小学奥数：数阵图二专项练习及答案解析

1、5-1-3-2.数阵图gim教学目标1 .了解数阵图的种类2 .学会一些解决数阵图的解题方法3 .能够解决和数论相关的数阵图问题知识点拨、数阵图定义及分类:1 .定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图2 .数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图3 .二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格）和关键点（或方格）；第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数

2、的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.即隹例题精讲【例1】由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和.小刚选的5个数的和是120,小明选的5个数的和是111.如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是.111213212223313233【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题【分析】这9个数的和：111213212223313233（102030）3（123）3198由小刚和小明选的数中只有一个是

3、相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍.所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数.那么，这个数是12011119833【答案】33【例2】如图1,圆圈内分别填有1,2,，7这7个数。如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64,那么，中间圆圈内填入的数是【考点】复合型数阵图【难度】3星【关键词】希望杯，五年级，复赛，第【题型】填空5题，5分【例3】【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.【解析】为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2）,则有a+4

4、+9=a+b+c(1)b+8+9=a+b+c(2)c+17+9=a+b+c(3)+56=3(a+b+c),a+b+c=28,则a=28-(4+9)=15,(1)+(2)+(3):(a+b+c)b=28-(8+9)=11,c=28-(17+9)=2解：见图.【例4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填?【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图(2)所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+GA+B+Q+(A+F+G+(A+D+E+(B+D

5、+F+(C+E+G)=5k,3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5K2(A+B+C+D+E+F+G+A=5k,2(1+2+3+4+5+6+7)+A=5k,56+A=5k.,k=12,因为在1、2、3、5、6、7中，贝UC=12-(4+1)=7,G=12-(4+5)=3,(见图)因为56+A为5的倍数，得A=4,进而推出1+5+6=7+3+2=12,不妨设B=1,F=5,D=6,E=12-（4+6）=2.,解：得到一个基本解为：的平均值，便得到右下图。如果左下图中已有一个数数，使得右下图中的数都是自然数。【例5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻（即有线段相连

6、的圆圈）的圆圈。将左下图中每个圆圈中的数改为3个相邻圆圈所填数1,请填出左下图中的其它【考点】复合型数阵图【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第10题，10分【解析】答案不唯一。要求四个灰色圆圈中所填的数除以3的余数相同，另外四个圆圈中所填的数除以3的余数也相同。注：题中左、右两图是两个不同的图，左图要求各数互不相同（见答案），右图中各数是根据左图改的，只要求是自然数，可以相同。【例6】将1至8这八个自然数分别填入图中的正方体的八个顶点处的d内，并使每个面上的四个d内的数字之和都相等。求与填入数字1的d有线段相连的三个d内的数的和的最大值。【考点】复合型数阵图【难度】4星【

7、题型】填空【考点】【难度】星【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第13题，15分【解析】因为1到8的和为36,而上面四个数的和等于下面四个数的和，所以都为18。因为每个面的数字和相等，所以一个面上应当大小数搭配，也就是说，和最小的数字1在同一个面上的应该有较大的数。尝试最大的三个数8,7,6,则和1,8,7在同一个面上的数应该是18-1-8-7=2，和1,8,6在同一个面上的数应该是18-1-8-6=3，和1,7,6在同一个面上的数应该是在同一个面上的数应该是18-1-7-6=4,剩下一个5填在剩下的。中，经检验，符合题意，那么与1相连的三个。的和是67821【答案】21【例7】将自然

8、数1到11分别填在右图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数的和相等.【考点】复合型数阵图【解析】设左下角的数为S.由于这11个数的和为【难度】5星【题型】填空a,每条直线上的三个数的和为12L1166.从左下角引出的5条直线的总和为5S,其中左下角的数多计算了4次，则5s664a;又由三条横线及左下角引出的一条斜线上的数的总和可得4s66a.从而结合上面的两个式子可得S18,a6,即左下角的数为6,每条线上的数之和为18.再设大正方形其他三个圆圈上的数分别为b,c,d,于是可得各个圆圈中的数如图所示.除6以外的10个数分别为：b,c,d,12b,12c,12d,18bc,18cd,bc

9、6,cd6,由于18bc12c18cd18,得到b3cd30,即bd303c.所以，只要选取适当的b,c,d的值，使得上面的10个数各不相同即可.比如，选才ic9,b1,d2,则可得到如右上图所示的一种填法.本题答案不唯一，下面再给出两种填法。【例8】在下图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是234,那么标有十的圆圈中所填的数是.【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，决赛，11题【分析】为表述方便，将圆圈中数用字母替代（如右图）根据题意，有af234bc234ed234abe234cdf234(4)【答案】78(4)，有3234,即234

10、378.【例9请将1,2,3,，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等.那么乘积ABC?【考点】复合型数阵图【难度】【关键词】迎春杯，高年级，决赛，【解析】对于本题，可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等"（实际上是11条）这一等量关系，将每一个小圆圈中的数表示出来.由于每一条直线上的数之和都为ABC,可得图中每一个小圆圈中的数如下图。B-2C由于中间竖直方向的线段以及从左下角A出发的只有两个数字的那条线段，它们的数字和都C3B3C2AC,可得AB2C,代入得只能是C1,B6,AB2c8,则是ABC,可以得到，AB2B3C3B3C,

