Ch1n阶行列式ppt课件

1、1哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室2序文序文34提供了直观想象的空间) .解析几何 ( 直观)567哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲王宝玲89设二元线性方程组为设二元线性方程组为11 1122121 12222a xa xba xa xb112212210a aa a其中其中 行列式是一种算式行列式是一种算式, ,是根据线性方程是根据线性方程组求解的需求引进的组求解的需求引进的. .也是一个根本的数也是一个根本的数学工具学工具, ,有很多工程技术和科学研讨问题有很多工程技术和科学研讨问题的处理都离不开行列式的处理都离不开行列式. .10对

2、方程组用加减消元法求出解对方程组用加减消元法求出解: :122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 此解不易记忆，因此有必要引进新的此解不易记忆，因此有必要引进新的符号符号“行列式行列式来表示解来表示解假设定义二阶行列式如下假设定义二阶行列式如下( (对角线法那么：对角线法那么：11122122aaDaa11221221a aa a0111212,DDxxDD112112212 2222baDbaa bba111211 2121212abDa bbaab12121235122xxxx351 2D 11 582 2D 2317

3、1 2D 那么方程组的解为那么方程组的解为1122811711DxDDxD3 25 ( 1)110 13111213212223313233aaaDaaaaaa11 1122133121 1222233231 13223333a xa xa xba xa xaxba xa xa xb112233122331132132a a aa a aa a a132231122133112332a a aa a aa a a14312123,DDDxxxDDD1121312222333233,baaDbaabaa3 0 41 1 22 1 04 1 14 1 23 2 1 10 1111322122331

4、333,ab aDab aab a1112132122231323aabDaabaab1512nj jj!nn161 2nj jj12().nj jj 12()nj jj 12()nj jj 17(12)n ( (1)21)n n (1)(2)1nn1(1)2n n(23541) 4 15 018()()1tjitij 11ssikk jjkk i19奇陈列奇陈列s个个偶陈列偶陈列t个个ts ts !nn!2nst !stn 201 2 31231 2 3111213()212223123313233( 1)j j jjjjj j jaaaaaaa aaaaa 21111212122212nn

5、nnnnaaaaaaaaa1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jjaaa 记一阶行列式记一阶行列式1111,aa()ija或或,det().ijijnDaa22. n阶行列式定义阶行列式定义:222n231122nnaaa1niiia11121222nnnnaaaaaa11212212nnnnaaaaaa1122nna aa2411(12)2122112212( 1)nnnnnnnaaaa aaaaa 12121122njjn jnna aaa aa12(1,2,)njjjn1122nna aa25121nnaaaa121*nnaaaa121*nnaaaa(1)2121(

6、 1)n nnna aaa2612na aa当当 n=4,5 时时:41234512345,Da a a aDa a a a a当当 n=6,7 时时:616717,DaaDaa 1 12 21212n nni ki ki kjjnjaaaa aa1 21 21 2()()()( 1)( 1)nnni iik kkj jj 271 2121 2()12( 1)nnni iiiii ni iia aa 111212122212nnnnnnaaaaaaaaa28112111222212nnnnnnaaaaaaDaaaTDDTijnDa，称，称abDadbccdacDb dT29( (换法换法) )

7、换行换行( (列列) )换号换号, ,即即11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa11121121212njjjniiinnnnnaaaaaaaaaaaa30111211212120niiiniiinnnnnaaaaaaaaaaaa两行两行( (列列) )同值为零同值为零, ,即即31niiinnnnnaaakakakaaaa111211212niiinnnnnaaak aaaaaa111211212kD321545231 115 321 ()4512135 333411121112212niiiiininnnnnaaaabababaaa111211212nii

8、innnnnaaaaaaaaa111211212niiinnnnnaaabbbaaa3541412001002141202992006194 41411002121412002100136( (消法消法) )将行列式的某一行将行列式的某一行( (列列) )的各的各元素乘以常数加到另一行元素乘以常数加到另一行( (列列) )的对的对应元素上去应元素上去, ,那么行列式的值不变那么行列式的值不变, ,即即nijijinjnjjjnnnnnaaaakaakaakaaaaaaa111211122121211121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa37性质性质1性质性质2推论

9、推论性质性质3推论推论 性质性质4 性质性质5换行换行(列列)变号变号.两行两行(列列)同，值为零同，值为零.某行某行(列列)乘数乘数 k=kD.两行两行(列列)成比例成比例,值为零值为零.D可按某行可按某行(列列)分拆成两行列式之和分拆成两行列式之和.D某行某行(列列)乘数乘数 k 加至另行加至另行(列列),行列式值不变行列式值不变. (转置转置) (换法换法) (倍法倍法) (消法消法).DDT3812342347125813510D1234012100240126131412( 2)rrrrDrr 3912340121002400051024rr4021211102001xxxDxxx

10、(1)(4321) a14a23a32a41=2x441知知计算计算,111222333abcabcaabc111222333acbacbbacb112233123112233222333aaaaaaDbbbcbcbcb42112233123123222aaaaaabbbcccD 112233123123222aa aa aabbbccc112233123123222333aa aa aabbbbbb432ab123123123aaabbbccc123123123222aaabbbccc111222333abcabcabc1112223332acbacbacb44 学习大学数学，要了解大学数学

11、与中学习大学数学，要了解大学数学与中学数学的差别：学数学的差别： 中学的数学是静态的，并且只学计算中学的数学是静态的，并且只学计算的方法，内容少而简单；的方法，内容少而简单； 大学的数学是变量数学，以分析为主大学的数学是变量数学，以分析为主要特征，内容多而了解起来难，教师讲课要特征，内容多而了解起来难，教师讲课进度快。所以，大家应该全方位地学习，进度快。所以，大家应该全方位地学习，要有快速接受知识的才干。尽快从中学过要有快速接受知识的才干。尽快从中学过渡到大学，顺应大学的学习渡到大学，顺应大学的学习 对于培育科学素质和创新才干，大学对于培育科学素质和创新才干，大学数学是最有用且最值得他努力的课

