大学数学(高数微积分)有理分式积分(课堂讲义)

1、4.有理函数的积分有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是真分式；,)2(mn 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例1123 xxx.112 xx2221.(40)(1)(2)(3)(4)()()nnpqAAMxNMxNxaxaxpxqxpxq最简分式的积分难点 将有理函数化为

2、部分分式之和.根据代数学的知识，任何有理真分式都可以分解成上述四类最简分式的和。（1）分母中若有因式 ，则分解后为kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：其其中中kAAA,21都都是是常常数数.特殊地：, 1 k分解后为;axA （2）分母中若有因式 ，其中kqpxx)(2 则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM ,都都是是常常数数), 2 , 1(ki .特殊地：, 1 k分解后为;2qpxxNMx 真分式化为部分分式之和的待定系数法6532 xxx)3)(2(3 x

3、xx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例12)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数CBA,取, 0 x1 A取, 1 x1 B取, 2 xBA,并将 值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例2例3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA

4、)1)(21(12xx 整理得例4 求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解例5 求积分 解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 例6 求积分解.11632dxeeexxx 令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 213313

5、6Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(32422255d54xxxxxx练习：求不定积分说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：)1(多项式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.结论 有理函数的原函数都是初等函数.三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxx

6、x 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函数有理式的积分2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式）例7 求积分.cossin1sin dxxxx解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222

7、duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 例8 求积分.sin14 dxx解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 解（二）修改万能置换公式,xutan 令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotco

8、t313Cxx 解（三） 可以不用万能置换公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd .cot31cot3Cxx 结论 比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.例9 求积分.sin3sinsin1 dxxxx解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141 dxxxxx222cossincossin41

9、dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x .tan41Cx 讨论类型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法作代换去掉根号.例10 求积分 dxxxx11解 令txx 1,12txx 三、简单无理函数的积分,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 例11 求积分.1113 dxxx解 令16 xt,65d

10、xdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.31d(1)xxx练习：求11d1xxxx练习：求例12 求积分.1213 dxxxx解先对分母进行有理化原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx 简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万

11、能）四、小结思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.一一、 填填空空题题：1 1、 dxxxCBxxAdxx111323，其其 A_ _ _ _ _, , B_ _ _ _ _ _ _ _ _ , , C_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 dxxCxBxAdxxxx111111222, , 其其中中 A_ _ _ _ _ _, , B_ _ _ _ _ _, , C_ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 计算、 计算 ,sin2xdx可用万能代换可用万能代换 xsin_ _, , dx_ _；4 4、计算、计算 ,mbaxdx令

12、令 t_, , x_,_, dx_ . .练习题5 5、有理函数的原函数都是、有理函数的原函数都是_ . .二、求下列不定积分：二、求下列不定积分： 1 1、 321xxxxdx； 2 2、 xxxdx221； 3 3、 dxx411； 4 4、 xdx2sin3； 5 5、 5cossin2xxdx； 6 6、 dxxx1111 ； 7 7、 xdxxx11； 8 8、 342)1()1(xxdx . .三、求下列不定积分三、求下列不定积分（用以前学过的方法） ：（用以前学过的方法） ： 1 1、 dxxx31； 2 2、 dxxxxsincos1； 3 3、 241xxdx； 4 4、 d

13、xxx32cossin； 5 5、 dxxx283)1(； 6 6、dxxx sin1sin； 7 7、 dxxxxx)(33； 8 8、 dxexexx2)1(； 9 9、 dxxx22)1ln(； 10 10、 xdxx arcsin12； 11 11、dxxxxx cossincossin； 1212、 )(xbaxdx. .二二、1 1、Cxxx 34)3)(1()2(ln21； 2 2、Cxxxx arctan21)1()1(ln41224； 3 3、)12arctan(421212ln8222 xxxxx C )12arctan(42；一一、1 1、2,1,1 ； 2 2、- -1

14、 1, ,21,21；3 3、2212,12uduuu ； 4 4、bax , ,abt 2, ,dtat 2； 5 5、初初等等函函数数 . .练习题答案 4 4、Cx 3tan2arctan321； 5 5、Cx 512tan3arctan51； 6 6、Cxxx )11ln(414； 7 7、xxxx 1111lnCxx 11arctan2, ,或或 Cxxx arcsin11ln2； 8 8、Cxx 31123. .三三、1 1、 Cxx 11)1(212； 2 2、Cxx )sinln(； 3 3、Cxxxx 233213)1(； 4 4、Cxxxx )tanln(sec21cos2sin2； 5 5、Cxxx