内工大 数控与技术 第三章 轮廓加工的数学基础

1、第三章第三章 轮廓加工的数学基础轮廓加工的数学基础数控系统根据零件轮廓线型的有限信息，计算出刀具的一系数控系统根据零件轮廓线型的有限信息，计算出刀具的一系列加工点、用基本线型拟合，完成所谓的数据列加工点、用基本线型拟合，完成所谓的数据“密化密化”工作。工作。插补有二层意思：插补有二层意思：u用小线段逼近产生基本线型（如直线、圆弧等）；用小线段逼近产生基本线型（如直线、圆弧等）；u用基本线型拟合其它轮廓曲线。用基本线型拟合其它轮廓曲线。插补运算具有实时性，直接影响刀具的运动。插补运算的速插补运算具有实时性，直接影响刀具的运动。插补运算的速度和精度是数控装置的重要指标。插补原理也叫轨迹控制原度和精

2、度是数控装置的重要指标。插补原理也叫轨迹控制原理。五坐标插补加工仍是国外对我国封锁的技术。理。五坐标插补加工仍是国外对我国封锁的技术。插补方法插补方法脉冲增量插补脉冲增量插补u特点：特点：每次插补结束仅向各运动坐标轴输出一个控制脉冲，移动部每次插补结束仅向各运动坐标轴输出一个控制脉冲，移动部件相应移动一定的距离，该距离称为脉冲当量。件相应移动一定的距离，该距离称为脉冲当量。以一个一个以一个一个脉冲的方式输出给步进电机。其基本思想是：用折线来逼近脉冲的方式输出给步进电机。其基本思想是：用折线来逼近曲线（包括直线）。曲线（包括直线）。脉冲增量插补方法有：逐点比较法、数脉冲增量插补方法有：逐点比较法

3、、数字积分法等。字积分法等。插补速度与进给速度密切相关。插补速度与进给速度密切相关。因而进给速度指标难以提高，因而进给速度指标难以提高，当脉冲当量为当脉冲当量为10m时，采用该插补算法所能获得最高进给速时，采用该插补算法所能获得最高进给速度是度是3-4 m/min。插补方法插补方法脉冲增量插补的实现方法较简单脉冲增量插补的实现方法较简单，通常仅用加法和移位运算，通常仅用加法和移位运算方法就可完成插补。因此它比较容易用硬件来实现，而且，方法就可完成插补。因此它比较容易用硬件来实现，而且，用硬件实现这类运算的速度很快的。但是也有用软件来完成用硬件实现这类运算的速度很快的。但是也有用软件来完成这类算

4、法的。这类算法的。这类插补算法有：逐点比较法；最小偏差法；数字积分法；这类插补算法有：逐点比较法；最小偏差法；数字积分法；目标点跟踪法；单步追综法等目标点跟踪法；单步追综法等它们主要用早期的采用步进电机驱动的数控系统。它们主要用早期的采用步进电机驱动的数控系统。由于此算法的速度指标和精度指标都难以满足现在零件加工由于此算法的速度指标和精度指标都难以满足现在零件加工的要求，现在的数控系统已很少采用这类算法了。的要求，现在的数控系统已很少采用这类算法了。插补方法插补方法数据采样插补：数据采样插补：u特点：特点：据编程的进给速度计算出每个插补周期的进给直线段，称据编程的进给速度计算出每个插补周期的进

5、给直线段，称轮廓步长，然后再将轮廓步长分解为各个坐标轴的进给量轮廓步长，然后再将轮廓步长分解为各个坐标轴的进给量（一个插补周期的进给量），作为指令发给伺服驱动装置。（一个插补周期的进给量），作为指令发给伺服驱动装置。其基本思想是：用直线段（内接弦线，内外均差弦线，切其基本思想是：用直线段（内接弦线，内外均差弦线，切线）来逼近曲线（包括直线）。线）来逼近曲线（包括直线）。插补运算速度与进给速度无严格的关系。因而采用这类插插补运算速度与进给速度无严格的关系。因而采用这类插补算法时，可达到较高的进给速度（一般可达补算法时，可达到较高的进给速度（一般可达 10 10m/minm/min以以上）。上）。

