信号与系统知识要点

1、信号与系统知识要点第一章信号与系统1、周期信号的判断(1)连续信号思路：两个周期信号x(t)和y(t)的周期分别为T1和T2,如果为有理T2N2数(不可约)，则所其和信号x(t)+y(t)为周期信号，且周期为Ti和T2的最小公倍数，即T=N2Tl=N1T2。(2)离散信号思路：离散余弦信号Goso0n(或sinccn)不一定是周期的，当空为整数时，周期N=;.0.'02-=M为有理数(不可约)时，周期N=N1;0N2_2_J为无理数时，为非周期序列10注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。2、能量信号与功率信号的判断(1)定义连续信号离散信号def3信号能量：E=.二f(t)2dtE

2、='|f(k)|2-k="；信号功率:def1P=lim2rT:T-2f(t)2dt1N/2lim;N-Nk-N/2If(k)|2(2)判断方法能量信号：E<«,P=0功率信号：P<°°,E=°0(3)一般规律一般阖期信号为功率信号时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号.)为能量信号;还有一些非周期信号，也是非能量信号。K2O2tO二，:0t0正弦信号:f(t)=Ksin(，t-)抽样信号:4tftf(t)=Keat,awR例如：e(t)是功率信号；t£(t)为非功率非能量信小；<0：-03、典型信号c

3、，、sintSa(t)=t3)信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。5、阶跃函数和冲激函数(1)单位阶跃信号(0t<0u=1t>0t=0是u(t)的跳变点。4、信1)2)号的基本运算两信号的相加和相乘信号的时间变化a)反转：f(t)>f(-t)b)平移：f(t)>f(t-t0)c)尺度变换：f(tjf(at)(2)单位冲激信号定义：.二dt=1f-、(t)=0t=03支欧拉公式:e咐=cos：t+jsin。t-ite=cost-jsint!cosM=1(ej"+ej

4、t)2.t.tsint=(ejOt-ejOt)2j:f(t)、.(t)dt=f(0)1)取样性joO：(t-ti)f(t)dt=f(ti)-QCif(t)、.(t)=f(0)、.(t)f(t)；.(t-to)=f(t0)、.(t-t。)2)偶函数、.(t)=、.(t)13)尺度变换c.(at)=、：ta4)微积分Tt质5(t)=du(t)5(T)di=u(t)dt-二(3)冲激偶.(t)性质：f(t)"(t)=f(0)*(t)(0)6(t)tf(t)、.(t)dt-(0)、.dt=、.(t)JmuOQ、.(_t)="(t)(t)dt=0(4)斜升函数r(t)=tw(t)=f

5、s(i)dt(5)门函数G(t)=；(t)-；(t-)226、系统的特性(重点：线性和时不变性的判断)(1)线性1)定义：若同时满足叠加性与均匀性，则称满足线性性质。当激励为Gf1(t)+C2f2(t)时，系统的响应为gyO+C2y2(t)2)线性系统分解特性：y=丫Z,yzs零输入线性零状态线性(2)时不变性：当激励为f(t-10)时，响应为y(t-t0)(3)因果性(4)稳定性(5)微、积分特性。第二章连续系统的时域分析1、时域分析法全响应y(t)=自由响应yh(t)+强迫响应yp(t)；(一般都可以通过复频域分全响应y(t)=零输入响应yzi(t)+零状态响应yzs(t)；析法求)零状态

6、响应yzs(t)=f(t)"h(t)2、冲激响应与阶跃响应(1)定义：冲激响应：由单位冲激函数6(t)所引起的零状态响应，记为h(t)0阶跃响应：由单位阶跃函数e(t)所引起的零状态响应，记为g(t)。(2)关系：ht='：；，gt=hjd.3、卷积积分(1)定义fit*f2t)=J-fi-f2t-d.(两个因果信号的卷积，其积分限是从0至M)(2)计算：一般计算用拉普拉斯变换；如果要计算某一个值，比如设f(t)=fi(t)*f2(t),计算f(3),用图示法。图示法可分解为四步：1)换兀：t换为T一得fl(T),f2(T)2)反转平移：由f2(IT)反转ff2(-T)右移t

7、一f2(t-)3)乘积：fl(T)f2(t-)4)积分：P从-00到oo对乘积项积分。(3)性质：a)代数律(交换律；结合律、分配律)b)ft*、.t=ftft*t-to=ft-tof(t-tl)*(t-t2)=f(t-tl-t2)V)*«t)=t；(t)tf(t)*;(t)=jf(.)d.一工，c)卷积的微分与积分:设f(t户f1(tff2(t),则Mkt尸f1(j)(t)*f尸)(t)d)卷积结果函数定义域的确定设fi(t)的定义域为：tTitz】，f2(t)的定义域为：tk3t4，那么f(t)=fi(t(f2(t)的定义域为:1+t3t2+t4第三章离散系统的时域分析i、时域分

