微积分课件_9.2 二重积分计算

1、二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质复习复习 Dyxfd),(（一）概念（一）概念（二）性质（二）性质六条性质六条性质（三）几何意义（三）几何意义 Dyxfd),( V.),(lim10 niiiifxyo0)( xf badxxfxA)()(已知已知平行平行截面面积截面面积的几何体的几何体的体积的体积axx x+dxA(x)bV.d )(xxAba )(xAy9.2 二重积分的计算 二重积分的定义本身也给出了二重积分的二重积分的定义本身也给出了二重积分的计算方法。计算方法。由于计算和式的极限很繁琐。由于计算和式的极限很繁琐。化二重积分为两次定积分或累次积分化二重积分为两次定积分或累次积分

2、 Dyxfd),(.),(lim10 niiiif （一）二重积分在直角坐标下的计算（一）二重积分在直角坐标下的计算（二）二重积分在极坐标下的计算（二）二重积分在极坐标下的计算 badxxf)( niiixf10)(lim baxF)( ( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算因此因此, 在直角坐标系中在直角坐标系中, 人们通常采用人们通常采用平行于两个坐标轴的直线平行于两个坐标轴的直线, 将区域将区域D,21n Dyxfd),(从而有从而有,dddyx 则则面积微元面积微元可表示为可表示为小区域面积小区域面积.iiiyx xoyDyxddd x y .dd),

3、( Dyxyxf由二重积分的定义可知，由二重积分的定义可知，若函数若函数f (x,y)在在D上可积，上可积，分割成分割成n个小区域个小区域则二重积分的积分值与则二重积分的积分值与D的分法无的分法无关关，二重积分二重积分 在直角坐标系下的表达形式在直角坐标系下的表达形式. Dyxfd),( 二重积分二重积分在直角坐标系下的计算在直角坐标系下的计算且平行于且平行于y 轴的直线与区域的边界至多有两个交点轴的直线与区域的边界至多有两个交点., :bxaD 区域区域D习惯上称为习惯上称为X-型区域型区域. . 若若 在在区域区域D上连续上连续, ),(yxfz )0),( yxf以区域以区域D为底为底,

4、 以以 为顶为顶的曲顶柱体的体积的曲顶柱体的体积.),(yxfz yxab )(2xyy )(1xyy xyzD),(yxfz 区域区域 D可以用不等式表示为可以用不等式表示为 Dyxyxfdd),(的值为的值为意义知，意义知，由二重积分的几何由二重积分的几何箭线箭线入口曲线入口曲线出口曲线出口曲线 （1 1）如果积分区域如果积分区域D D是由两条平行直线是由两条平行直线x=a、x=b及及两条连续曲线两条连续曲线 所围成，所围成，)(),(21xyyxyy 此时，此时， 穿过区域穿过区域D)(1xyy )(2xyy )()(21xyyxy ab在此用定积分的在此用定积分的“切片法切片法”来求曲

5、顶柱体的体积来求曲顶柱体的体积. . 在区间在区间a,b上上任取任取一点一点x, .d)( baxxSV 将这曲将这曲边梯形投影到边梯形投影到 oyz 坐标面坐标面, yy1y2),(yxfz z.d),()()()(21 xyxyyyxfxS给立体体积给立体体积则所则所截面面积为截面面积为S(x),立体相截立体相截,该点作垂直于该点作垂直于x轴的平面与所给轴的平面与所给过过为为其截面面积其截面面积为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形, 以以z=f (x,y)它是它是所截截面为曲边梯形所截截面为曲边梯形.区间区间 上上 ,)(),(21xyxy)(xSxyzD),(yxfz )(1xyy )(2x

6、yy x)(xSab( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算 Dyxyxfdd),(故曲顶柱体的体积故曲顶柱体的体积, 上式将二重积分化成先对上式将二重积分化成先对y 积分积分, 后对后对x 积分的积分的 二次积分二次积分二重积分的计算公式也可记为二重积分的计算公式也可记为 Dyxyxfdd),( 需要指出需要指出, 计算计算 时时, )()(21d),(xyxyyyxf也就是二重积分为也就是二重积分为或称为或称为累次积分累次积分.按定积分的计算方法解之按定积分的计算方法解之.应应将将 x 视为常量视为常量, .d),(d)()(21 xyxybayyxfx（内

7、积分）（内积分）（外积分）（外积分）.dd),()()(21 baxyxyxyyxfX-型积分型积分 V( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算, :dycD (2) 设区域设区域D的边界曲线与平行于的边界曲线与平行于x 轴的直线至多有轴的直线至多有两个交点两个交点. Dyxyxfdd),(则二重积分可化为则二重积分可化为 上式将二重积分化成先对上式将二重积分化成先对x积分后再对积分后再对y 积分的二次积分的二次积分积分. xy )(2yx )(1yxdc区域区域D称习惯上称为称习惯上称为Y-型区域型区域. .区域区域D可以用不等式表示为可以用不等式表示为 dc