6、插补方法插补方法数字增量插补的实现算法较脉冲增量插补复杂，它对计算数字增量插补的实现算法较脉冲增量插补复杂，它对计算机的运算速度有一定的要求，不过现在的计算机均能满足机的运算速度有一定的要求，不过现在的计算机均能满足要求。要求。这类插补方法有：数字积分法这类插补方法有：数字积分法( (DDA)DDA)、二阶近似插补法、双二阶近似插补法、双DDADDA插补法、角度逼近插补法、时间分割法等。这些算法大插补法、角度逼近插补法、时间分割法等。这些算法大多是针对圆弧插补设计的。多是针对圆弧插补设计的。这类插补算法主要用于交、直流伺服电机为伺服驱动系统这类插补算法主要用于交、直流伺服电机为伺服驱动系统的闭

7、环，半闭环数控系统，也可用于以步进电机为伺服驱的闭环，半闭环数控系统，也可用于以步进电机为伺服驱动系统的开环数控系统，而且，目前所使用的动系统的开环数控系统，而且，目前所使用的CNCCNC系统中，系统中，大多数都采用这类插补方法。大多数都采用这类插补方法。第一节第一节 逐点比较法逐点比较法这是早期数控机床广泛采用的方法，适用于步进电机控制系这是早期数控机床广泛采用的方法，适用于步进电机控制系统。统。原理：原理：每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，而每走一步都要和给定轨迹上的坐标值进行一次比较，视该点在给定轨都要和给定轨迹上的坐标值进行一次比较，视该

8、点在给定轨迹的上方或下方，或给定轨迹的里面或外面，决定下一步的迹的上方或下方，或给定轨迹的里面或外面，决定下一步的进给方向，使之趋近加工轨迹。每个插补循环由偏差判别、进给方向，使之趋近加工轨迹。每个插补循环由偏差判别、方向进给、偏差计算和终点判别四个步骤组成。方向进给、偏差计算和终点判别四个步骤组成。逐点比较法可以实现直线插补、圆弧插补及其它曲线插补。逐点比较法可以实现直线插补、圆弧插补及其它曲线插补。特点特点：运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出：运算直观，插补误差不大于一个脉冲当量，脉冲输出均匀，调节方便。均匀，调节方便。一一 直线插补直线插补1 1 偏差计算公式偏差计算公式 对

9、于第一象限直线对于第一象限直线AB，直线方程为，直线方程为 (X-X0) / (Y-Y0)=(Xe-X0) / (Ye -Y0 ) 取偏差判别式取偏差判别式 F= (Y-Y0) (Xe-X0) - (X-X0) (Ye -Y0 ) 若若F= 0，表示加工点位于直线上；表示加工点位于直线上； 若若F 0，表示加工点位于直线上方；表示加工点位于直线上方； 若若F0，应沿，应沿+X方向方向进给一步，走一步后新的坐标值为进给一步，走一步后新的坐标值为 Xi+1=Xi+1，Yi+1=Yi新的偏差为新的偏差为Fi+1= (Yi+1-Y0) (Xe-X0) - (Xi+1-X0) (Ye -Y0 ) = (

10、Yi-Y0) (Xe-X0) - (Xi+1-X0) (Ye -Y0 ) = (Yi-Y0) (Xe-X0) - (Xi-X0) (Ye -Y0 ) - (Ye -Y0 ) =Fi- (Ye -Y0 ) 一一 直线插补直线插补 设某加工点设某加工点Pi处，处，Fi000Ye -Y00000X向的电机向的电机正转正转反转反转反转反转正转正转Y向的电机向的电机正转正转正转正转反转反转反转反转一一 直线插补直线插补5 逐点比较法直线插补举例逐点比较法直线插补举例 对于第一象限直线对于第一象限直线OA，终点坐标终点坐标Xe=6 ,Ye=4，插补从直线起点插补从直线起点O开始，故开始，故F0=0 。终点