8、析法全响应y(k)=自由响应yh(k)+强迫响应yp(k)全响应y(k)=零输入响应yzi(k)+零状态响应yzs(k)(一般都可以通过Z域分析法求)零状态响应yzs(k)=f(k)*h(k)2、序歹U6(k)和£(k)(1)单位(样值)序列6(k)定义：取样性质:def1(k)=，0,k=0k=0f(k)，(k)=f(0)、.(k)f(k)、(k-ko)=f(ko)、(k-k0)'、f(k)、(k)=f(0)kZ:二(2)单位阶跃序列e(k)def1,k_0(k)='0,k：0(3)&(口与6(公的关系、(k)=：,；(k)-；(k-1)；(k)八、.(i)

9、八、(k-j)3、单位序列响应门防跃响应(1)定义冲激响应：由单位冲激函数6(k)所引起的零状态响应，记为h(k)阶跃响应：由单位阶跃函数e(k)所引起的零状态响应，记为g(k)(2)关系kEg(k)-h(i)-h(k-j)i-：j=0h(k)=g(k)-g(k-1)(3)两个常用的求和公式k1k2”a=1a=1k2aa“aj=1-a"1k2-k11I(kz+K-K+D(k2*1)-23、卷积和oO(D定义G(k)*f2(k)='、f1(i)f2(k-i)i-：(2)计算：竖乘法、图解法和z变换法。有限长序列的卷积和用竖乘法；其他情况下一般用z变换法计算，但如果只计算某一个值

10、，比如设f(k产i(k)*f2(k),计算f(3),用图示法。图示法可分解为四步：1)换兀：k换为i一得3。)、f2(i)2)反转平移：由f2(i)反转一f2(-i)平移k-f2(k-i)3)乘积：fi(i)f2(k-i)4)求和：i从-00到oo对乘积项求和。(3)性质a)代数律(交换律；结合律、分配律)b)f(k)*s(k)=f(k),f(k)*s(kk0)=f(kk0)kf(k)*£(k)=Zf(i)i-.：fi(k-ki)*f2(k-k2)=fi(k-ki-k2)*f2(k)c)卷积和序列定义域的确定设工)的定义域为：nwhn2,f2(n)的定义域为：nwIn3n4,那么f(

11、n)=f(n)*f2(n)的定义域为：nIni+n3n2+n4d)卷积结果函数元素个数的确定若fi(k)的元素个数为：ki,f2(k)的元素个数为：k2,那么f(k)=fi(k*f2(k)的元素个数为：ki+k2-i第四章傅里叶变换和系统的频域分析i、周期信号的傅里叶级数任一满足狄里赫利条件的周期信号f(t)(Ti为其周期)可展开为傅里叶级数。(D三角函数形式的傅里叶级数二一2二f(t)=a0+£ancos(nMt)+bnsin(n01tH式中。1=,n为正整数。nWTi傅里叶系数：直流分量a0=t0T1f(t)dtTi%余弦分量的幅度an2t0TiT1%f(t)cos(n1t)dt

12、、，一、2卜Ti正弦分重的幅度bn=f(t)sin(nit)dtTi%qQ三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为f(t)=a°+£Acos(EM+Q)n1(2)指数形式的傅里叶级数f(t)=£Fnejn式中,n为从3到出c的整数。n二年傅里叶系数：Fntn-Ti=f(t)en%tto(3)对称性利用周期信号的对称性可以简化傅里叶级数中系数的计算。从而可知周期信号所包含的频率成分。有些周期信号的对称性是隐藏的，删除直流分量后就可以显示其对称性。实偶函数的傅里叶级数中不包含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。T4to-f(t)=f(-t),纵轴对称偶函数bn=0,an=

13、J2f(t)cosnCtdtT飞实奇数的傅里叶级数中不包含余弦项和直流项，只可能包含正弦项。4b；_f(t)-f(-t),原点对称(奇函数)an=0,bn=2f(t)sinnIdtTl实奇谐函数的傅里叶级数中只可能包含基波和奇次谐波的正弦、余弦项，而不包含偶次谐波项。f(t)=f(t+T),半周镜像(奇谐函数)无偶次谐波，只有奇次谐波分量“t)=f(t+；),半周重叠(偶谐函数)无奇次谐波，只有直流和偶次谐波2、周期信号的频谱(1)会画单边幅度谱、相位谱和双边幅度谱、相位谱(2)从对周期矩形脉冲信号的分析可知：1)信号的持续时间与频带宽度成反比；2)周期T越大，谱线越密，离散频谱将变成连续频谱

