数值计算方法期末复习答案终结版

1、名词解释*,*、*1 .误差：设X为准确值X的一个近似值，称e(x)=x-x为近似值X的绝对误差，简称误差。2 .有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其*精确程度。如果近似值x的误差限是,父化"，则称x准确到小数点后n位,并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。3 .算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。4 .向量范数：设对任意向量XwRn,按一定的规则有一实数与之对应，记为iix

2、ii,若iixii满足(1) |，仁0,且|X|=0当且仅当X=0；(2)对任意实数a,都有11ctX|=|5|X|；(3)对任意X,穴Rn,都有iix+y同xii+iioi则称|X|为向量X的范数。5.插值法：给出函数f(x)的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数？(x)作为f(x)的近似的方法。*.*6相对误差：设x为准确值x的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值x的相对误，*、差，记为er(x),即er(x)=eXx7.矩阵范数：对任意n阶方阵A,按一定的规则有一实数与之对应，记为|A|。若|A|满足(1)|

3、A|户0,且|A"=0当且仅当A=0;(2)对任意实数a,都有11aA仔a|A|;(3)对任意两个n阶方阵A,B,都有|A+B|-A|+|B|;(4)|AB|二|A|B|称|A|为矩阵A的范数。8.算子范数：设A为n阶方阵,|*|是Rn中的向量范数，则11A|=11Ax|max种矩阵范数，称其为由向量范数ii,ii诱导出的矩阵范数，也称算子范数9 .矩阵范数与向量范数的相容性：对任意n维向量X,都有l|Ax|.|A|x|这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。10 .1-范数，-范数和2-范数:n(1) 1-范数|Xl|*工Xi|i1(2)8一范数|Xbmax|)一1七也(3) 2-

4、范数|x2*JI+X2”士京2二、简答题1 .高斯消元法的思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。2,迭代法的基本思想是：构造一审收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解得规则，由不同的计算规则得到不同的迭代法。3,雅可比(Jacobi)迭代法的计算过程(算法)：(1)输入A=(aj),bb,，0),维数n,X(0)=(才0)旬0),，(0),名，最大容许迭代次数No(2)置k=1n(3)对i=1,2,，nx=(b£a父°)a口j1j-i：(4)若|

5、x-x卜巴输出x停机；否则转5。(5)k<N,置k+1nk,x=为(i=1,2,，n),转3,否则，输出失败信息，停机。4,插值多项式的误差估计：(P102)f(n1)(由R(x)nd/n1(x);f(n1)(j(n1)!(x-x0)(xx1)(x-xn)当x=x(i=0,1,，n)时，上式自然成立，因此，上式对a,b上的任意点都成立，这就叫插值多项式的误差估计。5,反幕法的基本思想：设A为阶非奇异矩阵，儿，U为A的特征值和相应的特征向量，1则A的特征值是A的特征值的倒数，而相应的特征向量不变，即1111Au=u九因此，若对矩阵A用幕法，即可计算出A的按模最大的特征值，其倒数恰为A的按模

6、最小的特征值。6 .雅可比(Jacobi)迭代法是：选取初始向量X(0)代入迭代公式Xik+1LBxk(+)g(k=0,12,产生向量序列X的,由上述计算过程所给出的迭代法。7 .数值计算中应注意的问题是：(1)避免两个相近的数相减(2)避免大数“吃”小数的现象(3)避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值(4)要简化计算，减少运算次数，提高效率(5)选用数值稳定性好的算法8.高斯消去法的计算量：由消去法步骤知，在进行第k次消元时，需作除法n-k次，乘法(nk)(n-k+1)次，故消元过程中乘除运算总量为nJnJ乘法次数工(n-k)(n-k+1)=n(n2-1)除法次数£(n-k)=-(

