误差分析随机过程教程学习教案

1、会计学1误差分析随机误差分析随机(su j)过程教程过程教程第一页，共42页。第2页/共42页第二页，共42页。第3页/共42页第三页，共42页。（2）测量环境方面的因素 ：放置测量主机和被测试样的隔震台不能很好消除外界的低频震动 ，仪器所在实验室气流和温度的波动 ，空气尘埃的漂浮、稳压电源供电(n din)电压的微小波动。（3）操作人员方面的因素：操作人员的装夹调整不当引起被采集的测量干涉图像质量(zhling)低、条纹疏密不当 ，采集干涉图像的摄像头变焦倍数过小造成较大的离散化采样误差。 第4页/共42页第四页，共42页。第5页/共42页第五页，共42页。if0.1140.1160.118

2、0.120.1220.1240.1260.12801020304050 经过分析，由于上述误差源多而又不能断定哪个误差源的影响占主要地位，因此造成该统计直方图大致呈现正态分布的特征(tzhng)。如果其中有个别非正态的随机误差因素明显占优，则该统计直方图就会呈现其他分布的特征(tzhng)。ix第6页/共42页第六页，共42页。ixNoImage0 xi0 xxii第7页/共42页第七页，共42页。当测量(cling)次数n充分大时，有10nii10nijij 以及(yj)抵偿性是各种随机误差所共有的本质特征。 第8页/共42页第八页，共42页。k第9页/共42页第九页，共42页。第10页/共

3、42页第十页，共42页。第11页/共42页第十一页，共42页。 221exp22xf x 为测量总体的数学(shxu)期望，如不计系统误差，则 即为随机误差 。x 为测量总体的标准差，是评价随机误差的基本指标，它的数值决定于标准器、仪器仪表、测量环境、测量人员和被测对象等各项因素(yn s)。对同一被测对象，测量系统确定后，标准偏差 的数值也就随之确定。不同测量系统则 取值也不同。第12页/共42页第十二页，共42页。（1）单峰性：小误差出现的概率比大误差出现 的概率大。（2）对称性：正误差出现的概率与负误差出现的概率相等(xingdng)。（3）有界性：在一定条件下绝对值不会超过一定界限。（

4、4）抵偿性：随测量次数增加，随机误差算术平均值趋于零。第13页/共42页第十三页，共42页。分布是随机误差的主要概率分布。第14页/共42页第十四页，共42页。2第15页/共42页第十五页，共42页。NoImagenxxx.,2111niixxn作为被测量(cling)真值的最佳估计。3.1 算术(sunsh)平均值第16页/共42页第十六页，共42页。011nniiiixnx因为(yn wi) 根据(gnj)随机误差的抵偿性，当n充分大时，有 011niixxxn 简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率” 第17页/共42页第十七页，共42页。

5、若测量次数有限，由参数估计知，算术平均值是该测量总体期望的一个最佳(zu ji)的估计量 ，即满足无偏性、有效性、一致性。 满足最小二乘原理：该所有测量(cling)值对其算术平均值之差的平方和达到最小。 在正态分布条件下，满足最大似然原理(yunl)即该测量事件发生的概率最大 。第18页/共42页第十八页，共42页。221( )11xiiD xDxnnn单次测量(cling)标准差算术(sunsh)平均值的标准差 根据概率论中关于方差的性质，可得到该算数平均值的标准差与单次测量标准差有如下关系： 上式表明，当测量次数n愈大，算术平均值的标准差愈小，即愈接近真值。可见，增加测量次数取其算术平均

6、值表示测量结果，是减小随机误差的一种途径。第19页/共42页第十九页，共42页。122110 如右图所示，10次测量的算术平均值与单次测量的总体分布关系，可以更全面而形象的说明这样一个事实，即两个的分布类型(lixng)和峰值位置未发生变化，只是分散性不同。第20页/共42页第二十页，共42页。 当 一定(ydng)时，n 10 以后， 已减小得较缓慢。x 测量次数愈大时，也愈难保证测量条件的不变，从而带来新的误差。另外，增加(zngji)测量次数，必然会增加(zngji)测量的工作量及其成051 01 52 0n0 .20 .40 .60 .81 .0 x 本。因此(ync)一般情况下，取1

