高一数学（函数模型及其应用）

1、知识探究（一）：知识探究（一）：函数建构问题函数建构问题思考思考: : 从图中你能读从图中你能读 出什么信息？出什么信息？ 思考思考: : 图中图中5 5个小矩形的个小矩形的 面积之和为多少？面积之和为多少？ 它有什么实际含义？它有什么实际含义？问题问题1 1：一辆汽车在某段路程中的行驶速率与：一辆汽车在某段路程中的行驶速率与 时间的关系如图所示时间的关系如图所示 v/(km/h)5065758090t/ h3o1245图中图中小矩形矩形的面积即为汽车所走的路程.S=501+801+901+751+651=360 (km)含义：5个矩形的面积之和表示汽车在这矩形的面积之和表示汽车在这5小时小时

2、 行驶的路程行驶的路程.S=50t+2004, ( 0t1);80(t -1)+2054, (1t2);90(t -2)+2134, (2t3);75(t -3)+2224, (3t4);65(t -4)+2299, (4t5).思考思考: :假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为段路程前的读数为2004km2004km，那么行驶这段路，那么行驶这段路程时汽车里程表读数程时汽车里程表读数s(kms(km) )与时间与时间(h)(h)的函数的函数关系如何？关系如何？v/(km/h)5065758090t/ h3o1 24 5画出这个函数的图象画出这个函数

3、的图象tyo12345S=50t+2004, (0t1);80(t -1)+2054,(1t2);90(t -2)+2134, (2t3);75(t -3)+2224, (3t4);65(t -4)+2299, (4t5).知识探究（二）：知识探究（二）：函数模型问题函数模型问题 问题问题2 2：人口问题是当今世界各国普遍关注：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据有效控制人口增长提供依据. .早在早在17981798年，英年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下

4、的人口增长模型：人口增长模型： ，其中，其中t t表示经过的表示经过的时间，时间，y y0 0表示表示t=0t=0时的人口数，时的人口数，r r表示人口的表示人口的年平均增长率年平均增长率. .下表是我国下表是我国1950195019591959年的人年的人口数据资料：口数据资料：( (单位单位: :万万) ) 0rtyy e6720767207659946599464563645636282862828614566145660266602665879658796574825748256300563005519655196人数人数19591959195819581957195719561956

5、195519551954195419531953195219521951195119501950年份年份思考思考1:1:我国我国19511951年的人口增长率约为多少？年的人口增长率约为多少？ 思考思考2:2:如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率期的人口增长率( (精确到精确到0.0001)0.0001)那么那么1951195119591959年期间年期间我国人口的年平均增长率是多少？我国人口的年平均增长率是多少？年份年份19501950195119511952195219531953195419541955195519561956

6、195719571958195819591959人数人数5519655196563005630057482574825879658796602666026661456614566282862828645636456365994659946720767207解：设19511959年的人口增长率分别为：率分别为：r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8,r9则:55196(1+r1)=56300可得1951年的人口增长率为率为:r10.0200年份年份19511951195219521953195319541954195519551956195619571957195819581959195

7、9增长率率0.02000.02000.02100.02100.02290.02290.02500.02500.01970.01970.02230.02230.02760.02760.02220.02220.01840.018419511959年期间我国人口的年平均增长率为年期间我国人口的年平均增长率为:r = (r1+ r2+ r3+ r4+ r5+ r6+ r7+ r8+ r9) 90.0221思考思考4:4:怎样检验该模怎样检验该模型与我国实际人口数型与我国实际人口数据是否相符？据是否相符？ 思考思考5:5:据此人口增长模型，大约在哪一年我国的据此人口增长模型，大约在哪一年我国的 人口达到