8、yxyxdyxyxfd ),()()(21.d),(d)()(21 yxyxdcxyxfyY-型积分型积分( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算)()(21yxxyx 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与轴的直线与区域边界相交区域边界相交不多于两个交点不多于两个交点. . 穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直线与轴的直线与区域边界相交区域边界相交不多于两个交点不多于两个交点. .(1)(1)如果如果D 既是既是X 型域又是型域又是Y 型域型域, ,则则 X型区域的特点：型区域的特点：Y型区域的特点：型区域的特点：注注: Dyxyxfdd),( )(

9、)(21d),(dxyxybayyxfx.d),(d)()(21 yxyxdcxyxfy上述积分区域也称为上述积分区域也称为正规域正规域。o oxya ab bc cd do oxya ab bc cd d( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算且区域且区域D为为矩形域，矩形域，( , )|,Dx yaxb cyd 则二重积分则二重积分 在矩形区域在矩形区域D上连续函数可表示为两个一元上连续函数可表示为两个一元函数的乘积，函数的乘积，则二重积分可表示为两个定积分的则二重积分可表示为两个定积分的乘积。乘积。即即),()(),(yfxfyxf2 21 1 若若特殊地

10、特殊地, Dyxyxfdd),( dcbayfxfx(y)d)(d2 21 1 badcdxyfxf)()(dy2 21 1)()(dyyfdxxfdcba 2 21 1o oxya ab bc cd d( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算例如例如,3D2D1D 则用平行于坐标轴的直线将则用平行于坐标轴的直线将D 分成分成若干子域若干子域, ,再利用积分的再利用积分的区域可加性区域可加性进行计算进行计算. . (2)若积分区域若积分区域 D 的边界曲线与平行于坐标轴的直的边界曲线与平行于坐标轴的直线的线的交点多于两个交点多于两个, 即即D 既不是既不是X 型

11、域又不是型域又不是Y 型域型域,也称为也称为非正规域非正规域。oxy1D2D3D4D5D 54321DDDDDD.321 DDDD( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算 既然计算二重积分归结为计算两次定积分。既然计算二重积分归结为计算两次定积分。可能遇到的困难是：可能遇到的困难是：（2 2）确定定积分的上、下限）确定定积分的上、下限（1 1）选择积分次序）选择积分次序这是把二重积分化为二次积分的这是把二重积分化为二次积分的关键关键。因此，计算二重积分本身因此，计算二重积分本身没有新困难没有新困难。 Dyxyxfdd),( )()(21d),(dxyxybayy

12、xfx )()(21d),(dyxyxdcxyxfy或或( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算 从左端点从左端点a值到右值到右端点端点b值值.累次积分中积分限的确定方法累次积分中积分限的确定方法yxab )(2xyy )(1xyy yx )(2yxx )(1yxx dc区域区域D为为X-型区域型区域区域区域D为为Y-型区域型区域 从穿入的边界方程从穿入的边界方程 作为下限作为下限 ，穿出的边，穿出的边界方程界方程 作为上限作为上限.)(1xy)(2xy外积分外积分:内积分内积分: 从穿入的边界方程从穿入的边界方程 作为下限，穿出的边界作为下限，穿出的边界方程方

13、程 作为上限作为上限. .)(1yx)(2yx内积分内积分:投影，投影，作射线作射线 从左端点从左端点c值到右值到右端点端点d值值.外积分外积分: (1)(1)画出积分区域画出积分区域D图形图形, ,求出区域边界曲线求出区域边界曲线的交点坐标的交点坐标; ;(3)利用积分法计算二次积分利用积分法计算二次积分.计算二重积分的步骤计算二重积分的步骤： （2 2）根据图形和被积函数）根据图形和被积函数f (x,y)的特点，选择的特点，选择积分次序和确定内外积分的上、下限，把二重积积分次序和确定内外积分的上、下限，把二重积分化为二次积分；分化为二次积分；分块越少越好分块越少越好第一次积分要易于计算第一

14、次积分要易于计算选择选择积分区域积分区域和和积分次序积分次序是计算的关键是计算的关键（定序定限）（定序定限）（画图）（画图）（计算）（计算） 例例1 1 计算计算 , ,其中其中 Dyxyxd)d(22. 1, 1),( yxyxD选择先对选择先对y再对再对x积分积分 111122)d(dyyxx Dyxyxd)d(22 111132d3xyyx-.38 xy1111解解 积分区域为矩形区域，积分区域为矩形区域， 112d312xx选择先对选择先对x再对再对y积分积分 Dyxyxd)d(22 1 11 11 11 12 2)dx(dy2yx 111123dy32-xyx 112dy312y.3

