(整理)平面向量的内积

1、课题：平面向量的内积教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式，能用所学知识解决有关综合问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用教学过程：一、复习引入：1 .两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作OA=a,OB=b，则/aob=e（owewn）叫a与b的夹角.2 .平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角是0,则数量|a|b|cos叫a与b的数量积，记作ab,即有ab=|a|b|cos,（owew汽）.并规定0与任何向量的数量积为0.3 .向量的数量积的几何意

2、义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.4 .两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1ea=ae=|a|cos；2abab=0|a|b|3当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab特别的aa=2|2或|2|痘a,ab4 cos=；5|ab|w|a|b|a|b|5 .平面向量数量积的运算律交换律：ab=ba>'1数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)氏三,J/分配律：(a+b)c=ac+bc5'卡1OT二、讲解新课：1 .平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a(x1yj,b(x2,y2)，试用a和b

3、的坐标表示ab.设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，那么axiiyij,bx?iy?j2 2所以ab(xiiyij)(x2iy2j)xx2ixy2ijx2yiijyy2j又iii,jji,ijji0所以abxix2yiy2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和*即abxix2yiy22 .平面内两点间的距离公式(i)设a(x,y),则|a|2x2y2或|a|戏一(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(xi,yi)>(x2,y2)，那么|a|(xix2)2(yiy2)2(平面内两点间的距离公式)3 .向量垂直的判定设a(x1,y1),b4.两向量夹角

4、的余弦(0abcos=三、讲解范例：例1解：例2|a|b|设a=(5,7),b(X2,丫2)，则abx1x2)X1X2y1y22222,Xiyi.X2y2=(6,4),求ab=5X(6)+(7)X(4)=30+28=已知a(1,2),b(2,3),c(2,5),求证：ABC是直角三角形.证明：.AB=(21,32)=(1,1),AC=(21,52)=(3,3).ABAC=1x(3)+1X3=0ABACABC是直角三角形例3已知a=(3,1),b=(1,2),求满足xa=9与xb4的向量X.解：设X=(t,s),3ts9t2s4X=(2,3)例4已知a=(1,v'3),b=(v13+1,

5、J31),则a与b的夹角是多少？分析：为求a与b夹角，需先求ab及aIIb|,再结合夹角e的范围确定其值解：由a=(1,43),b=(,3+1,431)有ab=v13+1+x3(v13-1)=4,Ial=2,|b1=222.ab记a与b的夹角为0,则cos0=又,:o<e<Tt,e=4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定例5如图，以原点和A(5,2)为顶点作等腰直角ABC,使b=90,求点b和向量AB的坐标。.OBAB解：设b点坐标(x,y),则OB=(x,y),AB=(x5,y2)1-x(x5)+y(y2)=0即：x2+y25x2y=0又|OB|=|AB|1-x2+

6、y2=(x5)2+(y2)2即：10x+4y=2922,xy5x由10x4y292y0Xiy73二X2二2或237二y2二22b点坐标(7,3)或(3,7)222237-73AB=(2,3)或(J例6在ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且ABC的一个内角为直角,求k值.解：当a=90时,ABAC=0,32X1+3Xk=0.1.k=2当b=90时,ABBC=0,BC=ACAB=(12,k3)=(1,k3)2X(1)+3X(k3)=0.k=113当C=90时，ACBC=0,1+k(k3)=0.k=3-2四、课堂练习：1.若a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|A.23B.57C.

7、63D.832.已知a(i,2),b(2,3),c(-2,5)，则abc为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形3.已知a=（4,3）,向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）人(3,4)或(4,3)B.(3,4)或(3,-)5555555534、，43、，34、，34、C.(-,E(q)D.(-,E(,)555555554.a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)(a-b尸5.已知a(3,2),b(-1,-1)一1，八一，一一八，,若点P（x,-）在线段ab的中垂线上，则x=26.已知a(i,0),b(3,1),c(2,0),且a=BC,b=CA,则a与b的夹角为

8、参考答案：1.D2.A3.D4.-75.76.454五、小结两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示六、课后作业：1.已知a=(2,3),b=（-4,7）,则a在b方向上的投影为（A.13B13B.5C65C.5D.2 .已知a=（入，2),b=(-3,5)且a与b的夹角为钝角,入的取值范围是（）B.10310C.X<33 .给定两个向量a=(3,4),b=(2,-1)且（a+xb），（a-b）,则x等于（）A.23B.232D.经44.已知|a|二J10,b=(1,2)且a/b,则a的坐标为6.已知a=(3,0),b=(k,5)且a与b的夹角为33-,则k的值为47.已知a=(

9、3,-1),b=(1,2),求满足条件x-2=9与xb=-4的向量x.8.已知点A(1,2)和B(4,-1),问能否在y轴上找到一点C,使/ABC=90°,若不能，说明理由；若能，求C点坐标.9.四边形人8©中=AB(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3),(1)若BC/DA,求x与y间的关系式;(2)满足(1)问的同时又有AC±BD,求x,y的值及四边形ABCD的面积.参考答案：1.C2.A3.C4.(收2血)或(-血,2J2)_,215.(-,-)6.-57.(2,-3)8.不能(理由略)559.(1)x+2y=0(2)x6廿x2或S四边形ABCD=16y3y1七、板书设计(略)八、课后记及备用资料:已知a=(3,4),b=(4,3),求x,y的值使(xa+yb)±a,且Ixa+ybI=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想又(xa+yb)±a(xa+yb),a=。3(3x+4y)+4(4x+