7、0n15 以内较为适宜。总之，要提高测量准确度，应选用适当准确度的测量仪器，选取适当的测量次数。第21页/共42页第二十一页，共42页。定义(dngy)：对于一组测量数据，我们往往用其标准差来表述这组数据的分散性。如果这组数据是来自于某测量总体的一个样本，则该组数据的标准差是对该测量总体标准差的一个估计，称其为样本标准差，又称为实验标准差。标准偏差的基本方法：贝塞尔公式、极差法、最大误差法。第22页/共42页第二十二页，共42页。2111niisxxn2s计算公式 是方差的无偏估计，但s并不是标准差 的无偏估计，因此还可以得到一个经过无偏修正(xizhng)的贝塞尔公式，在后面可以看到。2 为

8、残余误差(wch)，简称残差。iivxx总体标准差的估计(实验样本标准差)第23页/共42页第二十三页，共42页。修正修正(xizhng)贝塞尔公式贝塞尔公式贝塞尔公式(gngsh)的修正因子n1nM34567891015201.251.13 1.091.06 1.05 1.041.041.03 1.031.02 1.01 值随 减少(jinsho)明显偏离系数1 在样本数较小的情形（如），为了提高对s估计的相对误差，最好用无偏修正的贝塞尔公式。1nMn6n 21111niinnssxxMMn 第24页/共42页第二十四页，共42页。在n次测量服从正态分布且独立的条件(tiojin)下，可以导

9、出如下两个关系式： ( )12(1)ssn2( )1nnsMs2( )1nsMs 估计标准差的相对误差，用百分数表示，该百分数愈小，表示估计的信赖(xnli)程度愈高。适用的估计(gj)贝塞尔公式的相对误差的公式 估计标准差的相对误差第25页/共42页第二十五页，共42页。几种几种(j zhn)估计标准差的相对误差估计标准差的相对误差n贝塞尔公式(gngsh)0.80修正(xizhng)贝塞尔公式0.60极差法0.76最大误差法0.750.511230.570.460.520.450.470.390.430.400.400.340.370.360.360.310.340.330.320.280

10、.310.310.300.260.290.2990.280.250.270.28100.260.230.260.27200.170.160.200.23当样本数较小的情形用贝塞尔公式估计的信赖程度已经开始低于极差法和最大误差法，应当改用修正的贝塞尔公式来估计标准差。第26页/共42页第二十六页，共42页。nnsd( )nsCs对多次独立测得的数据 ， 最大值， 最小值，计算(j sun)它们的差值称为极差即：12,nx xx当测量误差服从(fcng)正态分布时，标准差的计算公式 估算( sun)时的相对误差 maxxminx极差s也是测量总体标准差 的无偏估计，由它估算minmaxxxnmin

11、maxxxn第27页/共42页第二十七页，共42页。极差法系数极差法系数(xsh)nnnndndndnCnCnC1.130.7692.970.27163.530.2131.690.52103.080.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.260.24193.690.2062.530.34133.310.23203.740.2072.700.31143.410.2282.850.29153.470.22第28页/共42页第二十八页，共42页。 公式中 和 的值可见如上表，与贝塞尔公式的估计标准差进行比较，可见在n10时，其相对

12、误差比未修正的贝塞尔公式略小，而且计算方便，但仅适用于正态分布总体，故在一些测量领域(ln y)中也采用它。ndnC第29页/共42页第二十九页，共42页。max1insk( )nnrssk估算( sun)时的相对误差 在已知被测量的真值的情形，多次独立测得的数据(shj) ，计算它们的真误差 ，从中找出绝对值最大的 ，测量误差服从正态分布时，估计标准差的计算公式 12,nxxx12,nmaxi第30页/共42页第三十页，共42页。max1insk 在一般情况下，被测量(cling)的真值难以知道，无法应用最大误差法估计标准差，可以用最大残余误差 估计标准差 maxi第31页/共42页第三十一

