第2章 静电场中导体和电介质 课后习题

1、1作 业第二章静电场中的导体和电介质电磁学2静电场中的导体和电介质2 22 2、 两块平行的无限大带电平板，相距两块平行的无限大带电平板，相距D=0.01mD=0.01m，电荷面密度分别，电荷面密度分别为为1 1=3.0 =3.0 1010-8-8C/mC/m2 2和和2 2=1.0 =1.0 10 10-8-8C/mC/m2 2。今将一块不带电的厚度。今将一块不带电的厚度为为d=2.0 d=2.0 10 10-3-3m m 的金属大平板放入两块带电平板间，如图所示。求：的金属大平板放入两块带电平板间，如图所示。求：（1 1）金属平板上的感应电荷面密度；）金属平板上的感应电荷面密度；（2 2）

2、放入金属平板后，两块带电平板之间的电势差改变了多少？）放入金属平板后，两块带电平板之间的电势差改变了多少？ 解：解：3403142000002222 设金属板两面的电荷面密度分别为设金属板两面的电荷面密度分别为 3和和 4；金属板原来不带电，由金属板原来不带电，由孤立导体电荷守恒有：孤立导体电荷守恒有：由静电平衡条件，金属板内一点由静电平衡条件，金属板内一点P P的场强为的场强为0 0：即：即：P 解之得解之得C mC m8282341.0 10/;1.0 10/ 电磁学3静电场中的导体和电介质（2 2）放入金属平板后，两块带电平板之间的电势差改变了多少？）放入金属平板后，两块带电平板之间的电

3、势差改变了多少？baUE dl abE1 E3 E2 mn132mnbamnE dlE dlE dl其中：其中：EVm314210000112.9(/)2222 EVm314220000112.9(/)2222 由静电平衡条件，知由静电平衡条件，知E30 UE dV1112.9 0.0022.26 ( ) 可见：插入金属板后，在金属板上、下将出现等值异号的感应电荷，可见：插入金属板后，在金属板上、下将出现等值异号的感应电荷，电场仅在电容器极板与金属板之间。场强数值没有变化，电势差变小。电场仅在电容器极板与金属板之间。场强数值没有变化，电势差变小。2 23 3、两块平行的金属板，面积均为、两块平

4、行的金属板，面积均为S S0.5m0.5m2 2，分别带有电量，分别带有电量Q Q1 12.0 2.0 1010-8-8C C，Q Q2 2 1.0 1.0 1010-8-8C C。求。求（1 1）每块金属板两个表面的电荷面密度；）每块金属板两个表面的电荷面密度；（2 2）两块金属板之间及外侧的场强，画出电场线图。）两块金属板之间及外侧的场强，画出电场线图。0内E解：解： （1 1）由静电平衡知，导体内部场强为零）由静电平衡知，导体内部场强为零0E导体表面为等势面，导体表面外一点导体表面为等势面，导体表面外一点 。平板导体所带电荷分布于表面，设平板导体所带电荷分布于表面，设1 1、2 2、3

5、3、4 4面分别带电荷面密度分别为面分别带电荷面密度分别为 。1234, 选取如图的高斯面，有（由高斯高理）：选取如图的高斯面，有（由高斯高理）： SSSESESESES0320231221侧23230 0内E 021ESES 侧侧SE又又SSSESESESES0320231221侧侧ES即： 0（2）在导体内任取一点）在导体内任取一点P（任意的）（任意的）004321EEEEEP内 即即 0222204010203nnnn3214 如果如果P P点在导体外，如图中的点在导体外，如图中的PP点，则点，则;0203PE如果如果P P点在导体外，如图中的点在导体外，如图中的 点，点，则则P 010

