对数平均数不等式链的几何证明及变式探究

1、a+b2b-aInb-Ina211+-aba，其中aInab被称为“对数Inb平均数”.安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解1对数平均数不等式链的几何证明1如图，先画反比例函数fX-x0的图象，再画其他的辅助线，其中APBCTUKV，xAA_AMNCDx轴，Aa,0,Pa,-,Bb,0,Qb,-,Tab,=abJab设函数fx在点ab2K,处的切线分别与直线AP,BQ交于点E,F，则根据左图可知:2ab因为S曲边梯形ABQPS梯形ABFES矩形ABNM，b12所以Q;dX=I

2、nb-Ina荷(b-a).ab1因为目边梯形AUTP=Q_dx=Inab-Ina=x1(lnb-Ina)=1St22曲边梯形ABQP，S梯形AUTP=x_b-aa)=2?TZ2S弟形ABCD，对数平均数不等式链的几何证明及变式探究中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是:b-a而根据右图可知：j形AUTPS梯形s，所以Inb-Ina忌.另外,根据S矩形abqx窃边梯形ABQPS梯形ABQPS矩形ABYP，可得:b(b-a)Inb-na翳a)1(b-aa).综上,结合重要不等式可知:1(b-a)b)Inb-a+bInab-.ab1.1b壬b-a)b-a，记为式

3、；将2Inb-lnab-aInb-Inab-a,ab，记为式；将bInb-In2T+a1，记为式变式探究1：取ax1,bx2，则由知:X12X2X1Inx2Inx-i于是，可编制如下试题：已知x2x10,求证:Inx2InX2(X2xjX1x2变式探究为山X2，则由知:X2X1Inx2Inx1,x1x2.于是，可编制如下试题：已知X2X1求证:Inx1JX1X2变式探究X1,bX2，则由知:X2X2X1Inx2Inx12丁.于是，可编制如下试题：已X1X2知x2x10,求证:1xX2Inx2Inx-iX22X12x-iX2变式探究4：取a为1,bX21，则由知：（11)(X21)(X21)-一

4、.于是，可2In(X21)In(x11)编制如下试题:对任意X1,X2(1,），且X1X2，求证X2X1X1X21In(X21)In(x11)2变式探究5：取aX1,bX21，则由知:编制如下试题：对任意X1,X2(1,)，且X1X2(X21)(X11)7/w4/w4卩是可r(X11)(x21).是，可In(x21)In区1)X2X1，求证：X1X2X1x21In(x21)In(论1)变式探究6:取aXi1,bX21,则由知：x2区1)(为1)In(x21)In(为1)1X-I1x21是，可编制如下试题：对任意Xi,X2(1,），且X!X2，求证:X21X2X1In(X21)2(Xi1)(X2

5、1)变式探究7：取a编制如下试题:对任意变式探究8：取a编制如下试题:对任意变式探究9：取a可编制如下试题：对任意X21丄In(x21)ln(X1)x1X22X11,bX1,X2(1,X11,bX1,X2(1,X11,bX1,X2(X11)X21，则由知:(X11)(X21)(X21)(X11)曰是，ln(x21)1门(为1)变式探究10：取ax-i,x2R，且x2X1，变式探究11:x-i,x2R，且x2X1，变式探究12:），且X1X2，求证:x21，则由知:X2(1,X2X1In(x21)巾(为_为X211)2.(X21)X1)In(x21)Ing1)），且x1x2，求证:1，则由知：x

6、2），且X1X2，2(X11)(X21)In(x-1)x1x22x1,e,b求证:eX1,b求证:eb求证:x2x(In(x21)In(为1)区1)区1)In(x21)In(论1)1)(x21).于是,X21.X-I1x2曰是，e-，则由知：eX2eX22X2X1e2e1.于是，可编制如下试题:X2X1对任意x2X-i2eX2X2eX2，则由知:x12exX2，则由知:eX1eX2.于是，可编制如下试题:对任意X2X1exeX2eX2eX1x2x-i-.于是，可编制如下试题：对11X1-X2、X1X2:任意x-i,x2R，且x2捲，求证：eXeeX2X1x22eXlX22e1e51X2彳XT亏1.ee1x2x(总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景,正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学