2019-2020年高一数学三角形内有关角的三角函数恒等式的证明 人教版

1、2019-20202019-2020 年高一数学三角形内有关角的三角函数恒等式的证明人教版年高一数学三角形内有关角的三角函数恒等式的证明人教版课型和教学模式：习题课，“导学探索，自主解决”模式教学目的：（1）掌握利用三角形条件进行角的三角函数恒等式证明的主要方法，使学生熟悉三角变换的一些常用方法和技巧（如定向变形，和积互换等）。（2）通过自主的发现探索，培养学生发散、创造的思维习惯和思维能力，体验数形结合、特殊一般转化的数学思想。并利用此题材做学法指导。（3）通过个人自学、小组讨论、互相启发、合作学习，培养学生自主与协作相结合的学习能力和敢于创新，不断探索的科学精神。教学对象：高一（5）班教学

2、设计：一.引题：（A,B环节）11复习提问：在三角形条件下，你能说出哪些有关角的三角恒等式？拟答：A+B+C=朋sinA=sin（B+C）这些结果是诱导公式,的特殊情况。1. 2今天开始的学习任务是解决这类问题：在三角形条件下,有关角的三角恒等式的证明。学习策略是先分若干个学习小组（四人一组），分头在课本P233-P238,P261-266的例题和习题中，找出有三角形条件的所有三角恒等式。1.3备考：期待找出有关ABC内角A、B、C的三角恒等式有：（1）P233:例题10：sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2（2）P238:习题十七第6题：sinA+sinB-s

3、inC=4sinA/2sinB/2cosC/2.（3）cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2.（4）sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.（5）cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC.（6）P264:复参题三第22题：tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC.cosA*cosB*cosC（7）sii也许有学生会找出:P264-（23）但无妨。1. 4请各组学生分工合作完成以上恒等式的证明：提示：建议先自学例题10，注意题目之间的联系，以减少证明的重复劳动。二.第一层次的问题解决（C,D环节）2. 1让一

4、个组上黑板，请学生自主地挑出有“代表性”的3题（不超过3题）书写证明过程。然后请其他某一个组评判或给出不同的证法。证法备考：（1）左到右：化积提取化积。（2）左到右：化积提取化积sin（A+B）/2=cosC/2cosC=COS(J4+B)=1-cos2_(3)左到右： 化积一-一-留4）左到右：化积-提取化积sin2C=sin2（A+B）cos2C=cos2(A+=2cos2(J4+5)-1（6）左到右：tgA+tgB=tg（A+B）（1-tgAtgB）（7）左到右：通分后利用（4）的结果22教师注意记录学生的“选择”，问：为什么认为你们的选择有代表性？体现学法的“暗导”。选择的出发点可以多

5、种多样，如从品种、不同的证法、逻辑源头等考虑。23另一组学生判定结果或给出其他解法， （解法可能多样。 ） 也可对前一组学生所选择书写的“例题”的“代表性”进行评价。教师记录之。注意学生的书写中的问题（不当的跳步等）。24其他证法备考：1如右到左用积化和差，（略）右式=0二F如2卫+如2E+如2U）由此得证（4）4.用/2-A/2,/2-B/2,/2-C/2代换A,B,C（仍保持三个角之和为）可速由（4）推出（1）；由（5）推出（2）三.探索发现练习（回朔与E环节）3.1请学生以小组为单位通过观察、联想、对比、猜想、发现解决以下几项任务（1）找出更多的三角恒等式。（2）用发散的方式寻求更多的结

6、果。可以自主肯定的结论记为“定理”,还不能肯定的结论暂记为“猜想”1”提取-化积（5）左到右：2利用已做的习题：先一般后特殊3几何直观：左式=对cos,tg亦有类似结果(2)变维发散三角形变四边形，如对四边形ABCD有A+C-B-D.A+CA+D-B-C.B+Ccos=sincos=sin42，42sinA+sinB+sinC+sinD=4sin(A+B)/2*cos(A-B)/2+cos(C-D)/2=4sin(A+B)/2*cos(A+C-B-D)/4*cos(A+D-B-C)/4=sin(A+B)/2*sin(B+C)/2*sin(C+A)/2两边换成cos亦正确进一步可探索四边形ABC