11、判别是判断终点判别是判断进给总步数进给总步数N=6+4=10，将其存入终点判别计数器中，将其存入终点判别计数器中，每进给一步减每进给一步减1，若，若N=0，则停止插补。则停止插补。OA98754321610YX步数步数判别判别坐标进给坐标进给偏差计算偏差计算终点判别终点判别0 F0=0=101F=0+XF1=F0-ye=0-4=-4=10-1=92F0+XF3=F2-ye=2-4=-2=8-1=74F0+XF5=F4-ye=4-4=0=6-1=56F=0+XF6=F5-ye=0-4=-4=5-1=47F0+XF8=F7-ye=2-4=-2=3-1=29F0+XF10=F9-ye=4-4=0=1

12、-1=0n逐点比较直线插补演示二二 圆弧插补圆弧插补1 偏差计算公式偏差计算公式 A点相对于圆心点相对于圆心O 点的增量坐标为点的增量坐标为（I0，J0），）， B点相对于圆心点相对于圆心O 点的增点的增量坐标为（量坐标为（Ie，Je），则圆弧方程），则圆弧方程 I2+J2=R2 设刀具已经运动到设刀具已经运动到Mi点，则点，则O Mi的的长度应为长度应为sqrt（Ii2+Ji2） 取偏差判别式取偏差判别式Fi= Ii2+Ji2- R2 若若Fi=0，表示加工点位于圆上；表示加工点位于圆上； 若若Fi0，表示加工点位于圆外；表示加工点位于圆外； 若若Fi0，表示加工点位于圆内。表示加工点位于圆

13、内。RXYA ( I0，J0 )B( Ie，Je )二二 圆弧插补圆弧插补2 偏差函数的递推计算偏差函数的递推计算 若若F0， Mi点在圆外侧或圆上，这时向点在圆外侧或圆上，这时向-X方向走一方向走一步，步， 则则Mi+ 1点对圆心点对圆心O点点的坐标为的坐标为 Ii+1=Ii-1，Ji+1=Ji 新的偏差为新的偏差为Fi+1= Ii+12+Ji+12- R2 = (Ii-1) 2 + Ji2- R2 = Ii2+Ji2- R2-2Ii+1 =Fi-2Ii+1二二 圆弧插补圆弧插补 若若F0， Mi点在圆内侧，这时向点在圆内侧，这时向Y方向走一步，方向走一步， 到到Mi+1点，该点对圆心点，该

14、点对圆心O点点的坐标为的坐标为 Ii+1=Ii，Ji+1=Ji+1 新的偏差为新的偏差为Fi+1= Ii+12+Ji+12- R2 = Ii2 + （Ji+1）2- R2 = Ii2+Ji2- R2+2Ji+1 =Fi+2Ji+1二二 圆弧插补圆弧插补3 终点判别终点判别 1）判断插补或进给的总步数；）判断插补或进给的总步数； 2）当）当Ie-Ii=0，Je-Ji=0时到达了终点。时到达了终点。二二 圆弧插补圆弧插补4 不同象限插补运算不同象限插补运算 无论象限，无论逆弧、顺弧，判别式有以下无论象限，无论逆弧、顺弧，判别式有以下四种情况：四种情况： 1）沿）沿+X方向走一步方向走一步 Ii+1

15、=Ii+1 Fi+1= Fi+2Ii+1 2）沿）沿-X方向走一步方向走一步 Ii+1=Ii-1 Fi+1= Fi-2Ii+1 3）沿）沿+Y方向走一步方向走一步 Ji+1=Ji+1 Fi+1= Fi+2Ji+1 4）沿）沿-Y方向走一步方向走一步 Ji+1=Ji-1 Fi+1= Fi-2Ji+1四个象限的进给方向四个象限的进给方向二二 圆弧插补圆弧插补象限是以被加工圆弧圆心为原点的坐标系划分的。若编写零件加工程序象限是以被加工圆弧圆心为原点的坐标系划分的。若编写零件加工程序时所用的坐标系不以圆心为原点，则象限划分就不能用这个坐标系。以圆时所用的坐标系不以圆心为原点，则象限划分就不能用这个坐标