6、4 PE 电磁学6静电场中的导体和电介质2 25 5、如图所示，两块平行的金属大平板，用细导线连在一起。现将一块、如图所示，两块平行的金属大平板，用细导线连在一起。现将一块带电的金属大平板（它的两个表面的电荷面密度均为带电的金属大平板（它的两个表面的电荷面密度均为=3.0 =3.0 1010-8-8C/mC/m2 2 ）放入上述两块平板之间，它与两板间的距离分别为放入上述两块平板之间，它与两板间的距离分别为d d1 10.08m0.08m和和d d2 20.06m0.06m。求：三块金属大平板表面的电荷面密度。求：三块金属大平板表面的电荷面密度。d1d2123456 S解：解：作高斯面如图，应

7、用高斯定理：作高斯面如图，应用高斯定理：ESS230 上上下下側側由静电平衡条件知，导体板内的场强为零，由静电平衡条件知，导体板内的场强为零，则：则：同理作高斯面如图，应用高斯定理，有同理作高斯面如图，应用高斯定理，有54=-=-23=-=-则如图的闭合高斯面的电通量为零，因此有则如图的闭合高斯面的电通量为零，因此有00SSE dSdS 上上上上上上00SSE dSdS 下下下下下下侧面侧面 ，所以，所以ES 0 側側电磁学7静电场中的导体和电介质P1,P2,P3点都在金属板内部，其场强为零，即：点都在金属板内部，其场强为零，即：E35612410000000222222 E1E2E3EEE3

8、5612420000000222222 E35612430000000222222 由孤立导体电荷守恒，有由孤立导体电荷守恒，有3412562 ;0 E356124000000222222 E356124000000222222 因为两金属板用导线相连，所以它们等电势，有因为两金属板用导线相连，所以它们等电势，有带入数据可求解结果。带入数据可求解结果。120BAE dE dUE dl AB电磁学8静电场中的导体和电介质1R2R3Rq2 26 6、两个绝缘的同心金属球壳、两个绝缘的同心金属球壳A A和和B B，如图所示。，如图所示。A A带有电量带有电量q q2 2 1010-8-8C C，B

9、B不带电。求不带电。求： （1 1）B B的两个表面各带多少电量？的两个表面各带多少电量？（2 2）若用导线把）若用导线把A A和和B B相连，则相连，则A A和和B B各带多少电量？各带多少电量？AB解解：（1）作如图所示的同心球形高斯面，）作如图所示的同心球形高斯面，应用高斯定理可得应用高斯定理可得B的内表面带有的内表面带有q电荷。电荷。由孤立导体电荷守恒可知，由孤立导体电荷守恒可知，B的外表面带有的外表面带有q的电荷。的电荷。（2）若用导线把若用导线把A和和B相连，相连， 则则它们成为等势体。由静电平衡条件知电它们成为等势体。由静电平衡条件知电荷分布在导体表面荷分布在导体表面,设它们带电

10、分别为设它们带电分别为qA，qB内内，qB外外。电磁学9静电场中的导体和电介质由静电平衡条件知由静电平衡条件知 qA=qB内内由孤立导体的电荷守恒得：由孤立导体的电荷守恒得： qB外外=q2 2 1010-8-8C C. 1R2R3RqAB即即A、B间没有电场线，因此球间没有电场线，因此球A不带电。不带电。有静电平衡条件知，有静电平衡条件知，B内场强为零，因此内场强为零，因此 B球壳的内表面也不带电。电荷只分布在球球壳的内表面也不带电。电荷只分布在球 壳壳B的的外表面外表面。电磁学10静电场中的导体和电介质1R2R3R2 28 8、如图所示，两个同心金属球、如图所示，两个同心金属球A A和和B

11、 B，外球是空心的，内球半径为，外球是空心的，内球半径为R R1 1=0.02 m=0.02 m，外球内半径为，外球内半径为R R2 2=0.04 m=0.04 m，外半径为，外半径为 R R3 3=0.06 m=0.06 m 。A A带有电量带有电量q qA A2 2 1010-8-8C C，B B带有电量带有电量q qB B-3 -3 1010-8-8C C。求。求（1 1）B B的两个表面各带多少电量？的两个表面各带多少电量？（2 2）r r0.030.03，0.050.05和和0.07m0.07m处的场强大小和电势大小？处的场强大小和电势大小？AB解解：（1）作如图所示的同心球形高斯面