7、D是平行四边形或是圆内接四边形时的相应结论。(3)逆序发散：如对(6),原等式成立，能推出A+B+C二吗？举反例可知不行，可推出A+B+C=k，k是整数。(4)变形式发散：sin2j4+sin25+sin2(7=2coscosBcosC”曲一込雪透竺込艺+沁乞朋込2222222再如对偶联想：上面的式子该成cos怎样?(5)批判式的发散：等式的反面是不等式，可以思考在三角形条件下有哪些三角函数的不等式？如对锐角三角形ABC，有sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosCsinAsinBsinCcosAcosBcosC。对一般三角形tgA+tgB+tgC二ctgA+ctgB+ctgC恒

8、不成立特别注意记录“意外”。35评论与小结：请学生评述本课解决的问题、自认为用到的重要方法和得到重要结果、并做小结。教师记录补充(与学生互补之)-重点是学法和思维方法：怎样复习，怎样提高做题的效率，怎样学会“举一反三”，怎样用发散思维的方式提出问题。36作业：A类：阅读P257-P261B类：(1)选择学生课上提出的三个结果，给出证明或证伪。(2)改写或重写本章的小结(参看P257-P261),补充在本章的学习过程中你认为重要的方法、 技巧和自己解题的心得与出错之处。32小组活动10分钟后，组代表上前表述“发现”，交流结果。33教师注意记录学生的发现结果，挖掘“再发现”的潜力。34结果的“予储

9、”(1)结果一般化：如(-1)24cossin+sin+sinnC=彳？(T)24sin沁一2 2S SO OC C朋T T数奇是n数3_d-E二超n沁Tsin3+sinmC类：(1)在三角形条件下，如对ABC，你能说出哪些有关角的三角函数不等式？试找出3个并证明之。(2)对代数练习册(上)第三章的复习题三中的解答题进行“压缩”处理，只选出你认为有代表性的10个习题。2019-20202019-2020 年高一数学三角恒等变形北师大版年高一数学三角恒等变形北师大版3.1.13.1.1 两角差的余弦函数两角差的余弦函数 3.1.23.1.2 两角和的正、余弦函数两角和的正、余弦函数一.教学目标：

10、1.知识与技能(1)能够推导两角差的余弦公式；(2)能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；(3)能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；(4)揭示知识背景，引发学生学习兴趣；(5)创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2.过程与方法通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角

11、和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.二.教学重、难点重点:公式的应用.难点:两角差的余弦公式的推导.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】思考:如何求cos(45-30)o的值.【探究新知】1.思考:如何用任意角a与B的正弦、余弦来表示cos(a-B)?你认为会是cos(a-B)=cosa-cosB吗？展示课件在直角坐标系作出单位圆，利用向量的方法求解(如教材图3

12、.1).学生思考：以上推导是否有不严谨之处?教师引导学生分析其中的过程发现：上述证明仅仅是对a与B为锐角的情况，但a与B为任意角时上述过程还成立吗?当a-B是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角0G0,2n),使cos9=cos(a-B)若90,n，贝二cos9=cos(a-B)若9en,2n),则2n-9e0,n，且二cos(2n-9)=cos9=cos(a-B).结论归纳：对任意角a与B都有cos=coscos=cos cos+sincos+sin sinsin这个公式称为：差角的余弦公式注意：1.公式的结构特点2对于a,B,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos(a-B)展示投影展示投影

13、例题讲评例题讲评(学生先做，学生讲，教师提示或适当补充)例1.利用差角余弦公式求cos的值分析:cos=cos=cos=cos思考：你会求sin的值吗？例2.已知cos,求cos的值.【巩固深化，发展思维】【巩固深化，发展思维】1. coscos+sinsin二.2. coscos+sinsin二.3.已知sina-sinp二一，cosa-cosp二，ae(0,),阻(0,)，求cos(a-p)的值.展示投影思考：展示投影思考：如何利用差角余弦公式导出下列式子：cos=coscossinsinsin=sincoscossinsin二coscoscossin(可让学生自己讲解，教师只是适当点拨而