16、系。以圆心为原点的坐标系是根据加工程序给出的已知条件自动建立的，圆弧加工心为原点的坐标系是根据加工程序给出的已知条件自动建立的，圆弧加工完毕，坐标系自动取消。即在插补计算过程中不断算出的完毕，坐标系自动取消。即在插补计算过程中不断算出的Ii、Ji值，都是以值，都是以圆心为原点坐标系中的坐标值。根据圆心为原点坐标系中的坐标值。根据Ii、Ji的符号来判别圆弧所在的象限，的符号来判别圆弧所在的象限，如下表。过象限时的标志是如下表。过象限时的标志是Ii、Ji中的一个是零。中的一个是零。 象限象限 方向方向第一象限第一象限第二象限第二象限第三象限第三象限第四象限第四象限Ii的符号的符号+-+Ji的符号的

17、符号+-X向的电机向的电机顺圆顺圆正转正转正转正转反转反转反转反转逆圆逆圆反转反转反转反转正转正转正转正转Y向的电机向的电机顺圆顺圆反转反转正转正转正转正转反转反转逆圆逆圆正转正转反转反转反转反转正转正转象限判别和电机转向表象限判别和电机转向表二二 圆弧插补圆弧插补5 逐点比较法圆弧插补举例逐点比较法圆弧插补举例 对于第一象限圆弧对于第一象限圆弧AB，起点起点A(4，0)，终点终点B(0，4)。 ABYX4步数步数偏差判别偏差判别坐标进给坐标进给 偏差计算偏差计算坐标计算坐标计算终点判别终点判别起点起点F0=0 x0=4, y0=0=4+4=81F0=0-xF1=F0-2x0+1=0-2*4+

18、1=-7x1=4-1=3,y1=0=8-1=72F10+yF2=F1+2y1+1 =-7+2*0+1=-6x2=3,y2=y1+1=1=7-1=63F20+yF3=F2+2y2+1=-3x3=3, y3=2=54F30-xF5=F4-2x4+1=-3x5=2, y5=3=36F50-xF7=F6-2x6+1=1x7=1, y7=4=18F70-xF8=F7-2x7+1=0 x8=0, y8=4=0逐点比较法直线插补举例逐点比较法直线插补举例第一象限直线第一象限直线OA，终点坐标终点坐标Xe=6 ,Ye=4。OAYX步数步数偏差判别偏差判别坐标进给坐标进给偏差计算偏差计算终点判别终点判别0 F0

19、=0=101F=0+XF1=F0-ye=0-4=-4=10-1=92F0+XF3=F2-ye=2-4=-2=8-1=74F0+XF5=F4-ye=4-4=0=6-1=56F=0+XF6=F5-ye=0-4=-4=5-1=47F0+XF8=F7-ye=2-4=-2=3-1=29F0+XF10=F9-ye=4-4=0=1-1=0逐点比较法圆弧插补举例逐点比较法圆弧插补举例第一象限圆弧第一象限圆弧AB，起点起点A(4，0)，终点终点B(0，4)。 ABYX逐点比较法圆弧插补举例逐点比较法圆弧插补举例第一象限圆弧第一象限圆弧AB，起点起点A(4，0)，终点终点B(0，4)。 ABYX步数步数偏差判别偏

20、差判别坐标进给坐标进给 偏差计算偏差计算瞬态点坐标计算瞬态点坐标计算终点判别终点判别起点起点F0=0I0=4,J0=0=4+4=81F0=0-xF1=F0-2I0+1=0-2*4+1=-7I1=4-1=3,J1=0=8-1=72F10+yF2=F1+2J1+1 =-7+2*0+1=-6I2=3,J2=J1+1=1=7-1=63F20+yF3=F2+2J2+1=-3I3=3, J3=2=54F30-xF5=F4-2I4+1=-3I5=2, J5=3=36F50-xF7=F6-2I6+1=1I7=1, J7=4=18F70-xF8=F7-2I7+1=0I8=0, J8=4=0n逐点比较圆弧插补法演

21、示第二节第二节 数字积分法数字积分法 数字积分法又称数字微分分析法数字积分法又称数字微分分析法DDA(Digital differential Analyzer)，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算，是在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。法。数字积分法的优点是，易于实现多坐标联动，较容易地数字积分法的优点是，易于实现多坐标联动，较容易地实现二次曲线、高次曲线的插补，并具有运算速度快等特点，实现二次曲线、高次曲线的插补，并具有运算速度快等特点，应用广泛。应用广泛。 一一 DDA直线插补直线插补 1 原理：原理：直线方程直线方程则则X、Y方向的位移方向的位移 （积分形式）（积分形式