12、，）作如图所示的同心球形高斯面，应用高斯定理：应用高斯定理：可得可得: 0/ABE dSqq 內內由静电平衡条件知，导体内场强为由静电平衡条件知，导体内场强为0，则该高斯面的电通量为则该高斯面的电通量为0，即，即0E dS 82 10BAqqC 內內Bq內內Bq外外由孤立导体的电荷守恒，得：由孤立导体的电荷守恒，得：888310( 210 )1 10BBBqqqC 外外內內Aq电磁学11静电场中的导体和电介质（2）r=0.03，0.05和和0.07m处的场强大小和电势大小？处的场强大小和电势大小？作如图所示的半径为作如图所示的半径为r的同心球形高斯，应的同心球形高斯，应用高斯定理：用高斯定理：

13、0/SE dSq 內內当当R1 r R2时：时：2004/AErq 得得 -8950.032200.032 109 10=2 10/40.03ArrqEVmr （）电势为三个球面的电势相加，即电势为三个球面的电势相加，即0.0300203+444BBArqqqUrRR 內內外外-8-8-892 10-2 10-1 109 10+=( )0.030.040.06V （） 0 0电磁学12静电场中的导体和电介质当当R2 r R3时：时：2004/BErq 外外 -8B940.07220-1 10910= -1.8410/40.07rqEVmr 外外（）电势为三个球面的电势相加，即电势为三个球面的电

14、势相加，即0.03000+444BBArqqqUrrr 內內外外-8-8-8932 10-2 10-1 10910+=1.2910 ()0.070.070.07V （）由高斯定理由高斯定理得得 0/ABBE dSqqq 內內外外R1 r R2r R1 R2 r R3204AqEr B204qEr 外外0E 0E 010203+444BBAqqqURRR內內外外00203+444BBAqqqUrRR 內內外外034BqUR 外外04BqUr 外外0.060.040.02OrU010203+444BBAqqqRRR 內內外外034BqR外外r0.060.040.02OE2014AqRB2034qR

15、外外2-92-9、两个同心薄壁金属球壳，半径分别为、两个同心薄壁金属球壳，半径分别为R R1 1和和R R2 2，原来两个球面原来两个球面都不带电，现使外球带电到其电势为都不带电，现使外球带电到其电势为U U0 0。问：。问：1 1）内球面是否带电？内球的电势为多大？）内球面是否带电？内球的电势为多大？2 2）若将内球接地，）若将内球接地，并保持外球壳的电势为并保持外球壳的电势为U U0 0值值，内球壳带多少电？，内球壳带多少电？( (求出电场中电势的分布曲线求出电场中电势的分布曲线不作要求不作要求) )。解：解：1 1）两球面原来不带电，因静电屏蔽作用，即）两球面原来不带电，因静电屏蔽作用，

16、即使外球带电，内球也不会带电。使外球带电，内球也不会带电。Q Q内内=0=0。内球的电。内球的电势等于外球面的电势势等于外球面的电势U U内内 = = U U0 0 。 2R1R1q00204qRU 外球带电到其电势为外球带电到其电势为U U0 0，带的电量，带的电量q0 0满足：满足：2200000202002dd444RRqqUErrqR UrR 2 2）内球接地后，）内球接地后，U U内内 = 0= 0。由静电感应现象，内球会带有电荷，设其电量。由静电感应现象，内球会带有电荷，设其电量为为q q1 1。112211020021110dd()44RRRRqqUErrrRR 两球的电势差：0