14、；3)周期信号频谱的三大特点：离散性、谐波性、收敛性。(3)周期信号的功率1Tcac81c00.2P=1后f2(t)dt=(才)2+£&=£|FnI-22nm2n=.：二3、傅里叶变换(1)定义正变换：F()=ff(t)=：'f(t)e-jtdt11!-t反变换：f(t)=fF()=F()ejd-说明：频谱密度函数F()一般是复函数，可以写作F0)=F(0)e”切。其中|F(6)是F(。)的模，它代表信号中个频谱分量的相对大小，是切的偶函数邛州)是F(。)的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系，是缶的奇函数。(2)常用变换对(a>0)二ti-

15、12sgntj1L2二二心)上1；t，一：c.一j®COS''0tr3心T%.,-.0sin,，0tj3f0.-'0TQO8'丁(t)="、.(t-nT)：八、”()=；八，,.('-nj)n二：n=二二4、傅里叶变换的性质1)线性af1(t)+bf2(t)eaF1(jo)+bF2(jo)2)奇偶虚实性若F(M=R9)+jX(E),则若f(t)是实偶函数，则F9)=R9),即F(0)为8的实偶函数；若f(t)是实奇函数，则F8)=jX(。)，即F(CO)为缶的虚奇函数3)对称性F(jt)H2nf(e)4)尺度变换f(at)-a二F(j

16、2)|aa5)时移特性f(tt0)-TF(js)e"*06)频移特性f(t)e侬tTFj(o-Co)7)时域卷积f(t)"f2(t)<-3F1(j6)F2(j6)1频域卷积力f2F1(j)F2(j)2 二n一8)时域微分(j。)F(j)dtnt，1时域积分f(.)d.，,F(j，)二F(0)、(，)-二j.其中F(0)=.；f(t)dt9)频域微分tnf(t/>jndFn(j.)频域积分1f(0),(t)T(t)，w其中f(0)=1二F(j)d2二5、帕斯瓦尔定理_.21-2E=If(t)dt=F(jco)dco2n/16、周期信号的傅里叶变换8Ff(t)-2F

17、n'M-n，)n二二;QO或Ff(t)-F0(jn，)、(,-n1.1)n二二7、频域分析(1)对于LTI系统，若输入为非周期信号，系统的零状态响可用傅里叶变换求得。其方法为：1)2)3)4)求激励f(t)的傅里叶变换F(jo)o求频域系统函数H(j)o求零状态响应yzs(t)的傅里叶变换YZs(j©),即YZs(jco)=H(jCO)F(j©)0求零状态响应的时域解，即yzs(t)=F-1YZs(j)(2)无失真传输在时域中，无失真传输的条件是在频域中，无失真传输系统的特性为(3)理想滤波器y(t)=Kf(t-to)H(j)-Ke-j10*|H(jw)|K理想滤波

18、器是指可使通带之内的输入信号的所有频率分量以相同的增施和延时完全通过，且完全阻止通带之外的输入信号的所有频率分量的滤波器。理想滤波器是非因果性的，物理上不可实现的。其频率响应为e"1/卜卜/.H(j)=八0,-心称为截止角频率4|H(jw)|1即缶在0M的低频段内，传输信号无失真8、时域取样定理(1)为恢复原信号，必须满足两个条件：1)f(t)必须是带限信号；2)取样频率不能太低，必须fs>2fm,CC?(w)或者说，取样间隔不能太大，必须Ts<1/(2fm);否则将发生混叠。(2)通常把最低允许的取样频率fs=2fm称为奈奎斯特(Nyquist)频率；把最大允许的取样间

19、隔Ts=1/(2fm淋为奈奎斯特间隔。第五章连续系统的s域分析1、拉氏变换(1)定义(单边)二stF(s)=0f(t)e£%t(2)收敛域使得拉氏变换存在的S平面上仃的取值范围称为拉氏变换的收敛域。1) f是有限长时，收敛域为整个S平面；2) f是右边信号时，收敛域为仃的右边区域；3) f是左边信号时，收敛域为仃心的左边区域；4) f是双边信号时，收敛域为S平面上一条带状区域。说明：我们讨论单边拉氏变换，只要。取得足够大总是满足绝对可积条件,因此一般不写收敛域。(3)常用变换对eatU(t)H，(a为任意常数)6(t)H1s-a质1_1名(t)1tt)修ss4s3一ncos00tw(