12、程。数学是最有用且最值得他努力的课程。45,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa)(3223332211aaaaa )(3321312312aaaaa )(3122322113aaaaa 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 引入引入 下面讨论将下面讨论将n n阶行列式转化为阶行列式转化为n-1n-1阶行阶行列式计算的问题列式计算的问题, , 即即46ija( 1)ijijij AMijnDaijMijaija(

13、1)ijijij AM47ijM111111jniijinnnjnnaaaaaaaaa48123423471258135 10D11M在行列式在行列式中中347258113510，1 11111( 1)11 AM21M234258123510，2 12121( 1)12 AM49ijaijijDa A行行( (列列) )的一切元素与其对应的代数的一切元素与其对应的代数余子式的乘积之和余子式的乘积之和, , 即即1122(1,2, )iiiiininDa Aa Aa Ain1122(1,2, )jjjjnjnjDa Aa Aa AjnijnDan阶行列式阶行列式 等于它的恣意一等于它的恣意一50

14、1112112120000000niiinnnnnaaaDaaaaaa 1122(1,2, )iiiiinina Aa Aa Ain511122,0,ijijninjDija Aa Aa Aij1122ijijinjna Aa Aa An阶行列式阶行列式 ,那么那么ijnDa0D ijij5211121121212niiiniiinnnnnaaaaaaGaaaaaa及降阶法将及降阶法将 G G 按按 j j 行展开有行展开有G 001122ijijinjna Aa Aa A531.定义法定义法利用利用n阶行列式的定义计算阶行列式的定义计算;2.三角形法三角形法利用性质化为三角形行列式来利用性质

15、化为三角形行列式来 计算；计算；3.降阶法降阶法利用行列式的按行利用行列式的按行(列列)展开展开 性质对行列式进展降阶计算；性质对行列式进展降阶计算；4. 加边法加边法(升阶法升阶法);5. 递推公式法；递推公式法；6.归纳法归纳法.54nx a aaax aaDa axaa a ax551(2,3, , )(1)(1)(1)(1)icc innxnaaaaxnaxaaDxnaaxaxnaaax11(1) 11aaaxaaxnaaxaaax561( :2,3, , )1000(1) 000000jrr jnaaax axnax ax a 1(1) ()nxna xa57112211nnnnna

16、babDabba 1121 21( 1)nnnnnDa aab bbb 1121 21( 1)nnnna aabbbb 58012idin， ， ，0121122nnnaaaabdDbdbd590121122nnnaaaabdDbdbd601012112000bjjdjnkkncckkna baaaaddDdd0121()nkknkka bad ddd12,nd dd当当 全不为零时全不为零时611111nD 证明证明n n阶阶( (三对角三对角) )行列式行列式nn1162n=2 时，时，21D结论成立结论成立. .()233n=1 时，时，D221结论成立结论成立. .1。63那么对于那么

17、对于n n阶行列式阶行列式 按第一行展开按第一行展开有有nD设设n-1, n-2n-1, n-2时结论成立时结论成立, ,12()nnnDDD11nnnn 11nna2。641232222123111111231111()nnnijj i nnnnnnxxxxVxxxxxxxxxx (2)n 65n=2 时，时，Vxx21211结论成立结论成立. .假设对假设对n-1n-1阶行列式结论成立阶行列式结论成立, ,下证下证n n阶成立阶成立xx21()ijj ixx 126621311()()()nnVxxxxxx2322223111nnnnnxxxxxx213112()()()()nijj i

18、nxxxxxxxx 1()ijj i nxx 213111()()()nnxxxxxx V67213111()()()nnnVxxxxxx V1324222()()()nnnVxxxxxx V 21nnVxx32122()()nnnnVxxxxV6811 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 的系数行列式不等于零，的系数行列式不等于零，(1)69即即1212,nnDDDxxxDDD1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa那么方程组那么方程组(1)(1)只需独一解只需独一解, ,且其解为且其解为

19、 701111111121212212111jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaaDaabaaDjD 其中其中 是把的是把的 的第的第j j 列各元素依列各元素依次换成方程组次换成方程组(1)(1)右端的常数项所得到右端的常数项所得到的的n n阶行列式阶行列式, ,即即7111 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x 假设假设n n元齐次线性方程组的系数元齐次线性方程组的系数行列式不等于零，即行列式不等于零，即 1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa120.nxxx72111212122

20、2120nnnnnnaaaaaaDaaa11 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x 假设假设n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组有非零解有非零解, ,那么系数行列式等于零那么系数行列式等于零, ,即即73123123123120353xxxxxxxxx1 111 21203 51D 7411 110 2123 51D 21 111 0123 31D 31 1 11 2 023 5 3D 3121231,1,1DDDxxxDDD 75典型例题典型例题762nn00077不计算行列式值，利用性质证明不计算行列式值，利用

21、性质证明2( )213331xxf xxx2213(1)(2)(3)331xxxxxxx78332( 3)2230332f由于由于( )f x是是 的三次多项式的三次多项式, ,且且x112(1)2230,332f2 2 2(2)2 3 303 3 3f79因此有因此有2213(1)(2)(3)331xxxxxxx注注 的系数为的系数为1.x3801111111111111111aaDbb811234001 11100111 1aarraDrrbbb1100111100111111aabb214111000110011001 1rraabrrb224311000110011000arraba bb82计算行列式计算行列式: :1234123412341234xaaaaxaaaaxaaaaxD()iixa831234123412341234123410000aaaaxaaaDaxaaaaxaaaax此行列