22、）积分的过程可以用微小量的累加近似积分的过程可以用微小量的累加近似XXYYeeeeXYdtdXdtdY/dtKYdYdtKXdXeeXYA(Xe,Ye)OtetedtKYYdtKXX00一一 DDA直线插补直线插补 （累加形式）（累加形式）由此关系式表明，可用两个累加器来完成平面直线的插补由此关系式表明，可用两个累加器来完成平面直线的插补计算，它们分别对计算，它们分别对Xe、 Ye进行累加，累加器每溢出一个脉进行累加，累加器每溢出一个脉冲，指令相应的坐标进给一步，则机床进给运动的轨迹就冲，指令相应的坐标进给一步，则机床进给运动的轨迹就是趋近于是趋近于OA的折线。的折线。当累加当累加m次以后，次

23、以后，X轴和轴和Y轴所走过的步数就正好分别等于轴所走过的步数就正好分别等于各轴的终点坐标各轴的终点坐标Xe、Ye。令。令t =1，则，则mK =1。 mieemieetmKYtYKYtmKXtXKX11一一 DDA直线插补直线插补2 累加次数的确定累加次数的确定 为保证插补精度，选择为保证插补精度，选择K时，主要考虑每次增量时，主要考虑每次增量X 、 Y小于小于1即即 X=KXe1 Y=KYe1 设函数值寄存器有设函数值寄存器有N位，则存储器的最大值为位，则存储器的最大值为2N -1，则，则 K（ 2N -1 ）1即即 K 1/ （ 2N -1 ）一般取一般取K= 1/ 2N 。因为因为Km=

24、1，因此累加次数，因此累加次数m=2N 。 一一 DDA直线插补直线插补3 累加器、寄存器位数的确定累加器、寄存器位数的确定 为保证每次累加最多只溢出一个脉冲，累加器的位数和为保证每次累加最多只溢出一个脉冲，累加器的位数和Xe、Ye寄存器的位数应相同，其位长取决于最大加工尺寸。寄存器的位数应相同，其位长取决于最大加工尺寸。 如如Xe=32.000mm，Ye=65.000mm，若脉冲当量为，若脉冲当量为0.001mm，则，则X向的脉冲数为向的脉冲数为32000，Y向的脉冲数为向的脉冲数为65000 寄存器的位数应按寄存器的位数应按65000来取，来取，65000=FDE8H，因此应，因此应取取1

25、6位累加器、寄存器。位累加器、寄存器。一一 DDA直线插补直线插补5 左移规格化处理左移规格化处理 如如Xe=101B，Ye=10B，则取，则取JX、 JRX、 JY、 JRY为为8位位的，须进行的，须进行28累加才能溢出正确的脉冲数，在这累加才能溢出正确的脉冲数，在这28次累加中，次累加中，只有最后的只有最后的8次累加才有相应的溢出脉冲，效率低。次累加才有相应的溢出脉冲，效率低。 左移规格化处理：左移规格化处理：把数值较大的有效位移动到被积函把数值较大的有效位移动到被积函数寄存器的最左端，使它们占据最高位。数寄存器的最左端，使它们占据最高位。 这时只需累加这时只需累加8次，就可得到预定的结果

26、，提高了运算次，就可得到预定的结果，提高了运算效率。效率。一一 DDA直线插补直线插补6 数字积分插补原理框图数字积分插补原理框图组成组成：X积分器、积分器、Y积分器和积分器和计数器，每个积分器都由被计数器，每个积分器都由被积函数寄存器和累加器组成。积函数寄存器和累加器组成。初始时：初始时：JX寄存器存寄存器存Xe， JY寄存器存寄存器存Ye，累加器复位。，累加器复位。 终点判别：终点判别：累加次数、即插累加次数、即插补循环数是否等于补循环数是否等于2N作为直作为直线插补判别终点的依据。线插补判别终点的依据。时钟脉冲时钟脉冲频率为频率为fcX向溢出脉冲向溢出脉冲频率为频率为fXJX寄存器寄存器