17、0121214U R RqRR 求求得得：16求电场中电势的分布曲线：求电场中电势的分布曲线：2R 1R1q12210014RRRRUq 120202141RqR URR 内球接地，内球接地，并保持外球壳的电势为并保持外球壳的电势为U0值值,设此时外球壳带电量为设此时外球壳带电量为q2，有：，有： 222220202220001201220221202100121212dd41dd44444RRRRqUqUErrrqrrrrU R RU RqqRRRRRR RRRRR 22101220dd4 RRrrrqUUErRrrRr 当当时时，012100012111111()()4rU R RqUUU

18、rRRRrR 11,0rRU 当当2q1722220202020022222dd0 RRrrrRR UR UR UUUErrrrRrRrR UUUr 当当时时，处处与与外外球球势势差差为为：壳壳处处的的电电00121214U R RqRR 0012202110202220022121414144U R RR UqqRER UrrRRRRrrR 当当时时， 120202141RqR URR 2R 1R1q2qUOr0U1R2R2-102-10、两根平行长直输电线，半径都为、两根平行长直输电线，半径都为R=5 R=5 1010-3-3m,m,相距为相距为d=1m, d=1m, 如图两如图两直导线每

19、单位长度上分别带电直导线每单位长度上分别带电 1 1= 7.5= 7.51010-8-8C/mC/m 和和 2 2=-7.5=-7.51010-8-8C/mC/m 。求。求两直导线的电势差。两直导线的电势差。or习题 210图解：（解：（1）距离左边导线为）距离左边导线为r处的电场强度大小为处的电场强度大小为 011()2Erdr 两直导线之间的电势差为两直导线之间的电势差为001111()()22dRRUdrrdrrdr 0000020009811()lnln()ln222lnlnln22ln2lnln2210.0054 9.0 107.5 10ln1.429 10.005dRdRdRdRR

20、RRRrdrdrrrdrdrrddRRdR RdRRdRRdRdRdRRRR 40 (V/m)2-11.设有两根平行的无限大均匀设有两根平行的无限大均匀带电平面带电平面，相距为，相距为d0电荷面密度分别为电荷面密度分别为1和和 2（ 12 ）。在两个带电平面间紧贴带电）。在两个带电平面间紧贴带电1平面平行地放置一块平面平行地放置一块厚厚为为d(ddd(dd0 0) ) 相对电容率为相对电容率为r r 的均匀带电介质板。求的均匀带电介质板。求:（1）两带电面间）两带电面间D和和E的分布；的分布；（2）两带电面间电势）两带电面间电势U的分布（以带电面的分布（以带电面1所在处为参考点）；所在处为参考

21、点）；（3）电介质板表面的极化电荷面密度。）电介质板表面的极化电荷面密度。解：解：34rd12d0 0(3)介质的两表面极化电荷面密度为介质的两表面极化电荷面密度为3和和 4D1 D21212rDDEE 1134202134201()21()2EE 340解得：解得：123(1)()2rr 124(1)()2rr 1221342001()22E 121234(1)()(1)();22rrrr 1134201()2E 12121200(1)()1()22rrr 1202121()2DDE (2) 以带电面以带电面1所在处为参考点所在处为参考点, 距离左边带电面为距离左边带电面为x处的电势为处的电

22、势为:x02110():2xrxdUEdxE xx 00012121200():()().22dxxdrdxdUEdxEdxEdxE dxE ddxd （1）两带电面间）两带电面间D和和E的分布；的分布；1r 1RR2R解：解：（1）作如图所示的同轴柱面高斯面，）作如图所示的同轴柱面高斯面，半径为半径为r，高度为，高度为h。应用有介质情况下的高斯定理，即：应用有介质情况下的高斯定理，即：11210()2()0()SrRD dSrhDhRrRrR h 11220()( )/ 2()0()rRDD rrRrRrR Or 1/ 2 R 1R2RD 1/ 2 R 11220()( )/ 2()0()r