15、8 ( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算:型型 y:型型 x.2, 1,围围成成及及由由直直线线计计算算xyxyDxydD Solution.(1)画区域图画区域图xyx 1 , 21:型型 y(3)将二重积分表示成二次积分并计算将二重积分表示成二次积分并计算 Dxxydydxxyd121 21122dxyxx 212)1(2dxxx.89 221yCxydxdyxyd 21222dyxyy或者或者oxy1 y2 xxy 2112例例2 2(2)(2)选择先对选择先对y再对再对x积分积分, 2, 21 xyy.89 ( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计

16、算二重积分在直角坐标系下的计算:型型 xxyy=x22 练习练习 计算积分计算积分 其中其中D是由是由 y = x，y=0 和和 所围成的三角形区域所围成的三角形区域. DyxyxIddcossin2 x xyyxxI020dcossind 200dsinsinxyxx 22dcossind0yxyxyI 202dcosyy 202dcoscosyxyy解解.4 202dsinxx.4 ( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算:型型 x:型型 yxy1121xy 例例3 3 计算计算 , ,其中其中 . 0, 0, 1:22 yxyxD Dyxxydd210 x

17、y 10012d| )21(2xyxx Dyxxydd 10102ddxyxyxxxxd )1 (21102 解解01424221 xx.81 10:xD解解2( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算:型型 x:型型 y一.二重积分在直角坐标系下计算小结作业：P365 1（3）,2（1） )()(21d),(dxyxybayyxfx )()(21d),(dyxyxdcxyxfy Dyxyxfdd),(（二次积分）（二次积分）或或X型型Y型型二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质复习复习 Dyxfd),(（一）概念（一）概念（二）性质（二）性质六条性质六条性质（

18、三）几何意义（三）几何意义 Dyxfd),( V.),(lim10 niiiifhttp:/http:/( (或在学院主页快速通道中选择或在学院主页快速通道中选择“网络课程网络课程”）课程指导、教学课件、课后练习、评价测验课程指导、教学课件、课后练习、评价测验论坛、作业等互动板块论坛、作业等互动板块 二重积分的计算复习 )()(21d),(dxyxybayyxfx )()(21d),(dyxyxdcxyxfy Dyxyxfdd),(（一）在直角坐标系中（一）在直角坐标系中（二次积分）（二次积分）或或xyzD),( yxfz )(xSabyxab )(2xyy )(1xyy )(1xyy )(2

19、xyy xX型型Y型型 从左端点从左端点a值到右值到右端点端点b值值.累次积分中积分限的确定方法累次积分中积分限的确定方法yxab )(2xyy )(1xyy yx )(2yxx )(1yxx dc区域区域D为为X-型区域型区域区域区域D为为Y-型区域型区域 从穿入的边界方程从穿入的边界方程 作为下限作为下限 ，穿出的边，穿出的边界方程界方程 作为上限作为上限.)(1xy)(2xy外积分外积分:内积分内积分: 从穿入的边界方程从穿入的边界方程 作为下限，穿出的边界作为下限，穿出的边界方程方程 作为上限作为上限. .)(1yx)(2yx内积分内积分:投影，投影，作射线作射线 从左端点从左端点c值

20、到右值到右端点端点d值值.外积分外积分:.2, 1,围围成成及及由由直直线线计计算算xyxyDxydD Solution.(1)画区域图画区域图xyx 1 , 21:型型 y(3)将二重积分表示成二次积分并计算将二重积分表示成二次积分并计算 Dxxydydxxyd121 21122dxyxx 212)1(2dxxx.89 221yCxydxdyxyd 21222dyxyy或者或者oxy1 y2 xxy 2112例例2 2(2)(2)选择先对选择先对y再对再对x积分积分, 2, 21 xyy.89 ( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算:型型 xxyy=x22

21、练习练习 计算积分计算积分 其中其中D是由是由 y = x，y=0 和和 所围成的三角形区域所围成的三角形区域. DyxyxIddcossin2 x xyyxxI020dcossind 200dsinsinxyxx 22dcossind0yxyxyI 202dcosyy 202dcoscosyxyy解解.4 202dsinxx.4 ( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算:型型 x:型型 yxy1121xy 例例3 3 计算计算 , ,其中其中 . 0, 0, 1:22 yxyxD Dyxxydd210 xy 10012d| )21(2xyxx Dyxxydd

22、10102ddxyxyxxxxd )1 (21102 解解01424221 xx.81 10:xD解解2( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算:型型 x:型型 y Dyxxydd 10102ddyxxyy解解两两曲曲线线的的交交点点 ),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy2()d dDxyx y 2120d()dxxxxyy 122401()()d2xxxxxx .14033 2xy 2yx 2xy 2yx ( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算yOx2 xyxy 21直线直线x=1将将D分成分成 和和 两块两块,1