14、已)展示投影展示投影例题讲评例题讲评(学生先做，学生讲，教师提示或适当补充) )例3.已知sin,cos求cos,sin的值.思考题：已知、都是锐角，cos,cos求cos.学习小结1.两角差的余弦公式：cos二coscos+sinsin2.两角和的余弦公式：cos=coscos-sinsin两角和的正弦公式：sin二sincoscossin两角差的正弦公式：sin二coscoscossin3.注意公式的结构特点五、评价设计1.作业：习题3.1A组第1,2,3题.2.(备选题)：求证：cosa+sina=2sin(+a)证一：左边=2(cosa+sina)=2(sincosa+cossina)

15、=2sin(+a)=右边(构造辅助角)证二：右边=2(sincosa+cossina)=2(cosa+sina)=cosa+sina二左边3.进一步理解这四个公式的特点.六、课后反思：3.1.33.1.3 两角和与差的正切函数两角和与差的正切函数(1(1 课时课时) )一、教学目标：1、知识与技能(1)能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；(2)能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；(3)揭示知识背景,引发学生学习兴趣；(4)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识.2、过程与方法借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式,让

16、学生进一式之间的联系及结构特点；讲解例题,总结方法,巩固练习.3、 情感态度价值观通过本节的学习,使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识和与差的三角的各种变形,提高逆用思维的能力.二、教学重、难点步体会各个公理解掌握两角重点:公式的应用.难点:公式的推导.三、学法与教学用具学法：(1)自主性学习+ +探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。教学用具:电脑、投影机四、教学设想【探究新知】1.两角和与差的正切公式TR,TRa+pa-p问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能

17、用tana,tanp表示tan(a+p)和tan(a-p)吗？(让学生回答)展示投影Tcos(a+卩)工 0tan(a+p)=sin(a+P)=血acos卩+cosasin卩当cosacos 卩工 0时cos(a+P)cosacosP-si分子分母同时除以cosacosp得：tan(a+P)=以-卩代卩得：tan(a-p)=2运用此公式应注意些什么？(让学生回答)展示投影注意：1。必须在定义域范围内使用上述公式。即：tana,tanp,tan(ap)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能(也只需)用诱导公式来解；2。注意公式的结构，尤其是符号。)展示投影例题讲评(学生先做，学生讲，教师提示或

18、适当补充)例1.求tan15。，tan75。及cotl5。的值：例2.(见课本P例1)134例3.已知tana二，tanp=-2求cot(a-p)，并求a+p的值，其中0a90。,90p180.cot(a-p)=1=1+tanatan卩tan(a-p)tana-tanp1-2tan(a+p)=tana+tan咒=3一1-tanatan卩1-殳(-2)3又V0oa90,90。卩180。90oa+p270。 a+p=135。解：1。tan15=tan(45。30。)=3_Lr-i-3=2-昌2。tan75= tan(45+30)=1旦3312+出=2+总63。cot15。= cot(45。30。)

19、=为什么？)解：解：2。tan（17。+28。）=业上坯1-tan17。tan28。tan17+tan28=tan（17+28）（1-tan17。tan28）=1-tan17。tan28。原式=1 一 tan17。tan28+tan17。tan28=1展示投影练习教材P3第1、2、3、4题.学习小结1.必须在定义域范围内使用上述公式。即：tana,tan 卩，tan（a卩）只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解；2.注意公式的结构，尤其是符号。五、评价设计作业：习题3.1A组第4、5、6、7、8题.六、课后反思：3.23.2 二倍角的正、余弦和正切二倍角的正、余弦和正

20、切 3.33.3 半角的三角函数（两课时）半角的三角函数（两课时）一. 教学目标：1.知识与技能（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；（3）能推导和理解半角公式；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.并培养学生综合分析能力.2.过程与方法让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数各

21、个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.二. 教学重、难点重点:倍角公式的应用.难点:公式的推导.三. 学法与教学用具学法：（1）自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。（2）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四. 教学设想【探究新知】1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2、提出问题：公式中如果，公式会变得如何？3、让学生板演得下述二倍角公式

22、：例4.求下列各式的值：1。2tan17+tan28+tan17tan28解：解：1。原式=tan45。+tan751一 tan45。tan75=tan（45。+75。）=tanl2018sin2a=2sinacosacos2a=cos2a-sin2a-2cos2a-1-1-2sin2a展示投影展示投影这组公式有何特点？应注意些什么？注意：1每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.2熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次）3特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：展示投影例题讲评展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.（公式巩固性练习