13、页，共42页。n0.880.511.771230.750.451.020.680.400.830.640.360.740.610.330.680.580.310.640.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251nknnrk1nk 1.250.75最大误差最大误差(wch)法系数法系数第32页/共42页第三十二页，共42页。对某量测得数据有7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，试分别用贝塞尔公式、修正(xizhng)贝塞尔公式、极差法、最大误差法估计其测量标准差及其标准差的相对标准差。( 1 ) 用 贝 塞

14、尔 公 式(gngsh)估算17.72ixxn2210.1361isxxn0.1360.37s ( )10.232(1)ssn查表，并插值计算(j sun) ( )10.26(0.260.17)0.2510ss第33页/共42页第三十三页，共42页。(2) 用修正(xizhng)贝塞尔公式估算1.03 0.370.38nssM 查表，并插值计算(j sun) ( )10.23(0.230.16)0.2310ss(3) 用极差法估算( sun)maxmin117.9,7.5,11,7.97.50.4xxn113.17d110.25c 11110.40.133.17sd11( )0.25scs查表

15、，得故第34页/共42页第三十四页，共42页。（4）用最大误差(wch)法估算3max 0.22i( )10.27(0.270.23)0.26610ss真值未知，计算(j sun)最大残差 查表，插值计算(j sun)得 11110.57(0.570.51)0.565k 故max1110.56 0.220.13isk0 x第35页/共42页第三十五页，共42页。 比较上述四种方法对s的估计，贝塞尔公式和修正贝塞尔公式十分接近，而极差法和最大误差法明显估计偏小。从估计相对误差上看，贝塞尔公式和修正贝塞尔公式较好，因为样本数大于10，用贝塞尔公式估算并没有显著改善。 从估算简易程度上看，极差法和最

16、大误差法公式简单，但需要查表计算。另外(ln wi)，极差法和最大误差发的公式中所用的系数都是在假设为正态分布的条件下计算出来的。如果偏离正态分布比较大的情形，也照搬这些公式及其系数，则会影响估计得信赖程度。第36页/共42页第三十六页，共42页。第四节 极限(jxin)误差4.1 极限误差的定义 测量的目的在于掌握被测对象的客观(kgun)实际状态（真值），但是测量的结果总是含有误差，在数据上不等于被测的真值。测量结果与被测的差异是由两部分组成的：一部分是由随机误差的存在而引起的；另一部分是由于不能完全消除的系统误差的存在而引起的。对于随机误差造成的那部分差异的确定，通常用估计随机误差界限，

17、即确定随机极限误差的办法来解决。NoImage第37页/共42页第三十七页，共42页。 极限误差时指极端误差，是误差不应超过的界限，此时对被测量的测量结果（单次测量或测量的算术平均值）的误差，不超过极端误差的置信概率 ，并使差值 可以忽略。此极端误差称为(chn wi)测量的极限误差并用表示。ksp p1 极限误差 的值可依据测量(cling)标准差，误差分布及要求的置信概率确定：)(xksk或 称为置信因子，是误差分布(fnb)、自由度和置信概率的函数，通常有表可查。第38页/共42页第三十八页，共42页。4.2 单次测量(cling)的极限误差x,abxx,abxx 在一组测量值中，大小 为的测量值落入指定(zhdng)区间 内的概率称为置信概率，而该指定(zhdng)区间 称为置信区间。()sT 显然置信区间取得宽，置信概率就大，反之则小。 一般(ybn)，当置信区间宽为 时，测量值落入区间 内的概率为68.3%，也就是说，进行100次测量，大约有68次的值是落在 的范围的。当置信区间宽为 时，对应概率为95.4%2当置信区间宽为 时，对应概率为99.7%3第39页/共42页第三十九页，共42页。3NoImage 把置信区间 作