27、JY寄存器寄存器JRX累加器累加器JRY累加器累加器JY向溢出脉冲向溢出脉冲频率为频率为fY一一 DDA直线插补直线插补7 DDA法直线插补举例法直线插补举例 插补第一象限直线插补第一象限直线OA，起点为起点为O（0，0），），终点为终点为A（5，3） 取被积函数寄存器分别为取被积函数寄存器分别为JX、JY，累加器分别为累加器分别为JRX、JRY，终终点计数器为点计数器为JE，均为三位二进制寄存器。均为三位二进制寄存器。A(5,3)XYO一一 DDA直线插补直线插补累加累加次数次数 X积分器积分器 Y积分器积分器 终点计终点计数器数器JE 备备 注注 JX(Xe)JRX溢出溢出 Jy(Ye)J

28、Ry溢出溢出0101000011000000初始状态初始状态1101101011011001第一次迭代第一次迭代21010101011110010X溢出溢出31011110110011011Y溢出溢出41011001011100100X溢出溢出51010011011111101X溢出溢出61011100110101110Y溢出溢出71010111011101111X溢出溢出810100010110001000X,Y溢出溢出A(5,3)XYnDDA直线插补演示二二 DDA法圆弧插补法圆弧插补1 原理原理圆弧的参量方程为圆弧的参量方程为 Ii=Rcost Ji=Rsint在在P点刀具沿各坐标方向的

29、速度分量为点刀具沿各坐标方向的速度分量为 Vx=dIi/dt=-Rsint= -Ji Vy=dJi/dt=Rcost=Ii则则 dIi= -Jidt dJi=Iidt用累加代替积分用累加代替积分Ii= -Jit Ji= Ii t圆弧插补时，是对切削点的圆弧插补时，是对切削点的即时坐标即时坐标Ii与与Ji的数值的数值分别进行累加分别进行累加 。 VVyVxPABRXYO2 圆弧插补器简图圆弧插补器简图1) 各累加器的初始值为零，各寄各累加器的初始值为零，各寄存器为起点坐标值；存器为起点坐标值；2) X函数寄存器存函数寄存器存Ji ,Y寄存器存寄存器存Ii，为动点坐标；为动点坐标；3) Ii 、

30、Ji在积分过程中，产生进在积分过程中，产生进给脉冲给脉冲X、Y时，要对相应时，要对相应 坐标进行加坐标进行加1或减或减1的修改；的修改；4) DDA圆弧插补的终点判别要有圆弧插补的终点判别要有二个计数器，哪个坐标终点到了，二个计数器，哪个坐标终点到了， 哪个坐标停止积分迭代。哪个坐标停止积分迭代。二二 DDA法圆弧插补法圆弧插补寄存器的容量由寄存器的容量由圆的半径圆的半径来决定。来决定。左移规格化处理左移规格化处理 如如R=30mm，脉冲当量为，脉冲当量为0.01mm，则，则R的脉冲数为的脉冲数为3000，十六进制数为，十六进制数为BB8，字长，字长12位，若寄存器、累加器位，若寄存器、累加器

31、为为16位时，左移位数为位时，左移位数为4。二二 DDA法圆弧插补法圆弧插补二二 DDA法圆弧插补法圆弧插补3 DDA圆弧插补举例圆弧插补举例 YXA（5，0）B（0，5）XY次序次序 X积分器X终终 Y积分器Y终终注注JX (Yi)JRXXJY (Xi)JRYY000000001011010000101初始初始100000001011011010101200000100001011010101100修正修正Yi300100101011011110100400101001001011011001011修正修正Yi5010 01110001011010011010修正修正Yi6011111010

32、11011100010701110001011001011000111001修正修正Yi修正修正Xi810011001001001110001910010101010111000110111000修正修正Yi修正修正Xi101011110011011111010011001011010修正修正Xi121010011001010001修正修正Xi131011100001001141010111000001000结束结束nDDA圆弧插补演示第三节第三节 时间分割插补原理时间分割插补原理1 时间分割插补的基本原理时间分割插补的基本原理 与基准脉冲插补法不同，该插补法得出的不是进给脉与基准脉冲插补法不