7、n-1)二3''2''在回代过程中，计算xk需要(n-k十1)次乘除法，整个回代过程需要乘除运算的总量为n工(n-k+1)=n(n+1),所以，高斯消去法的乘除总运算量为kJ2N=n(n2-1)口(n-1)口(n1尸1n2-322339.迭代法的收敛条件：对任意初始向量X(0)和右端项g,由迭代格式x(k1)=Mx(k)g(k=0,1,2,产生的向量序列x(k)收敛的充要条件是P(M)<1。10.迭代法的误差估计：设有迭代格式x(kHt)=Mx(k)十g,若11M|<1,寸)收敛于x*,则有K误差估计式|x(k)-x*|<|M|x(1)-x(0

8、)|o1-|M|计算题1.假定运算中数据都精确到两位小数，试求*x=1.21父3.659.81的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字?解:e(xi_X2)=e(xi),e(x2)由式k、xic/、上x2er(x1±x2)=er(x1)士x土x2xI土x2ere(xix2)：x2e(xi)xe(x2)阳/、和«得(x2)er(xx2):e(xi)0(x2)*e(x)=3.65e(i.2i)i.2ie(3.65)-e(9.8i)因为式中数据都精确到两位小数，即其误差限均为1Mi0/,故有2*|e(x)|<3.65|e(i.2i)|i.2i|e(3.65)|e(9

9、.8i)|i2<(3.65i.2ii)-i0=0.0293*|e(x)|0.0293|er(x)|=2*川一=0.0054|x|5.3935一、*.所以，x的绝对误差限为0.0293,相对误差限为0.0054,计算结果有两位有效数字22.求矩阵A=I42377的三角分解。45uij=aiji解：由式<Uij=aj-工likUkjkmjlij=(aij_£likukj)/ujjlk3(j=1,2,n)(i=2；,n,j=i,n)(j=1,2；,n-1,i=j1；,n)，U12=ai2=2,ui3=ai3-342,l21-a21/U11一二一2l3i-a3i/Uii一一122

10、U22=a22一l2iUi2-7-22=3,U23=a23一l2iUi3=7-23=1l32=(a32l3iUi2)/U22=4-(-1)2/3=2U33=a33-(l3iU3l32U23)=5(-1)321=6所以100223A=210031：-1211_0062-13.用幕法(k=2)求矩阵A=1020-1x=(0，0，0)T.(P77)解：y(0)=x(0)=(0，0，1)T01I的按模最大的特征值和相应的特征向量。取2x(1)=Ay=(0，-1,2)丁，,二2(1)xa=(0，-0.5,1)Tx(2)=Ay=(0.5，-2,2.5)T,a=2.54.已知函数yTnx,x的已是10,11

11、,12,13,14对应的y=lnx的值分别是2.3026,2.3979,2.4849,2.5649,2.6391用Lagrange线性插值求ln11.5的近似值。解：取两个节点a=11,x1=12,插值基函数为l0(x)=-(x-12)l1(x)=x-11%一xx1-xg由式中1(x)=yO2二瓦+y12二显得L1(x)-2.3979(x-12)2.4849(x-11)将x=11.5代入，即得ln11.5L(11.5)=2.39790.52.48490.5=2.4414f(n1)()按式R(x)=m(x)(a，b得(n1)!“(Inx)R1(x)(x-11)(x-12)2!因为(Inx)&qu

12、ot;=二,亡在11和12之间，故x"1.1|(lnx)|=-2=0.008264511于是_.1_|R,(11.5)|0.00826450.50.5=1.033061010x1-x2-2x3=725.用Jacobi迭代法(k=1)求解线性方程组，x1+10x2-2x3=83.-Xi-x2.5x3=42解：由Jacobi迭代法得计算公式x(k41)=-£ajxy+a得aiij1aiijdx产=0.1x2k)+0.2x3k)+7.2x2k1)=0.1x(k)0.2x3k)8.3x3k%=0.2x(k)+0.2x2k)+8.4取x(0)=(0,0,0)T,代入上式得x(1)=7

13、.2x21)=8.3x31)=8.4x144=0.18.30.28.47.2=9.71x22)-0.17.20.28.48.3=10.70x32)=0.27.20.28.38.4=11.506.设有方程组Ax=b,其中A=1121212112112121,讨论用Jacobi迭代法求解的收敛性。故A为对称正定矩阵，A不是弱对角Jacobi迭代法的迭代矩阵为解：因为A为对称矩阵，且其各阶主子式皆大于零,占优阵，故不能判别Jacobi迭代的收敛性。易算出一0-1241-DA=-02_1_1:.22其特征方程121、33、=h+九12=(，)(，1)=02有根兀=石=1，%=-1,因而P(B)=1。由

