第七章 曲线及曲面

1、第七章第七章 曲线与曲面曲线与曲面点点在空间作连续变换方向在空间作连续变换方向的运动轨迹的运动轨迹。 一、一、 曲线的形成和分类曲线的形成和分类 1. 1. 曲线的形成曲线的形成 7 71 1 曲线概述曲线概述2. 2. 曲线的分类曲线的分类1. 1. 按按点的运动有无点的运动有无规律，曲线可分为规律，曲线可分为规则曲线规则曲线（如圆锥曲线、螺旋线等）和（如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线不规则曲线。2. 2. 按按曲线上点的分布曲线上点的分布可分为两类：可分为两类： 1 1）平面曲线平面曲线曲线上所有点都在同一平面曲线上所有点都在同一平面 上，如二次曲线、渐伸线等；上，如二次曲线、渐伸线等；

2、 2 2）空间曲线空间曲线 曲线上任一连续四个点不在曲线上任一连续四个点不在 同一平面上，如螺旋线等。同一平面上，如螺旋线等。二、二、 曲线的投影曲线的投影 一般情况下，曲线至少需要一般情况下，曲线至少需要两个投影两个投影才能确才能确定出它在空间的形状和位置。定出它在空间的形状和位置。 按照曲线按照曲线形成的方法形成的方法，依次求出依次求出曲线上一曲线上一系列点的各面投影，然后把各点的同面投影系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺顺次光滑连接次光滑连接即得该曲线的投影。即得该曲线的投影。 为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上特殊点特殊点（如极限位置点、

3、分界点等）的投影，最（如极限位置点、分界点等）的投影，最好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来 。、D、G均为均为特殊点特殊点、E为为一般点一般点 B和和F为对为对H面面重影点重影点三、曲线的投影特性三、曲线的投影特性 1）曲线的投影）曲线的投影一般仍为曲线一般仍为曲线，只有当平面，只有当平面曲线所在平面平行于投射线时，投影为直线。曲线所在平面平行于投射线时，投影为直线。 2）属于曲线的点，其投影必在曲线的同面）属于曲线的点，其投影必在曲线的同面投影上投影上，即点与曲线的即点与曲线的从属关系从属关系为曲线投影的为曲线投影的不不变性。变性。 7 72 2 曲

4、面概述曲面概述一、曲面的形成与分类一、曲面的形成与分类 曲面曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空可以看作是一条线（直线或曲线）在空间作有规律或无规律的间作有规律或无规律的连续运动连续运动所形成的所形成的轨迹轨迹，或者说曲面是运动线所有位置的集合或者说曲面是运动线所有位置的集合 。 如图所示曲面，如图所示曲面， 是由是由AA沿着沿着曲线曲线ABC运动且在运动运动且在运动中始终平行于中始终平行于直线直线MN所形成的。所形成的。 AA称为母线。称为母线。1.1.曲面的形成曲面的形成 母线形状可以是不变母线形状可以是不变的，也可以是不断变化的。的，也可以是不断变化的。 母线在曲面上的任母线在曲面上的

5、任一位置称为一位置称为素线素线，无限，无限接近的相邻两素线称为接近的相邻两素线称为连续两素线连续两素线 。 控制母线运动的点、控制母线运动的点、线和面称为线和面称为定点定点、导线导线和和导面导面，它们统称为，它们统称为导导元素元素 。2. 2. 曲面的分类曲面的分类 根据不同的分类标准，曲面可以有许多不根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分类方法。如：同的分类方法。如： 按按母线的形状母线的形状分类，曲面可分为分类，曲面可分为直线面直线面和和曲线面曲线面； 按按母线的运动形式不同母线的运动形式不同分类，曲面可分为分类，曲面可分为回转曲面回转曲面和和非回转曲面非回转曲面； 7 73 3 回转

6、曲面回转曲面一、一、圆柱面圆柱面 直圆柱面可以认为是一直母线围直圆柱面可以认为是一直母线围绕与之平行的轴线作回转运动形成的，绕与之平行的轴线作回转运动形成的，它是它是一般柱面的特殊形式。一般柱面的特殊形式。 若一个矩形面围绕其中一条边回若一个矩形面围绕其中一条边回转则形成转则形成圆柱体圆柱体。 圆柱面上求点圆柱面上求点 a a a 二、圆锥面二、圆锥面 正圆锥面可以认为正圆锥面可以认为是是一直母线一直母线围绕与之围绕与之相相交的轴线交的轴线作作回转运动回转运动形形成的，它是一般锥面的成的，它是一般锥面的特殊形式。特殊形式。 若一个直角三角形若一个直角三角形面围绕其中一条直角边面围绕其中一条直角

7、边回转则形成回转则形成圆锥体圆锥体。 圆锥面上求点有两种方圆锥面上求点有两种方法：法： 素线法、纬线圆法素线法、纬线圆法 。纬线圆法纬线圆法 s s (n )sn(n )过锥顶作一过锥顶作一条素线。条素线。 s s k s k k 素线法素线法作纬线圆。作纬线圆。三、球面三、球面 一圆母线绕其一条直径作回转运动，即一圆母线绕其一条直径作回转运动，即形成形成球面球面 。 球面的球面的三个投影都是圆三个投影都是圆，但三个圆，但三个圆却分别是却分别是三个不同转向轮廓线的投影三个不同转向轮廓线的投影。(c)(c)( (c c ) )A AB B(C)(C) ( (b b ) ) c c b bb b