23、）求值：1.sin2230cos2230=2.兀兀兀兀.兀8sincoscoscos=4smcoscos484824122424例2.化简.(cos2a+sin2a)(cos2a-sin2a)=cosa2222.1+2cos20-2cos20+1=2例3、已知，求sin2a,cos2a,tan2a的值。解： cosa=r=-1213sin2a=2sinacosa=cos2a=tan2a=展示投影思考展示投影思考: :你能否有办法用sina、cosa和tana表示多倍角的正弦、余弦和正切函数?你的思路、方法和步骤是什么？试用sina、cosa和tana分别表示sin3a,cos3a，tan3a.

24、展示投影展示投影例题讲评例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）cos20Ocos40cos80。=sin2。cos2。cos4。cos8。sin20。tan2a=2tana1一tan2acos2a=1+cos2a2sin2a=1-cos2a2这两个形式今后常用.兀兀兀.兀1=2sincos=sin=12121262.5兀5兀、/.5兀5兀、+cos)(smcos)12121212.5兀5兀5兀sin2-cos2=-cos12126例4.18解:1+cos2x1+sin2x=22、2sin(2x+-)+-242降次sin20。sin20。8例5.求函数的值域.4sin80。cos8。h

25、inl60。展示投影学生练习：展示投影学生练习：教材P练习第1、2、3题140展示投影思考展示投影思考（学生思考，学生做，教师适当提示）证：1。在中，以a代2a,代a即得:2。在中，以a代2a,代a即得:3。以上结果相除得：展示投影展示投影这组公式有何特点？应注意些什么？注意：1。左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方2。公式的“本质”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切3。上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆）a,；1+cosaa,1一cosacos=.,tan=土2221+cosaasina1-cosa,tan=（课后自己证）21+cosasina展示投影例题讲

26、评展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例6.已知cos,求的值.例7.求cos的值.例&已知sin,，求的值.展示投影练习教材P练习第1、2、3题.145学习小结1公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的,如：是的倍角.2熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次,降角升次）.3特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形：1+cos2acos2a=,21一cos2asin2a=-这两个形式今后常用.4半角公式左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”是甩角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.5注意公式的结构，尤其是符号.五、评价设计1作业：习题

27、3.2A组第1、2、3、4题2.作业：习题3.3A组第1、2、3、4题.六、课后反思：3.43.4 三角函数的和差化积与积化和差三角函数的和差化积与积化和差 3.53.5 三角函数的简单应用（两课时）三角函数的简单应用（两课时）一. 教学目标：1.知识与技能（1）能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解.（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题.（3）揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.2.过程与方法你能够证明：.asm21-cosa2COS21+cosa2a1-cosat

28、an2=21+cosasin21一cosa-厂4。还有一个有用的公式：222让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3.情感态度价值观通过本节的学习， 使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识； 理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点:三角恒等变形.难点:“和差化积”及“积化和差”公式的推导.三.学法与

29、教学用具学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己根据已有的知识导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情景】请回忆两角和的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的余弦公式、两角差的余弦公式；问你能否用sin与sin表示sincos和cossin?类似地能否用cos与cos来表示coscos和sinsin?【探究新知】 展示投影展示投影(在学生已完成的基础上进行评价在学生已完成的基础上进行评价) )积化

30、和差公式的推导sin(a+B)+sin(a-p)=2sinacospnsinacosp=sin(a+p)+sin(a-p)sin(a+p)-sin(a-p)=2cosasinpncosasinp=sin(a+p)-sin(a-p)cos(a+p)+cos(a-p)=2cosacospncosacosp=cos(a+p)+cos(a-p)cos(a+p)-cos(a-p)=-2sinasinpnsinasinp=-cos(a+p)-cos(a-p) 展示投影展示投影 这组公式有何特点?应注意些什么?这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于