11、即B6C,ABC86148【答案】ABC86148【例10下图中有11条直线.请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等.求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数.【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【解析】设每行的和为S,在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S(123L11)a66a；在右上图中除了a出现5次，其他数字土只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S(123L11)4a664a.4S66a综合以上两式，4s66a,解得a6,S18.5S664a考虑到含有*的五条线，有4(123L11)t185

12、90,即4t24.可见t是4的倍数，在111间可能为4和8,但t为8时也为8,重复.所以t4,7.即每行相等的和为18,标有*的圆圈中所填的数为7.最终的填法如右下图.【例11】“美妙的数学花园”这7个字各代表17中的一个数，并且每个圆中4个数的和都是15。如果学比美大，美比园大，那么，园表示【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【关键词】（走美杯3年级决赛第11题，12分）【解析】首先找出从1到7中四个数之和为15的有以下四组：1、2、5、7;2、3、4、6;1、3、4、7;1、3、5、6需要从其中选出3组，其中每两个组间都有两个相等的数，且这三组都含有同一个数，分析发现这三组可为、或

13、、，当这三组数为、时即1,2,5,7;1,3,4,7;1,3,5,6.其中、公有的是1,7;、公有是1,5;、公有1,3,即“妙，花，数”应为3,7,5其中之一.则剩下数字2,4,6应为美、学、园其中之一.又因为学美时同样的方法可分析出园2.当这三组数为、130,三角形内两【例12】图2中的五个问号分别表示五个连续的自然数，它们的和等于个数的和等于53,圆内三个数的和等于79,正方形内两个数的和等于50。那么,从左向右，这五个问号依次是【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第5题，5分【解析】根据题意答案为：25,28,27,24,26【答案】25,28,

14、27,24,26【例13】右图是大家都熟悉的奥林匹克五环标志.请将1:9分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等.【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【解析】设每个圆内的数字之和为k,则五个圆内的数字之和是5k,它等于1:9的和45再加上两两重叠处的四个数之和.而两两重叠处的123410,最大是65k451055,四个数之和最小是5k453075,卜图）.78625431由上面的分析可知,15,那么，不论a为多少，最k15时没有符合题意的填法.d中有一个数为3，比如a3,d相同.可见a,b,c,d都c,那么与b,c在同一个圆内的那个数将只能为没有符合题意的填法

15、.0,这也不可能出现.所以当k12时也【答案】当k13,14时可得四种填法【例14】2008年奥运会在北京举行。“奥”、“运”、“会”、“北”、“京”这五个汉字代表当k15时，如右上图，设两两重叠处的四个数分别为a,b,c,d分别为6,7,8,9,由于6915,左边的数总是会与b,c,d中的某一个相同，矛盾.所以当当k12时，abcd1254515.如果a,b,c,那么bcd12,这样与b,c在同一个圆内的那个数将与不能为3.如果a,b,c,d中至少有3个数大于3,那么它们至少为4,5,6,另一个数至少为1,它们的和将不小于145616,矛盾.所以a,b,c,d中至少有2个数小于3,这2个数只

16、能为1和2,那么另两个数之和为12.如果这两个数中有一个为a或者d,那么最左边或者最右边的数将与a,b,c,d中的某一个相同，矛盾；如果这两个数为b和五个连续的自然数，将其分别填在五环图案的五个环内，满足“奥”+“运”+“会”="北”+“京”。这五个自然数的和最大是【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【关键词】迎春杯，四年级，初赛，第2题)【解析】不妨设最小一个数是x,那么这5个数是x,x+1,x+2,x+3,x+4.但无法将它们对应，但无论怎么样，列出的方程一定是这个形式的：(x+a)+(x+b)+(x+c)=(x+d)+(x+e),其中a、b、c、d、e分别是0、1、2、

17、3、4.方程解得：x=(d+e)-(a+b+c),如果连续5个自然数最大，那么最小的那个自然数也必须取得最大，显然减号前是3、4,减号后0、1、2时，x取得最大值4,所以这5个数是4、5、6、7、8,和为30【答案】30【例15如图，A,B,C,D,E,F,G,H,I代表九个各不相同的正整数，且每个圆中所填数的和都等于2008。这九个数总和最小为。【考点】复合型数阵图【难度】5星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第12题，15分【解析】假设9个数总和是M,则MABCDEFGHI,上面三个环的总和为：32008MCG,所以当CG12时，总和最小为2008336027。【答案】6027【

18、例16如图，A,B,C,D,E,F,G,H,I代表九个各不相同的正整数，A,B,C,D,E,F,G,H,I的总和是2008,并且每个圆中所填的数和都等于M。(1)M最大为多少？(2)M最小为多少？【考点】复合型数阵图【难度】6星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛,第11题，15分【解析】上面三个环里数的和为3M,3MCG2008,3M2008CG,所以M最大可以取668,此时C,G分别为1,3。五环的和是5M2008BDFH,要使M最小，只要取BDFH最小为12,此时M404。【答案】最大668,最小12【例17】将数字19分别填在下图空白的正六边形格子中，使得箭头所指直线方向上空格ABCD20,EFGHCIJKMN19。22,当填写完中所填的数字和等于该箭头所在格中的给定数(每个方向上所填的数互不相同，且到写有另一个给定数字的格为止)。例如:后，字母C处所写的数字是2619K20G22H201028AA.4B.5C.7D.9【题型】填空【考点】复合型数阵图【难度】6星【关键词】迎春杯，中年级，复试，7题【解析】1314C,提示：在下图中,直线11上的6个数之和是，只有12