8、a a a aa a （1 1）圆球的视图）圆球的视图注意：注意：转向轮廓线的投影转向轮廓线的投影与与曲面可见性的判断。曲面可见性的判断。（2 2）圆球面上的点圆球面上的点辅助圆法辅助圆法圆的半径？圆的半径？四、圆环面四、圆环面 一圆母线绕其所在平面内的一条轴线一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转运动，即形成作回转运动，即形成圆环面。圆环面。 圆环的视图圆环的视图m圆环面上的点圆环面上的点m（n）（n） 7 74 4 几种常见的非回转曲面几种常见的非回转曲面一、一、 柱柱 面面 一直母线沿一直母线沿曲导线曲导线运动且始终运动且始终平行平行于另一直导线而形成的曲面称为于另一直导线而形成的曲面称

9、为柱面柱面。 作图时，一般应画出作图时，一般应画出导线导线和和曲面的轮廓线曲面的轮廓线，必要时还要画出必要时还要画出若干素线若干素线及其及其曲面的曲面的H面迹线面迹线。直圆柱面直圆柱面 几种柱面几种柱面 正圆柱面正圆柱面 斜圆柱面斜圆柱面 正椭圆柱面正椭圆柱面 斜椭圆柱面斜椭圆柱面 二、二、锥面锥面 一直母线沿曲一直母线沿曲导线运动且导线运动且始终通过始终通过一定点一定点（锥顶）而形（锥顶）而形成的曲面称为成的曲面称为锥面锥面。 锥面的相邻两素锥面的相邻两素线为过锥顶的相交直线为过锥顶的相交直线，位于同一平面内，线，位于同一平面内，所以是所以是可展曲面可展曲面。 作图时，一般只画出作图时，一般

10、只画出锥顶锥顶、导线导线和和曲面的轮廓曲面的轮廓线线，必要时还要画出，必要时还要画出若干素线若干素线及及曲面的曲面的H面迹线。面迹线。 正圆锥面正圆锥面 s s s正圆锥面正圆锥面 斜圆锥面斜圆锥面 正椭圆锥面正椭圆锥面 斜椭圆锥面斜椭圆锥面 三、三、锥状面锥状面 一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了运动，并始终与一导平面平行，即形成了锥状面。锥状面。 四、四、柱状面柱状面 一直母线沿两条曲导线运动，并始终与一直母线沿两条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了一导平面平行，即形成了柱状面柱状面 。五、五、双曲抛物面

11、双曲抛物面 一直母线沿着两条相错的直导线运动，并一直母线沿着两条相错的直导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了始终与一导平面平行，即形成了双曲抛物面双曲抛物面 。 双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应地有地有两个导平面两个导平面。这两个导平面的交线（。这两个导平面的交线（OZ轴）轴）即为该曲面的即为该曲面的轴线轴线。若两个导平面相互垂直，。若两个导平面相互垂直，则称为则称为正双曲抛物面正双曲抛物面，否则称为，否则称为斜双曲抛物面斜双曲抛物面。 正双曲抛物面正双曲抛物面斜双曲抛物面斜双曲抛物面 7 75 5 圆圆 柱柱 螺螺 旋旋 面面1.螺旋线的形成一、一

12、、 圆柱螺旋线圆柱螺旋线 一点沿圆柱面直母一点沿圆柱面直母线作线作等速直线运动等速直线运动，同，同时该母线又绕圆柱面轴时该母线又绕圆柱面轴线作线作等速回转运动等速回转运动，则，则该点在空间的运动轨迹该点在空间的运动轨迹即为即为圆柱螺旋线圆柱螺旋线 。2. 2. 圆柱螺旋线的三要素：圆柱螺旋线的三要素： 1) 1) 圆柱的直径圆柱的直径 2) 2) 导程导程S S：当动点所：当动点所在直母线在直母线旋转一周旋转一周时，时，点沿点沿该母线移动的距该母线移动的距离离称为螺旋线的称为螺旋线的导程导程 。 3) 旋向：分为旋向：分为右旋右旋、左旋左旋两种。两种。 3) 旋向：分为旋向：分为右旋右旋、左旋

13、左旋两种两种 右螺旋线的动右螺旋线的动点运动遵循点运动遵循右手定右手定则则； 左螺旋线的动左螺旋线的动点运动遵循点运动遵循左手定左手定则则。3.3.作图步骤作图步骤 4. 4. 螺旋线的性质螺旋线的性质 在一个导程内，圆柱螺旋线的展开长在一个导程内，圆柱螺旋线的展开长度度 ，它是以导圆柱面的周长，它是以导圆柱面的周长和导程为两直角边的直角三角形的斜边。和导程为两直角边的直角三角形的斜边。 它与导圆柱面底圆展开所得直线的夹它与导圆柱面底圆展开所得直线的夹角角 ，称为该，称为该圆柱螺旋线的升角圆柱螺旋线的升角。 它的余角它的余角 ，称为该圆柱螺旋线的，称为该圆柱螺旋线的螺旋螺旋角角。 22)(SdL4. 4. 螺旋线的性质螺旋线的性质 1 1） 圆柱螺旋线是属于圆柱面上不在同圆柱螺旋线是属于圆柱面上不在同一素线上的两点之间一素线上的两点之间最短距离的连线最短距离的连线，故又称为圆柱面上的故又称为圆柱面上的测量线测量线。 2 2） 对于同一条圆柱螺旋线来说，对于同一条圆柱螺旋线来说， 、 是是常数。常数。3.3.圆柱