31、简化计算。(在告知公式前提下) 展示投影展示投影 练习1.求的值2.求的值3.在积化和差中若令a+p=0,a-p=， 贝视， 先观察学生做的情况，再决定是否示范)sin业业cos1sin（业业+上上1）+sin（巴巴-上上1）=1（sin0+sin心心代入可得什么的式子，做做看：(教师巡sin0+sin1=2sin0+1cos0-12sin0-sin1=2cos0+1sin20-12cos0+cos1=2cos0+1cos0-12cos0-cos1=-2sin0+1sin0-122222222引导学生观察这套公式的特点：这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公

32、式相辅相成，配合使用.展示投影例题讲评展示投影例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.教材P例2.148例2.教材P例3.149展示投影展示投影练习.教材P第1、2题.149展示投影例题讲评展示投影例题讲评（学生边做教师边提示）例3.已知cosa-cosB=,sina-sinp=，求tan(a+B)的值-cos 卩=,-2sinsin=1222a+B.a-B1sina-sin卩=，-2copsip一324例4.教材P150例6.（学生做，教师巡视，鼓励学生用多种方法求解）150展示投影展示投影练习1化简；dsin2a+1+sin2a（0a）42.教材P练习第1、2、3、4题.15

33、1展示投影例题讲评展示投影例题讲评（学生边思考教师边提示）解：Tcosa-cosBtan(a+B)=例5.要使半径为R的半圆形木料截成长方形（如图），应怎样截取才能使长方形的面积最大？学生自主学习阶段学生自主学习阶段学生阅读教材P相关内容，学生提问，学生回答,154158学生自主学习检测：教材P的相应习题。158159学习小结尝试由学生小结，学生补充的形式.五、评价设计1.作业：习题3.4A组第1、2、3、4、5、6、7题.2.作业：习题3.5A组第4题（选做）六、课后反思：第三章三角恒等变形复习课（2课时）第一部分：基础知识第一部分：基础知识基本公式常见变形基本公式常见变形sin2asin2

34、aaancosa=,sina=.1sina=(sincos)2.2cosa2cosa22一、两角和与差公式及规律一、两角和与差公式及规律常见变形常见变形sin(a0)=sinacos0 土cosasin0.cos(a0)=cosacos0_sinasin0.+tanatan0tan(a0)=.1_tanatan0(1)tana,tan0 的和(差)与积互相转化:tanatan0=tan(a0)(1_tanatan0).+特例:tan(-a)=1士tana.41_tana常见变形常见变形Ocos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.n1cosa=（）三、积化和差与和差

35、化积公式）三、积化和差与和差化积公式a2cos2.2a2sin2.a2COS22a221n1cosa=sinacos0=sin(a+0)+sin(a-0).2sin1cosasin0=sin(a+0)一sin(a-0).21cosacos0=2cos(a+0)+cos(a-0儿1sinasin0=-cos(a+0)-cos(a-0).2a1+cosaco22a1-cosasin 22a1-cosatan21+cosaa1+cosaco22a1-cosasin22a1-cosatan21+cosaa+Bapsin22四、学习本章应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式

36、的形式.2、倍角公式cos2a=2cos2a1=12sin2a有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.3、公式的“三用”(顺用、逆用、变用)是熟练进行三角变形的前提.第二部分：基本技能与基本数学思想方法第二部分：基本技能与基本数学思想方法1、整体原则从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；2、角度配凑方法如a=( (a+p) )-3=3-( (3-a)=)=申申+乎=申- -呼呼=2a=(a+p)+(ap)=(p+a)(pa)=2(響響+乎)=2(罟罟- -呼呼)=等；3、方程思想；4、消参数思想；5、“1”的代换；6、关于si

37、nacosa与 sinacosa间的互相转化；7、关于的齐次分式、二次齐次式与间的互相转化8、配凑辅助角公式:sinacosa=J2sin(a).4sinaJ3cosa=2sin(a).J3sinacosa=2sin(a).一般地，asina+bcosa=Qa2+b2sin(a+p).其中acos卑=,Va2+b2.bsin卑一.、Ja2+b29、关于已知条件是的求值、化简、证明的变形及其思维方法。其中是任意角；等等第三部分：应用举例第三部分：应用举例( (供选用供选用) )sina+sin 卩=2sinsina 一sin 卩=2cosa+卩2a+p2a一 3cos2.apsin2cosa+c