23、D2D:1D1D2D:2D Dyxxydd22 21dd2dd222DDyxxyyxxyyxyxyxyxxxxxd2dd2d1041222 解解其中其中这时就必须用这时就必须用 例例5 5 计算计算 其中积分区域其中积分区域D由抛物线由抛物线 及直线及直线 所围成所围成. . ,dd22 Dyxxyxy 22 xy( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算:型型 x,10 xyxx xyxx241yOx22 xyxy 21 例例5 5 计算计算 其中积分区域其中积分区域D由抛物线由抛物线 及直线及直线 所围成所围成. . ,dd22 Dyxxyxy 22 xy:D

24、 Dyxxydd22 21222d2dyyxxyyyxyyyd| )(222122 1273457345 yyyy解解2yyyyyd )44(216234 .35615 注注：恰当选择积分次序很重要恰当选择积分次序很重要:型型 y 2212yxyy( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算先对先对y 后对后对x积分，积分， 例例6 计算积分计算积分 ，其中，其中D是由不等是由不等式：式： 所确定的长方形区域所确定的长方形区域. Dyxxyxydd)cos(220 ,20 yx Dyxxyxydd)cos(2 20202d)sin(21xxy.0 0 注注：选择：选

25、择积分次序积分次序时要考虑时要考虑积分易求积分易求. 由被积函数可知由被积函数可知, 如先对如先对x 积分积分, 需用分部积分需用分部积分法法. 解解即即因此因此,选择选择计算会简单些计算会简单些.如先对如先对y 积分则不必，积分则不必， 20220d)cos(dyxyxyx分析分析 ： 20d4sin21xx( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算., 1, 0,. 322围围成成由由计计算算xyyxDdexIexDy :型型 x:型型 yyxy 0 , 10 10122xydyexdxI 10122xydyedxx积不出来，须换另一种积分次序积不出来，须换另

26、一种积分次序dxexdyIyy20210 dyxeyy031032 dyeyy 103231.3161e oxy1 yxy 11 解解( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算1, 10 yxx 例例7 计算二次积分计算二次积分 由不定积分可知由不定积分可知 不能用初等函数表示出不能用初等函数表示出来来. xxxdsin 100dsinxyxxx 10dsinxx.dsind110 yxxxyI, 1 xy, 10 yD:也即也即,0 xy , 10 xD:xyy=x由所给积分知由所给积分知分后对分后对x 积分积分.即选择先对即选择先对y 积积因此因此, 所给积分

27、须更改所给积分须更改积分次序积分次序.解解yxxxIx 010dsind. 1cos1 于是，于是，( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算 一般地，交换给定二次积分的积分次序的一般地，交换给定二次积分的积分次序的步骤：步骤：交换积分次序交换积分次序是二重积分计算中的常见题型。是二重积分计算中的常见题型。,),()()(21 xxbadyyxfdxyy),()(,21xyyxbxa y),()(,21yxxyxdyc .),(),()()()()(2121 yxyxdcxxbadxyxfdydyyxfdxyy（1 1） 对于给定的二重积分对于给定的二重积分 先根

28、据其积分限先根据其积分限（2 2）根据积分区域的形状，按）根据积分区域的形状，按新的次序确定新的次序确定（3 3） 写出结果写出结果画出积分区域画出积分区域D.积分区域积分区域D的积分限的积分限xy 1 1解解积分区域如图积分区域如图分析：分析：1.依据所给的累次积分写出依据所给的累次积分写出交换积分次序的步骤：交换积分次序的步骤：类型用新不等式表示，再化为新积分次序的二次积分类型用新不等式表示，再化为新积分次序的二次积分.作出区域图形。作出区域图形。变变X X型积分为型积分为Y Y型积分型积分于是，于是，交换积分次序交换积分次序是二重积分计算中常见的一类题型。是二重积分计算中常见的一类题型。

29、积分区域不等式，积分区域不等式，2.将积分区域按照将积分区域按照转化转化yx 1 1例例9 交换二次积分次序交换二次积分次序 .d),(dd),(d2021010 yyxyxfyxyxfyI 所给积分由两部分组成，设它们的积分区域所给积分由两部分组成，设它们的积分区域分别为分别为D1与与D2.:1D,2 xyx , 10 x也即也即 D:.d),(d210 xxyyxfxIxy 2xy xy1解解: 2D1D2D( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算,010 yxy,2021 yxyDxy 222xxy 解解积分区域如图，积分区域如图，1) 1(22 yx于是，于是，,22xxy 由由211yx ( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.( (一一) )二重积分在直角坐标系下的计算二重积分在直角坐标系下的计算