33、同，该插补法得出的不是进给脉冲，而是用二进制表示的进给量。这种方法是根据程编进冲，而是用二进制表示的进给量。这种方法是根据程编进给速度给速度F，将给定轮廓曲线按插补周期，将给定轮廓曲线按插补周期T（某一单位时间间（某一单位时间间隔）分割为插补进给段（轮廓步长），即用一系列首尾相隔）分割为插补进给段（轮廓步长），即用一系列首尾相连的微小线段来逼近给定曲线。每经过一个插补周期就进连的微小线段来逼近给定曲线。每经过一个插补周期就进行一次插补计算，算出下一个插补点，即算出插补周期内行一次插补计算，算出下一个插补点，即算出插补周期内各坐标轴的进给量，如各坐标轴的进给量，如X、 Y 等，得出下一个插补点的

34、等，得出下一个插补点的指令位置。指令位置。第三节第三节 时间分割插补原理时间分割插补原理2 插补周期和采样周期插补周期和采样周期 插补周期：插补周期：是插补程序每两次计算各坐标轴增量进给指令是插补程序每两次计算各坐标轴增量进给指令间的时间。插补计算误差与插补周期是成正比的，插补周间的时间。插补计算误差与插补周期是成正比的，插补周期越长，插补计算误差越大。因此，从减少插补计算误差期越长，插补计算误差越大。因此，从减少插补计算误差角度考虑，插补周期应选的尽量短。但另一方面，由于数角度考虑，插补周期应选的尽量短。但另一方面，由于数控系统进行轮廓控制时，控系统进行轮廓控制时，CPU除了要完成插补运算外

35、，还除了要完成插补运算外，还必须实时的完成一些其他的工作，如显示、监控等，因此，必须实时的完成一些其他的工作，如显示、监控等，因此，插补周期必须大于插补运算时间与完成其它实时任务时间插补周期必须大于插补运算时间与完成其它实时任务时间之和之和 。现代数控系统一般为。现代数控系统一般为24ms，有的已达到零点几毫有的已达到零点几毫秒。秒。 第三节第三节 时间分割插补原理时间分割插补原理采样周期：采样周期：指坐标轴位置数字控制系统的采样时间。数控系指坐标轴位置数字控制系统的采样时间。数控系统定时对坐标的实际位置进行采样，采样数据与指令位置统定时对坐标的实际位置进行采样，采样数据与指令位置进行比较，得

36、出位置误差用来控制电动机，使实际位置跟进行比较，得出位置误差用来控制电动机，使实际位置跟随指令位置。随指令位置。 对于给定的某个数控系统，插补周期对于给定的某个数控系统，插补周期T和采样周期和采样周期TC是固是固定的，通常定的，通常TTC，一般，一般要求要求T是是TC的整数倍。的整数倍。第三节第三节 时间分割插补原理时间分割插补原理3 3 插补精度分析插补精度分析 直线插补时，轮廓步长与被加工直线重合，没有插直线插补时，轮廓步长与被加工直线重合，没有插补误差。补误差。 圆弧插补时，轮廓步长作为弦线或割线对圆弧进行圆弧插补时，轮廓步长作为弦线或割线对圆弧进行逼近，存在半径误差。逼近，存在半径误差

37、。YXOerlr 采用弦线（采用弦线（l）逼近时，见图。）逼近时，见图。 半径为半径为r的被逼近圆弧最大半径误差的被逼近圆弧最大半径误差er，其对应的圆心角为其对应的圆心角为，由图可推导出：由图可推导出： rFTrler8822 第三节第三节 时间分割插补原理时间分割插补原理)2cos1( rer !42/!22/1142 rr82 rl 当采用内外均差（当采用内外均差（ era = eri ）的割线时，半）的割线时，半径误差更小，是内接弦的一半；若令二种逼径误差更小，是内接弦的一半；若令二种逼近的半径误差相等，则内外均差弦的轮廓步近的半径误差相等，则内外均差弦的轮廓步长或步距角是内接弦时的长

38、或步距角是内接弦时的 倍。但由于内倍。但由于内外均差割线逼近时，插补计算复杂，很少应外均差割线逼近时，插补计算复杂，很少应用。用。由上面分析可知：由上面分析可知：圆弧插补时的半径误差圆弧插补时的半径误差er与圆弧半径与圆弧半径r成反比，与插补周期成反比，与插补周期T 和进给和进给速度速度F 的平方成正比。的平方成正比。2XOeraY*rraeriera第三节第三节 时间分割插补原理时间分割插补原理第三节第三节 时间分割插补原理时间分割插补原理一一 时间分割法直线插补时间分割法直线插补Pe (Xe,Ye)XYO 在设计直线插补程序时，通常在设计直线插补程序时，通常将插补计算坐标系的原点选在被插将