38、os3=2cosapcoscosa 一cos3=2sin-18.例例 1 1n兀sin(3 兀-x)cos(x一兀)tan(x-兀)cot(+X)已知f(x)=2,(nGZ)cos(n兀-x)(1)求(2)若求的值.分析分析求三角函数式的值，一般先化简，再代值计算略解略解当时，-sinxcosxtanxcotxf(x)=sinx;cosx-sinxcosxtanx(-tanx)当时，f(x)=二sinxtan2x.cosx/3兀、.4cos(a)-sinasina=-5.f严)=sin52K4k-sin-93332f(a)-sina4当n为奇数时，.,52K52K52k4k4k3訂f()-si

39、tan2.:-sin一tan233333故当n为偶数时，sin2a9f(a)-sinatan2a-sina-cos2a16例例 2 2已知求的值分析分析已知三角函数式的值，求其它三角函数式的值的基本思路：考虑已知式与待求式之间的相互转化略解略解原式=3sina+(3sina-4sin3a)3cosa+(4cos3a-3cosa)_sina(32sin2a)2COS3asina(sin2a+3cos2a)2COS3a-2tana(tan2a+3)21例3 3已知sin(a+卩)-,sin(a-卩)-1)求的值；-18.112兀兀兀兀、(2)(2)当Q+卩w(-,),卩w(-亍3)时，求的值.分析

40、分析从角度关系分析入手，寻求变形的思维方向137nsinacosP=,cosasinP=3030tanacotP=込嘤=13cosasinP7sinacosP方法2设x=tanacot卩=,cosasinPsin(a+P)10口sin(a-P)3sin(a+P)sin(a+P)=cosacosP=tana+tanPsin(a-P)sin(a-P)tana-tanPcosacosPtana+】=tanP=x x+1=tana-1=x x-1，tanPx+11013,ntanacotPx.x-137(2)由已知可得sin2P=sin(a+P)-(a-P)=sin(a+P)cos(a-P)-cos(

41、a+P)sin(a-P)=4用-頁B*例例 4 4已知cos(a+卩)1,cos(a卩)2,求的值.分析分析根据问题及已知条件可先“化切为弦”。由，只需求出和，问题即可迎刃而解.略解略解略解略解(1)方法1sinacossinacosP+cosasinPP-cosasinP=1,5从而，cosacoscosacosP-sinasinP1,2P+sinasinPncosacosP,sinasinP12例例 8 8的值等于）sinasinP1tanatanP=一一cosacosP5点评点评对公式整体把握，可“居高临下”的审视问题。分析分析要想求出的值，即要求出的值，而要出现和，只需对条件式两边平方

42、相加即可。 略解略解将两条件式分别平方，得sin2a-2sinacosP+cos2P=4cos2a 一2cosasinP+sin2P=.9将上面两式相加，得132-2sin(a+P)=-3659nsin(a+P)=.72例例 6 6已知方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0有两根，求的最小值.分析分析可借助于一元二次方程的根与系数关系求出关于m的解析式。略解略解tana+tanP3一mtan（a+卩）=1一tanatanP2Im丰0,又口=（2m一3）2一4m（m一2）0,解得故的最小值为小兀兀 c3 兀“兀、3.“3兀、5例例 7 7已知0a，卩，cos（a）=，sin（+卩）=,求的值

43、.44445413分析分析注意到（芋（芋+P）-（2-么）=：+（a+P）, ,可通过与的正、余弦值来求出的值。442略解略解由已知可得sin(a+P)=sin(+卩)-(-a)一4423兀小兀=一cos(+卩)-(一a)44=-cos(3+P)cos(-a)-sin(3+P)sin(-a)4444=-(-B3-4)=13513565 例例 55已知sina-cosP1=,cosa2一sinP求的值.ABCD 分 析 分 析 从 角 度 关 系 分 析 入 手 ， 尝 试 配 凑 已 知 角 、 待 求 角 、 特 殊 角 之 间 的 和 、 差 、 倍 、 半 表 示 式 。略略解解原式 sin(15o一8o)+cosl5osin8ocos(15o一8o)一sin15osin8osin15ocos8o一cos15osin8o+cos15osin8ocos15ocos8o+sin15osin8o一sin15osin8otan45o