23、RDD rrRrRrR 1011002220()/ 2(),( )/ 2()0()rrrrRrRrRDEE rrRrRrR 由由得得: : （2）电势）电势U 的分布的分布 1RR2R以以中间的铜芯为电势的参考零点中间的铜芯为电势的参考零点，距离中心距离中心r处的电势为：处的电势为：1( )RrU rE dl 111:( )00RRrrrRU rEdrdr静电平衡条件，导静电平衡条件，导体内部体内部E011110101:( )ln22RRrrrrRRrRU rEdrdrrr EOr 011/ 2rR 1RR2RUOr1RR2R 101102220()/ 2()( )/ 2()0()rrrRrR

24、rRE rrRrRrR 112020102011120121:( )22lnln22lnln2RRRrrRrrrrrrrrRrRU rEdrdrdrrrrRRRrRRR 1212202012020112120121:( )022lnln22lnln2RRRRrrRRrrrrrrrrrRU rEdrdrdrdrrrRRRRRRRR 1RR2R101ln2rRR 101102220()/ 2()( )/ 2()0()rrrRrRrRE rrRrRrR (3) (3) 每层电介质中的电极化强度分布：每层电介质中的电极化强度分布： 第一种介质内：第一种介质内：1110101(1)(1)2rrrPEEr

25、 00(1)rPEE由由：1RR2RP 第二种介质内：第二种介质内：2220202(1)(1)2rrrPEEr (4) (4) 两层电介质界面上的极化电荷面密度：两层电介质界面上的极化电荷面密度： ne 12n1n2n()PPePP 1212122121(1)(1)()222rrrrrrrrrrPrP 101102220()/ 2()( )/ 2()0()rrrRrRrRE rrRrRrR (5) (5) 每层电介质中的极化电荷面密度：每层电介质中的极化电荷面密度： 第一种介质的内表面：第一种介质的内表面：11111011(1)(1)2rnrr Rr RrP ePER 內內nP e 极化电荷面

26、密度：极化电荷面密度：00(1)rPEE 又又：1RR2R第一种介质的外表面：第一种介质的外表面：11101(1)(1)2rnrrRrRrP ePER 外外P 1ne 外外1ne 內內第二种介质的内表面：第二种介质的内表面：22202(1)(1)2rnrr Rr RrP ePER 內內2ne 內內第二种介质的外表面：第二种介质的外表面：22222022(1)(1)2rnrrRrRrP ePER 外外2ne 外外电磁学262-21.一平行板电容器极板面积为一平行板电容器极板面积为S，间距为，间距为d，带电荷量分别为带电荷量分别为+Q和和-Q，将极板的距离拉开一倍。，将极板的距离拉开一倍。（1）静

27、电场改变多少？）静电场改变多少？（2）抵抗电场力作了多少功？）抵抗电场力作了多少功？(2) (2) 由功能关系可知：由功能关系可知：电场力做功为静电能减少量；则抵抗电场力作功为静电场能量电场力做功为静电能减少量；则抵抗电场力作功为静电场能量 增加量即增加量即：电磁学272-22.一平行板电容器极板面积为一平行板电容器极板面积为,间距间距为为d,接在电源上以保持电压为接在电源上以保持电压为U.将极板的距离拉开一倍，计算将极板的距离拉开一倍，计算：（：（1）静电能的改变；（）静电能的改变；（2）电场对电源）电场对电源做的功；（做的功；（3）外力对极板做的功。）外力对极板做的功。拉开一倍后，电容变为

28、原来的拉开一倍后，电容变为原来的1/2, 静电场能量也变为原来的静电场能量也变为原来的1/2, 即：即：则静电能改变量为：则静电能改变量为：（2 2）电场对电源电场对电源做的功：做的功：（1 1）由电容的储能公式，得：）由电容的储能公式，得：解：解：220111122SWC UUd 22022111122 22SWC UUWd 202111124SWWWWUd 0011122;22SSQQC UUQC UUdd 即电容器要把一半的电子从电容器的一板送到另一板，这就需要电容器即电容器要把一半的电子从电容器的一板送到另一板，这就需要电容器电场来对电子做功，因为电子要通过电源到达另一板，相当于电容器

