01、导数的切线问题

1、利用导数求切线方程知识归纳：1 .求曲线在某点处的切线方程若函数y=f(x)在x=Xo处的导数值为f'(%)，则曲线y=f(x)在点Q(x0,f(x。)处的切线斜率为f'(x。)，切线方程为y-f(xo)=fxo)(x-xo)o2 .求曲线过某点的切线方程设切点为点Q(x0,f(x0),由切线斜率为f'(x0),得切线方程为yf(xo)=f'(x0)(xxo),利用切线过已知点，将已知点的坐标代入求出x,进而写出切线方程。3 .导数切线模型：(1)切点既在曲线上又在切线上(2)切点处的导数等于切线的斜率.(3)切线与曲线可能不止一个公共点。(4)曲线y=f(x)

2、"在点P(xo,yo)处的切线”与“过点P(xo,yo)的切线”的区别与联系曲线y=f(x)在点P(x0,yo)处的切线是指P为切点，切线斜率为k=f'(x0)的切线，是唯一的一条切线。曲线y=f(x)过点P(xo,yo)的切线，是指切线经过P点。点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条。常见题型：(一)在点问题例1已知函数在R上满足，则曲线在点(,)处的切线方程是方法一：解：f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,.f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8=2f(x)-x2+4x-4+16-8x-8.将f(2-x)代入f(x)=2f(2-x

3、)-x2+8x-8,得f(x)=4f(x)-3x2,1. f(x)=x2,f(x)=2x,设y=f(x)在点(x°,xo2)处的切线斜率为2则2%=2,得x0=1,即切点为(1,1),所以切线方程为方法二：抽象函数，复合求导2例2已知a是头数，函数f(x)=x(xa)。右f(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程。答案：切线方程为3xy2=0。(二)过点问题：-一一134例3已知曲线C:y=x十一，求过点P(2,4)且与曲线C相切的直线万程。33思路分析：由于点P在曲线上，所以过点P的切线可能就是以点P为切点，也可能点P不是切点，所以需分类讨论。答案：解：

4、:P(2,4)在曲线上，当切点为P(2,4)时，k切=f'(2)=4,过点P(2,4)的切线方程为y=4x4；2y4当切点不是P(2,4)时，设切点为T(x0,y0),则k切=f'(xo)=%,又k切一X0-2(xo#2),y42r3_210=x°,即y。=x。3-2x2+4,xo-2113413432又y。=_%+一,一x。+=x。_2x。+4,3333即x；_3xj+4=0,x；+13x02+3=0,3322(x0+1)-3(x01)=0,(x0+1)(x0-2)=0,又xO#2，为=1,，切点为T(1,1),过点P(2,4)的切线方程为y=x+2。综上所述得，过

5、点P(2,4)的切线方程为y=x+2或y=4x4。(二)切线不等式例已知函数,则的大致图像是()例已知函数，则的图像大致为()的切线最多有()且当X0=0时，y=3>0,X0=2时，y=-5<0.所以方程2x。3-6x02+3=0有3个解，则过点A(2,1)作曲线f(x)=x3-x的切线的条数是3条.故选A.方法二：三次函数的相关性质(四)切线的条数：例1过点作曲线A.3条B.2条C.1条D.0条方法一：解：设设切点为P(Xo,Xo3-Xo),则f(Xo)=3X0由y'=0,得X0=0或X0=2,-1,则切线方程y-Xo3+x0=(3xo2-1)(x-Xo),代入A(2,1

6、)得,2Xo3-6xo2+3=0.令y=2X03-6x02+3，则y=6x。2-12X0.X.例2已知函数y=a与y=logax(a>1)的图象有且仅有一个公共点,则ln(lna);思路分析：同一直角坐标系下画出函数Xy=a与y=logaX(a>1)的图象,如下:函数y=ax与y=logax(a>1)互为反函数，它们的图象关于直线y-x对称，因xx此函数y=a与y=logax(a1)的图象有且仅有一个公共点-y=a的图象与直线y=x相切，然后从原函数角度和导函数角度分别研究切点。x解：函数y=a与y=logax(a>1)的图象有且仅有一个公共点x-wy=a的图象与直线y