8、人口达到1313亿？亿？ 思考思考3:3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在用马尔萨斯人口增长模型，我国在19501950 19591959年期间的人口增长模型是什么？年期间的人口增长模型是什么？ 我国在我国在19501959年期间的人口增长模型年期间的人口增长模型:0.022155196,.tyetN0ty由图象可知由图象可知:模型与我国实模型与我国实际人口数据基际人口数据基本吻合本吻合.0.022113000055196:38.76,tt由得即大约在1950年后的第39年(1989年)我国人口达到13亿.理论迁移理论迁移 练习练习: : 有甲、乙两家兵乓球俱乐部，两家设备和服务都有甲、乙两家兵

9、乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同很好，但收费方式不同. .甲家每张球台每小时甲家每张球台每小时5 5元；乙家按元；乙家按月计费，一个月中月计费，一个月中3030小时以内小时以内( (含含3030小时小时) )每张球台每张球台9090元，元，超过超过3030小时的部分每张球台每小时小时的部分每张球台每小时2 2元元. .小王准备下个月从小王准备下个月从这两家中的一家租用一张球台开展活动，其活动时间不少这两家中的一家租用一张球台开展活动，其活动时间不少于于1515小时，也不超过小时，也不超过4040小时，问小王应选择哪家俱乐部较小时，问小王应选择哪家俱乐部较合算合算? ?0ty40

10、3015759011020018甲甲乙乙知识探究（一）：函数最值问题知识探究（一）：函数最值问题问题：问题：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为固定成本为200200元，每桶水的进价是元，每桶水的进价是5 5元，销售单元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：价与日均销售量的关系如表所示： 240240280280320320360360400400440440480480 日均销售日均销售 ( (量量/ /桶桶) )1212111110109 98 87 76 6销售单价销售单价/ /元元思考：思考：从表中你能读出什么信息？从表中你能读出什么信息？

11、思考：思考：可用哪种函数进行刻画？可用哪种函数进行刻画？思考：思考：怎样求出函数表达式？怎样求出函数表达式？思考：思考：怎样定价才能获得最大利润？怎样定价才能获得最大利润？销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶。桶。利润=销售收入成本 二次函数248040(1)520400520400013(52040 )20040520200 (013).xxxxxxyx xxxx 设在进价基础上增加 元后，日均销售利润为y元,则：销售量=由于：且日均利润：240520200 (013)6.5yxxxxy 对易知：当时， 有最大值。所以，只需将销售价定为5+6.5=11.5元，就可获得最大利润。总结：实

12、际问题中求最值的一般思路：总结：实际问题中求最值的一般思路： 选取自变量选取自变量建立函数式建立函数式确定定义域确定定义域求函数最值求函数最值回答实际问题回答实际问题知识探究（二）：知识探究（二）：函数拟合问题函数拟合问题 问题：问题：某地区不同身高某地区不同身高( (单位：单位：cm)cm)的未成的未成年男性的体重年男性的体重( (单位：单位：kg)kg)平均值如下表：平均值如下表：55.0555.0547.2547.2538.8538.8531.1131.1126.8626.8620.9220.92体重体重170170160160150150140140130130120120身高身高17

13、.5017.5015.0215.0212.1512.159.999.997.907.906.136.13体重体重1101101001009090808070706060身高身高思考思考1 1：能否建立体重能否建立体重y kg kg与身高与身高x cm cm的函数关的函数关 系？系？函数模型中有几个常量？怎样求解析式？函数模型中有几个常量？怎样求解析式？思考思考2:2:若体重超过相同身高男性体重的若体重超过相同身高男性体重的1.21.2倍为偏倍为偏胖，低于胖，低于0.80.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm, 175cm, 体重为体重为78kg78kg的在校男生的体重是否正常？的在校男生的体重是否正常？ 思考思考2:2:若体重超过相同身高男性体重的若体重超过相同身高男性体重的1.21.2倍为偏倍为偏胖，低于胖，低于0.80.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm, 175cm, 体重为体重为78kg78kg的在校男生的体重是否正常？的在校男生的体重是否正常？ 1752 1.02xxy将代入1752 1.0263.98.yy得：781.22 1.263.98由于分析：.所以，这个男生偏胖总结：总结：用拟合函数解决应用性问题的基本过程用拟合函数解决应