14、向量序列x(k)收敛的充要条件是P(B)<1,故2Jacobi迭代法不收敛。7.用反幕法(k=1)求矩阵x(0)=(0,0,0)T200一-A0,-1接近2.93的特征值，并求相应的特征向量，取2解：对A-2.93I作三角分解得A-2.93I=J-0.930-1-0.93-10-1-0.93ir00.93-0.930.9310-0.93+0.93一8.已知函数y=lnxx的值是10,11,12,13,14对应的y=1nx的值分别是2.3026,2.3979,2.4849,2.5649,2.6391用Lagrange抛物线插值求ln11.5的近似值。解：取=11,x1=12,x2=13,插

15、值多项式为(x-12)(x-13)(x-11)(x-13)(x-11)(x-12)L2(x)=2.39792.48492.5649(11-12)(11-13)(12-11)(12-13)(13-11)(13-12)=1.19895(x-12)(x-13)-2.4849(x-11)(x-13)1.28245(x-11)(x-12)所以ln11.5：L2(11.5)=1.19895(-0.5)(-1.5)-2.48490.5(-1.5)1.282450.5(-0.5)=2.442275因为(lnx)"'=今，于是x"'.2一_21max3|(lnx)偿彳=0.1

16、50310因此用抛物线插值法计算的误差为|(lnx)|1R2(11.5)111(11.5一11)(11.5一12)(11.5一13)11-，八八，一2-，八八八八八，八50.1503100.50.51.5=9.393810一6查表可得ln11.5=2.442347三、证明题1.若x的近似值x=Ww1a2烝父10mg#0)有n位有效数字，则，X10中为其相对误差2a1限。反之，若X*的相对误差限与满足/<1乂10则X"至少具有n位有效数字2(诩1)证明：由式|x-x*|Jx10m得2*1m_n|e(x)|=|x-x|<-10从而有1 m,n10|e(x*)|斗|一1101x

17、0.a1a2an102al所以工乂10*是x*的相对误差限2 al*、若辞w父103*,由式|e.(x*)目丝口怪与得2(a11)x*m|e(x)|=|xe(x)|三。aa2an10；r4al1)10m,-110“1=-10mjl2(a11)2由式|x-x|£3父10,x至少有n包有效数子。2.设%,“，,xn为n+1个互异节点，L(x),(i=0,1，,n)为这组点上的Lagrange插值基函数,n试证明Zli(x)三1。i=e证明：上式的左端为插值基函数的线性组合，具组合系数均为1。显然，函数f(x)三1在这nn+1个节点处取值均为1,即V=f(x)=1(i=01'，n,

18、由式Ln(x)=£yJi(x)知，它的niH次Lagrange插值多项式为nLn(x)=li(x)i=0对任意x,插值余项为Rn(X)=f(X)-Ln(X)=f(n1)()(n1)!,"n：1(x)=0n所以Ln(X)=vliX3fX(=)1i03设A为任意n阶方阵，为任意由向量范数诱导出的矩阵范数，则P(A)<|A证明：对A的任一特征信%及相应的特征向量Ui,都有I'ill|Ui|H|iUi|H|AUi|,|A|Ui|因为Q为非零向量，于是有|4|A|由九i的任意性即得P(A)M|A114.设A为n阶方阵，则limAk_t;k=0的充分必要条件为P(A)<1o证明：必要性。若limAk=0kF由相关定义得0<：(AK>；AK)-泌于是由极限存在准则,lim：A(k>kf)所以P(A)<1o充分性。若P(A)<1,取工1一；(A)>0,由|A|MP(A)+a,存在一种矩阵范数H,使得|A|；(A)+；：J：(A)：二12而|Ak|A|k,于是IJmAk=LUlAmk中所以