7、=x相切.设切点为(t,at),x一.一一t由切点既在y=f(x)=a上又在直线y=x上可得：a=tt由导数的几何意义可知：f(t)=1,即：a-lna=1由得：lna=a'，代入到所求式子ln(lna)中，.ln(lna)=ln(a,)=-tlna,将式代入上式，得：ln(lna)=-atIna=-1答案：-1(五)两条曲线的公切线例1若直线是曲线的切线也是的切线，求b的值.23例已知函数f(x)=ax+1(a>0),g(x)=x+bx。若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线。(1)求a,b的值；(2)求出公共切线方程。思路分析：解本题的突破口

8、在于如何利用好这个交点。交点(1,c)既在f(x)的图象上，也在g(x)的图象上，同时由在此点处的切线为公共切线可导出f'(1)=g'(1),联立方程组求出a,b的值。答案：解：(1).交点(1,c)在f(x)=ax2+1(a>0)上，.a+1=c3又一交点(1,c)在g(x)=x+bx上，b+1=c(2)f(x)=ax2+1(a>0),f'(x)=2ax,32g(x)=x+bx,g(x)=3x+b,由题意，f'(1)=g'(1),2a=3+b联立式解得：a=3,b=3,c=4。(2)设切线的斜率为k,，k=f(1)=6,.c=4.切线方程为

9、y4=6(x1),即6xy2=0。(六)切线的应用：例已知函数，求函数上的点到直线的最小距离.答案：2例设点P在曲线-上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为A.B.C.D.例若实数a,b,c,d满足（，则（的最小值【晒】两条曲线互为反函.政，足关于口线yr对林的，由统1上的P点与曲线2上的a点之间的筐离小团取得最小值片可雅女生在百/po弓尹其垂吉的情下百缱PO在保持与y=x型直的条件下游动赳能我刊|PQ|小的位M,避运位置对应的O点坐标为a（M,lrt2MjJP0片©口口|,点口（KlnZ冷却直线x-y=O的距高.串=i31=山口丁方先,a=rt口斌=吁吧3xy-3j（-71J达样的

10、G卓龙满星：+为（）B.C.D.A.解：实数a、b、c、d满足：|b+aA2-3lna|+（c-d+2）A2=0则有：b+aA2-3lna=0,设b=y,a=x,贝U有：y=3lnx-xA2c-d+2=0,设c=x,d=y,贝U有：y=x+2所以：（a-c）A2+（b-d）A2就是曲线y=3lnx-xA2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值对曲线y=3lnx-xA2求导：y'（x）=3/x-2x与y=x+2平行的切线斜率k=1=3/x-2x解得：x=1（x=-3/2<0不符合舍去）x=1代入y=3lnx-xA2得：y=-1所以：切点为（1,-1）切点到直线y=x+2的距离：L=

11、|1+1+2|/，（1人2+1A2）=2V2所以：1人2=8所以：（a-c）A2+（b-d）A2的最小值就是8（答题时间：20分钟）x1 .曲线y=在点（1,1）处的切线万程为（）A.x-y2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=02 .已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则”的值为（）A.1B.2C.1D.-23,若直线y=kx与曲线y=x=x+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为3x2+2x相切，则实数k的值为()A.2B.-2C.-D.2或1444*4.已知点P在曲线y=-上，ot为曲线在点ex1围是()P处的切线的倾斜角，则&的取值范

