等差数列(第一课时)教学设计

1、 等差数列(第一课时)教学设计衡东县第一中学数学课题组 周利军执笔一、设计理念随着科学技术的不断发展，数学已经不仅仅是学习后继课程和解决科技问题的工具，而且是培养理性思维的重要载体，成为科技人员科技水平的重要组成部分。但数学要跟上时代发展的步伐，满足社会发展的需要，就应该从传统的教学模式转变为以问题为中心，以探索为主线，以培养学生思维能力和创新意识为核心的数学素质教育的实践模式。课堂上采用学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、合作者和服务者，以背景问题激发学生的学习兴趣及好奇心。以探索问题引导学生对数学问题进行自主观察、比较、分析、综合、抽象和概括。在这个过程中，学生在课

2、堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的数学理念。二、教材分析本节课主要研究等差数列的概念、通项公式及其应用，是本章的重点内容之一。而所处章节数列又是高中数学的重要内容，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。一方面,数列与前面学习的函数等知识有密切的联系;另一方面,学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备。同时也是培养学生数学能力的良好题材。学习数列要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。三、教学目标知识

3、目标：理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式。能力目标：1.培养学生观察能力 2.进一步提高学生推理、归纳能力德育渗透目标：1 体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神；2 渗透函数、方程、化归的数学思想；3 培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。四、教学重点1、 等差数列概念的理解与掌握；2、 等差数列通项公式的推导与应用。五、教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用六、教学方法启发式教学启发学生逐步发现和认识等差数列“等差”特点及探索出等差数列的通项公式。七、教学手段计算机多媒体教学平台计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，也为掌握理性知识创造了

4、条件，这样即可以使学生有兴趣地学习，同时学生的注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。八、教学程序（一） 背景问题创设情景教师：上节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映了数列的特点。下面请同学们观察两个表格的数据.（多媒体大屏幕显示） 表（一）（单位：万）990001020304人口总量66.9566.8066.6566.5066.3566.20耕地面积48.5048.8049.1049.4049.7050.00表（二）（单位

5、：元/平方米）2月4月6月8月10月12月房价460490520550580610工资120012001200120012001200（为了便于研究，上述表格中的数据已经经过近似处理）思考问题（一）：上述表格中的数据变化反映了什么样的信息？（数据来源于现实社会，让学生围绕思考问题一分小组讨论，目的是培养学生将实际问题数学化的能力及数学建模能力。）教师：从两方面考虑：（1）从宏观上（移居大城市，计划生育，围海造田）；（2）从微观上（数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从微观上分析，从表格中抽象出一般数列）。 表（三）66.9566.8066.6566.5066.3566.2048.5048.

6、8049.1049.4049.7050.00460490520550580610120012001200120012001200学生活动（1）：学生观察、分析上述表格中的每一行数据.教师：同学们能用数学文字语言来描述上述数列的共同特征吗？学生1：后一项与它的前一项的差等于常数。教师：反例：2，5，9，10，12，这样的数列特征和上述数列一样吗？学生：不一样，要加上同一常数。学生2：每一项与前一项的差等于同一常数。教师：反例：2，5，7，9，11，这样的数列特征和上述数列一样吗？学生：不一样，必须从第二项起。学生3：从第二项起，每一项与前一项的差等于同一常数。（教师板书等差数列的定义，通过上述反

7、例的说明，让学生深刻理解这四组数列的共同特征：（1）从第二项起；（2）同一常数。）教师：用数学符号语言表示上述定义。学生活动（2）：学生合作、讨论、交流、抽象、概括。数学语言：教师:这样的数列在你日常生活中存在吗?学生: 举例:21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25,d=0.5;40 ，50，60，70，80，90，100,d=10;40，40，40，40，40，40,d=0.教师:回到表格中抽象出的4个数列,分别说出它们的公差.探索问题（一）: 数列3n-5是等差数列吗？如果是，请给以证明；如果不是，请说明理由。（学生通过交流与合作并相互启发，从而

8、不断完善自己的认知结构）思考问题（二）:已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为d，(多媒体大屏幕显示,学生分组讨论) 将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ 取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ 取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？理解等差数列的概念是这节课的难点，为了突破难点，我精心设计了这样的几个问题，在教师努力创设学习情境，并提供有效的教育资源的同时，全部教学活动被发现问题，思考

9、问题，探究问题磁石般的吸引着课堂,并呈现出学生求知若渴、主动学习、争先思考、互相策应的激动人心的画面.探索问题（二）：若等差数列的首项是，公差是d，则可以求 ，即可求 的任意一项，这说明这个数列的任意一项都可用和d 表示，即这个数列应有一个通项公式。学生活动（3）：探索、猜想、证明。学生（一）:即：即：即：由此可得： （n2）当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式 （nN*）学生（二）:教师小结：大部分学生用不完全归纳法，通过个别同学补充叠加法与拆项法，从而得到等差数列 的通项公式为： （n2），其中a1 是这个数列的首项, d 是公差。思考问题（三）：等差数列中a1 =1,d=2,

10、数列的通项公式是什么？（an=2n-1）那么要求等差数列的通项公式只需求什么？（a1和d）学生活动（4）：同学自己编出已知等差数列的首项和公差求通项公式的问题并解决。通过学生自己亲自尝试、体验，才能深刻理解等差数列的定义及通项公式,对学困生来讲，这样才能打好基础，这样安排即符合教学论中的巩固性原则，也符合素质教育理论中面向全体的基本要求。思考问题（四）：求等差数列8，5，2的第20项。导析：由a1=8，d=5-8=-3，n=20得，a20=8+（20-1）（-3）=-49思考问题（五）：-401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？导析：由得数列通项公式为：=-4n-1由题意

11、可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-4n-1成立，解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。问题延伸：如果已知等差数列中任意两项，能不能求出an呢？学生：举例：在等差数列an中，已知a5=10，a12=31，求an 。 解： a1 +4d=10 a1 +11d=31解得 a1=-2 ，d=3，则an=3n-5教师：此解法是利用数学的函数与方程的思想，函数与方程的思想是重要的数学思想方法之一，应熟练掌握。问：由a5=a1 +4d ，a12=a1 +11d能够有什么启示？生：a12=a1 +11d=a5+（12-5）d，于是有an=am+（n-m）d，(推导公式)上题可先

12、求出d=3，那么an= a5+（n-5）d= a12+（n-12）d=3n-5形成检测，反馈回授：1、 求等差数列3，7，11，的第4项与第10项。2、100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。3、-20是不是等差数列0, -3.5， -7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。4、 已知a4=10，a7=19，求a1与d。5、已知a3=9，a9=3，求a12 九、课时小结提出问题：这节课你们学到了什么？教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。生：等差数列定义。即(n2) 或an+1- an = d （nN*）等差数列通项公式 (nN*)推导出公式：十、知识延伸我们已经学习了数列的通项公式是关于n的函数，那么等差数列的通项公式是关于n的怎样的函数？（当d=0时，是常函数，当d0时，是关于n的一次函数）从图象上看呢？（表示直线上无穷多个孤立的点）动画演示如：-2，0，2，4，6，8，10，7，4，1，-2，4，4，4，4，4，4，通过以上观察，你能发现首项a1和公差d对an的图象的影响吗？（课下讨论）十一、课后作业习题1、2、3板书设计 等差数列一、定义1（n2）二、 通项公式1公式推导过程十二、教后反思新