、 叙述 T0 空间、T1空间、T2空间的定义并给岀不是 TO空间的例子以及不是 T2空间的T1空间的例子。（10分）答：设X是拓扑空间，若对其中任意两点都存在其中一点的开邻域不包含另外一点，则称其为T0空间；（2分）若对其中任意两点都存在每一点的开邻域不包含另外一点，则称其为T1空间；（4分）若对其中任意两点都存在各自的开邻域使得这两个开邻域不相交，则称其为 T2空间；（6分）不少于两点的平凡空间不是T0空间；（8分）给实数集赋予余有限拓扑，则它是 T1空间，不是T2空间。（10分）注：例子不唯一，正确即可。-1 -学号班级姓名装订装线订线内不要答题4. 简述克莱因瓶的定义。（5分）答：在单位

4、正方形12 （ x, y ） E210 x, y 1上定义等价关系：x 0,1,（x,0）与（x, 1 ）等价y 0,1,（ 0, y ）与（1, 1-y ）等价则商空间称为克莱因瓶。5. 谈谈你对拓扑学中商空间的思想的认识。（5分）注：无唯一标准答案。三、证明题：（任选 4个小题，每小题 10分，共40分）1.设X是一个拓扑空间，W X,求证 W是开集当且仅当它是它的每个点的邻域。证明：“”由邻域的定义，这是显然的。（2分）“” x W,因为W是x的邻域，由邻域的定义，存在开集 Ox W,使得x Oxo （5分）所以 W x Wx x WOx Wo所以W x WOx （ 8分）因为开集的任意

5、并集是开集，所以W是开集。（10分）2. 证明第二可数空间是可分空间。证明：设X是第二可数空间。T为一组可数基。（2分）B T, 取 b B, 则这些 b 构成可数集合 D。x X及x的每一邻域U,由于U包含非空开集，从而包含T中成员。（5分）所以U D o这说明 x Do （8分）从而 X D （10分） -2-3. 设f:X Y 是紧空间X到T2空间Y之间的连续满射，证明f是商映射。5. 证明有连通的稠密子集的拓扑空间是连通的。证明：设X是拓扑空间，丫是稠密子集，A是X的既开又闭的非空子集。则有A Y o （4 分）学号证明：由已知，X是紧空间，丫是T2空间，f:X 丫是连续满射。A X,

6、 A是闭集。由X是紧空间，而紧空间的闭子集是紧的，从而班级姓名装订装线订线内不要答题A是紧的。（3分）因为紧空间在连续映射下的像是紧的，所以f （A）是紧的。（5分）又丫是T2空间,而T2空间的紧子集是闭的，所以f （A）是闭的。（8分）这说明f是闭映射。从 而是商映射。（10分）4.证明T2空间的紧子集是闭集。证明：设X是Tc2空间，A是紧子集。现证明 A是开集。（2分）X Ac,a A,由于X是T2空间，所以分别存在 x与a的不相交的开邻域 Ua与Va。（ 4分）由Va|a A 是A的开覆盖，A是紧子集，所以有有限的子覆盖Vai, , Van 2（6分）记U nnilUai, V i lVai, 贝 UU是x的开邻域，V U , V A, （ 8分）所以U Vc Ac,这说明 Ac 是开集。（ 10 分）又A Y是Y的既开又闭的非空子集，Y连通，所以 A Y Yo （ 7 所以 A Y所以X Y A Ao这说明X连通。6. 证明若拓扑空间连通则它无既开又闭的非空真子集。证明：设X是连通空间。设 A X既开又闭冃非空。设A X,则X A既开又闭，且 X