12、3_：,A.0,)B.一,一)C.(一,4422422一，.ax+bx+c,x2l,一，,*5,已知函数f(x)=其图象在点,f(X2),x<1,3二、D.,-：)41,f(1)处的切线方程为y=2x+1,则它在点(-3,f(-3)处的切线方程为()A.y=-2x-3C.y=2x-3B.D.y=-2x3y=2x35,函数f(x)三、解答题*1,求过曲线xy=4上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积。*2,已知函数一、3.f(x)=-sinx+cosx,求函数f(x)在x=一处的切线万程。23*3,已知曲线134y=x3+一,求曲线过点P(2,4)的切线方程。33美好的结局往往来自

13、于艰难的过程.w二、填空题321.曲线f(x)=x+3x+6x-1的切线中，斜率最小的切线方程为。x2ee2,曲线y=一在点(2,)处的切线方程为。x233.曲线f(x)=x-x+2在P)处的切线平行于直线y=4x+3,则P0点的坐标为。34 .过点(1,T)作曲线y=x4x的切线，则切线方程为。、选择题1.B解析:,1(2x-1)-x2y22-(2x-1)2-1-"2'(2x-1)2,切线的斜率k=y'-1xW2一(21-1)21,.切线方程为y_1=_(x1),即x+y2=0。2.B解析：设切点P(%,y。)，则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),根据题意知直

14、线与曲线相切,1x°a=1,x0+a=1,，y0=0,x0=1.a=2。故选b。3423. D解析：设切点为(x°,kx°),(x°,x0-3x0+2x0),则斜率k=3x；-6x0+2,联立方程，得kx0=x；-3x2+2x0。2又k=3x0-6x0+2,解得x0=0且k=2,母3D113x0一且ko24故选D。-4ex-44. d解析：因为y=-2=-c-1,0),汽为曲线在点p处的切线的倾(e1)e2e斜角，,tanae-1,0)o=0Ma<n,3二,<«<几。4故选D。5. A解析：利用切点的双重性既在曲线上又在切线上

15、求出f(1),利用函数解析式求出f(-3),通过排除法得到选项。图象在点(1,f(1)处的切线方程为y=2x+1,f(1)=2+1=3。f(-3)=f(3-2)=f(1)=3,.点(3,f(3)即为点(3,3),在点(-3,f(-3)处的切线过点(-3,3)将(3,3)代入选项通过排除法得到点(-3,3)只满足方程y=-2x3,故选Ao二、填空题1. 3xy2=0解析：f'(x)=3x2+6x+6=3(x+1)2+3,当x=-1时，f'(x)取最小值为3,所以斜率最小的切线方程为yf(1)=3(x+1),即3xy2=0。xx2x22ex-e.e_>>,e.，e2.

16、e2x4y=0解析：y=一L，y，|xq=，所以曲线y=在点(2,一)处的x-4x222切线方程为y_J=±(x2),即e2x4y=0。243. (1,0)和(_1,M)解析：设切点为P0(a,b),f'(x)=3x2+1,k=f'(a)=3a2+1=4,a=土1。把a=1,代入曲线得b=4；把a=1,代入曲线得b=0。所以切点坐标为F0(1,0)或()。4. x+y+2=0或13x+4y1=0解析：因为y'=3x2-4,设切点为(x0,x03-4x0),232则切线斜率为3x04,切线方程为y-(xc4x0)=(3x。4)(xx0),又过点(1-3),即3(

17、x。34x°)=(3x。24)(1x。)，整理得2%33x02+1=0(2x03-2x2)-(x2-1)=0,即(x01)2(2x0+1)=0,所以x0=1或x0=3,所以切线方程为x+y+2=0或13x+4y1=0。-'_2-'_f(x)=3x+4,f(1)=7,f(1)=10,y10=7(x1),3,一5. 一一斛析73y=05,x=。7三、解答题4441 .解：曲线上任意一点(x°,一)处的切线万程为y=(x-x0),与两坐标轴的x°x°x°交点分别为(2x0,0)、(0,),所以面积为x01s,8,c-,|2x0|L1=8。2x3.一二、3152 .解：因为f(x)=cosx-sinx,f()=-+-=-,冗f(L23424、