20、t)H-22sin8ntw(t)g-2s-0so1,7st1。e2、拉普拉斯变换的性质线性：a1fl(t)a2f2(t)ia1F1(s)a2F2(s)6、1s尺度变换：f(at)-F(-)aa时移：f(t-to)；(t-to”F(s)ei频移："DetF(s-so)公叶”在八.df(t)nn4n-2(nf,时域微分：sF(s)-sf(0)-sf(0)-HI-f()(0)dtt111时域积分：f(.)dF(s)f-(0_)-二ss卷积定理：fi(t)-f2(t).Fi(s)F2(s).1fi(t)f2(t)，Fi(s)F2(s)2二js域微、积分:t"-竽ds11fj；F(s

21、)ds初、终值定理初值定理：F(s)为二0<0,FKs)_sT1-e设函数f(t)不含6(t)及其各阶导数(即F(s)为真分式，若假分式化为真分式)f(0)=limf(t)=limsF(s)终值定理：若f(t)当t-8时存在，并且f(t)修F(s),Res>a0,则f(:：)=limsF(s)说明：(1)一般规律：有t相乘时，用频域微分性质；有实指数e"相乘时，用频移性质；分段直线组成的波形，用时域微分性质；周期信号，只要求出第一周期的拉氏变换E(s),F(s)=(2)由于拉氏变换均指单边拉氏变换，对于非因果信号，在求其拉氏变换时应当作因果信号处理。3、拉普拉斯逆变换(部

22、分分式展开法)(1)单实根(2)共腕单根F(s)IIIn-s-P1s-P2s-PnKi=(s-Pi)F(s)s印F(s)=K11+K12(系数求法同上)s+0C-jBs+jB若K11=A+jB=|Kn|ej6,则-f(t)=2|Kn|ecosetf；(t)或，f(t)=2e|Acos:t-BsintJ(3)重根(重点：二重)F(s)=/r+K12y+川十人鼻十J(s-P1)(s-P1)(s-P1)s-P1i±1d.jKlmR(s)i=1,2,3,111ks=Pi(i-1)!ds4、s域分析(1)微分方程的拉普拉斯变换分析当线性时不变系统用线性常系数微分方程描述时，可对方程两边取拉氏变

23、换，并代入初始条件，从而将时域方程转化为S域代数方程，求出响应(2)(3)(4)的象函数，再对其求逆变换得到系统的响应。系统的零状态响应Yzs(s)=H(s)F(s)其中，h=H(s),H(s)是冲激响应的象函数，称为系统函数。系统函数定义为：系统的S域框图动态电路的S域模型:Yzs(s)H(s)F(s)由时域电路模型能正确画出S域电路模型，是用拉普拉斯变换分析电路的基础。引入复频域阻抗后，电路定律的复频域形式与其相量形式相似。iL(t)u(t)L_O+U(s)-,sLiL(0-)oLisLrvu(t)CU(s)111911sC)suC(t)十Uc(s)sLUc(0)0或弟八早离散系统的Z域分

24、析I(s)RIIo1、z变换(1)定义QOF(z)-f(n)z”n二二二称为序列f(k)的双边Z变换Q0F(z)="f(n)zHn=0称为序列f(k)的单边z变换(2)收敛域序列的收敛域大致有一下几种情况：1)对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面；2)对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域；3)对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域;4)对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；(3)常用变换对ak8(k)HL,z>a(a为任意常数)z-aa(k*1,全z平面；kzz-1k名(k*土臣，z>1(z-n-a5(-k-1)Hz,z<a(a为任意常数)z-a2

25、、z变换的性质(1)线性:a1f1(k)a2f2(k)=aF4z)a2F2(z)(2)移序：双边f(kn)LznF(z)f(k-n)z”F(z)单边n-1f(kn)-znF(z)-zn:f(k)z"k=0f(kn)；(kn)Iz43F(z)(3)z域尺度变换：akf(k)修F(-)a(4)卷积定理：f1(k)f2(k)、F1(z)F2(z)(5)z域微分特性:knf(k>>(6) z域微分特性：上区zm：ydkmz(7) k域反转：(仅适用双边z变换)f(-k)1F(z)k(8)部分和：'、f(i)，F(z)i-.：z-1(9)初、终值定理：(适用于右边序列)f(0)=网：f(z)5 .逆Z变换(部分分式法)先把F展成部分分式，然后再乘以zz系数求法同拉普拉斯逆变换。6 .Z域分析1)差分方程的变换解2)系统函数H