29、电电场来对电子做功，因为电子要通过电源到达另一板，相当于电容器电场要把电子从电源的一极运送到另一极，所以就称为对电源做功！场要把电子从电源的一极运送到另一极，所以就称为对电源做功！ 保持电容器的电压保持电容器的电压U不变，则电容器对电源做功为：不变，则电容器对电源做功为：2012()2SUAqUQQ Ud （3）外力对极板做的功：）外力对极板做的功：由能量守恒知，外力做功等于电容器储能的增加和电场力对电源由能量守恒知，外力做功等于电容器储能的增加和电场力对电源做功之和，即做功之和，即：2220001=424SSUSUAW + AUddd 外外解解：（1）求）求D和和E：作如图所示的矩形环路，矩

30、形边长作如图所示的矩形环路，矩形边长为为l，应用静电场的环路定理：，应用静电场的环路定理：l0LE dl 121200/E lE lEEEUd 10102020,/;/rrDEDUdDUd 由由得得：（2）求电荷面密度：）求电荷面密度：作如图所示的钱币型高斯面，可得：作如图所示的钱币型高斯面，可得：D 因此，两级板上相对表面上的电荷面密度分别为：因此，两级板上相对表面上的电荷面密度分别为： 011010022020/ ;/rrDUdDUd （3）求电介质表面的极化电荷面密度：）求电介质表面的极化电荷面密度：nP e 极化电荷面密度：极化电荷面密度：00(1)rPEE 又又：ne ne ne n

31、e 介质各表面的极化电荷面密度为：介质各表面的极化电荷面密度为：1100110022002200(1)/ ;(1)/(1)/ ;(1)/rrrrUdUdUdUd 上上下下上上下下（4）求电容）求电容 /Cq U 00112201102210102020()/rrrrUSSqSSSUdSUdd 011010022020/ ;/rrDUdDUd 因此：因此：011220()rrSSqCUd 电容为两个电容器并联电容为两个电容器并联解解：法二：法二：这个系统看作是两个电容器串联，这个系统看作是两个电容器串联，电容分别为：电容分别为：l1011101020222020/ ;/rrDQSUd DQSUd

32、 01102212;rrSSCCdd 则总的电容为：则总的电容为：0110220112212()rrrrSSSSCCCddd 两个电容器上的电量分别为：两个电容器上的电量分别为：0110221122;rrSSQC UUQC UUdd 根据有介质情况下的高斯定理，知：根据有介质情况下的高斯定理，知：1020,/ ;/.DEEUdEUd 由由得得：2-24、解：解： 根据静电场的边界条件，根据静电场的边界条件，12ttEE 1E2E020()4QQEr 设电容器的带电量为设电容器的带电量为Q0，介质内表面有极化电荷，介质内表面有极化电荷Q，由高斯定理得：由高斯定理得：1020,rDEDEDE 由由

33、得得：01020,rDEE 由由得得：201122()QR1212EE 00122211,2(1)2(1)rrrQQRR 01221(1)2(1)rrQR 201(1)2(1)rrQQR 221100220012()111()42(1)RRRRrQQQUEdrdrrrRR 0012212(1)rQR RCURR 120012211441/1/R RCRRRR0121212R RCRR0122212rR RCRR 01212212(1)rR RCCCRR解：方法二、球形电容器的电容为解：方法二、球形电容器的电容为对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半。对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半。当电容器中充满介质时，电容为当电容器中充满介质时，电容为由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联2-26、 一平行板电容器的极板面积为一平行板电容器的极板面积为S，板间距离为，板间距离为d，两板竖直放着。若，两板竖直放着。若电容器两板充电到电压为电容器两板充电到电压为U时，时，断开电源断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常，使电容器的一