39、插补计算坐标系的原点选在被插补直线的起点，如图所示，设有一补直线的起点，如图所示，设有一直线直线OPe， O(0,0)为起点，为起点，Pe (Xe,Ye)为终点，要求以速度为终点，要求以速度F(mm/min)，沿沿OPe进给。进给。一一 时间分割法直线插补时间分割法直线插补设插补周期为设插补周期为t(ms)，则在则在t内的合内的合成进给量成进给量L为：为： 若若t =8ms 则则式中：式中：mFL15/2 1YYYtgXYXXXLXi1ii1i1iii1iicosmtFL60/2cose2eeeeYXXXYtg 一一 时间分割法直线插补时间分割法直线插补 上述算法是先计算上述算法是先计算Xi后

40、计算后计算Yi，同样还可以先计算同样还可以先计算Yi后计算后计算Xi，即：即： 2XXXtgYXYYYLYi1ii1i1iii1iicos2cose2eeeeYXYYXtg 一一 时间分割法直线插补时间分割法直线插补可以证明，从插补精度的角度考虑，插补公式的可以证明，从插补精度的角度考虑，插补公式的选用原则为：选用原则为：这个结论的实质就是在插补计算时总是先计算大这个结论的实质就是在插补计算时总是先计算大的坐标增量，后计算小的坐标增量。的坐标增量，后计算小的坐标增量。 为什么？请同学们思考！为什么？请同学们思考！ 2YX1YXeeee选用公式时选用公式时二二 时间分割法圆弧插补时间分割法圆弧插

41、补 2 iMODCDOCHMDHi 2tan YYXXlYlXiiii 2121sin21cos21tan 上式中，上式中，sin和和 cos都是未知数，难都是未知数，难以用简单方法求解，采用近似计算，以用简单方法求解，采用近似计算，用用sin45和和cos45来取代，则来取代，则 tan4242tan lYlXii二二 时间分割法圆弧插补时间分割法圆弧插补 FAcosLX Y21YX)X21X(Yii 为保证下一个插补点仍在圆弧上，为保证下一个插补点仍在圆弧上，Y 的计算应按下式进行的计算应按下式进行经展开整理得经展开整理得 2222YYXXYXiiii 二二 时间分割法圆弧插补时间分割法圆

42、弧插补 同直线插补一样同直线插补一样,上述算法是先计算上述算法是先计算Xi后计算后计算Yi，同样还可以先计算同样还可以先计算Yi后计算后计算Xi。这两个公式的选用原则同直线一样。这两个公式的选用原则同直线一样。第六节第六节 刀具半径补偿的计算刀具半径补偿的计算刀具半径补偿功能的主要用途刀具半径补偿功能的主要用途q实时将编程轨迹变换成刀具中心轨迹。可实时将编程轨迹变换成刀具中心轨迹。可避免在避免在加工加工中由于刀具半径的变化中由于刀具半径的变化( (如由于刀具损坏而换刀等原如由于刀具损坏而换刀等原因因) )而重新编程的麻烦。而重新编程的麻烦。q刀具半径误差补偿。由于刀具的磨损或因换刀引起的刀具半径误差补偿。由于刀具的磨损或因换刀引起的刀具半径的变化，也不必重新编程，只须修改相应的刀具半径的变化，也不必重新编程，只须修改相应的偏置参数即可。偏置参数即可。q减少粗、精加工程序编制的工作量。由于轮廓加工往减少粗、精加工程序编制的工作量。由于轮廓加工往往不是一道工序能完成的，在粗加工时，均要为精加往不是一道工序能完成的，在粗加工时，均要为精加工工序预留加工余量。加工余量的预留可通过修改偏工工序预留加工余量。加工余量的预留可通过修改偏置参数实现，而不必为粗、精加工各编制一个程序。置参数实现，而不必为粗、精加工各编制