2022届高考数学一轮复习第九章9.7.2利用空间向量求二面角与空间距离核心考点精准研析训练理含解析

1、word-1-/11务妾考点考点一求二面角1.1.考什么考什么：（1）考查与二面角相关的问题. （2） 考查直观想象与数学运算的核心素养.2.2.怎么考：怎么考：以柱、锥、台等几何体为载体考查与二面角相关的证明、求值问题.3.3.新趋势：新趋势：以求二面角或某一三角函数值为主要命题方向.1.利用空间向量求二面角的两种方法:（1）分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为气法2交汇问题：常常与证明线面的平行、垂直关系同时考查.命趙甬度 1求二面角或某一三角函数值【典例】

2、（2019 全国卷 II）如图,长方体 ABCD-AqD的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 A%上,BE丄 Eq.世纪金榜导学号证明：BE 丄平面 EBC.（2）若 AE=A”求二面角 B-EC-C的正弦值.【解析【解析由已知得由已知得,B1C1丄平面丄平面 ABBABE-平面平面 ABBA，故故B1C1丄丄BE又又BE丄丄ECi，ECinBiCi= =Ci, ,所以所以 BE丄平面丄平面 EB1C1. .由由(1)知知/BEBgO。. .由题设知由题设知 RtABERtA1B1E，所以，所以/AEB=45，故，故 AE=AB,AA1=2AB.第九章第九章核心考点核心考点 精准研析精准研

3、析和 n n2,则二面角的大小等于气,n n2（或 n-气,n n2）.word-2-/11以以 D 为坐标原点，；为坐标原点，； 的方向为的方向为 x 轴正方向，八轴正方向，八| |为单位长，建立如图所示的空间直角坐为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系标系D-xy 乙乙则。则。( (0,1,0)启启( (1,1,0)，9(0,1,2)上上( (1,0,1),门门=(1,0,0),( (工工=(1,-1,1),厂厂=(0,0,2).设平面设平面 EBC 的法向量为的法向量为 n=(x,y,z),则则设平面设平面 ECC1的法向量为的法向量为 m=(x,y,z),Yl*77T1所以可取所以可取

4、 m=(1,1,0).于是于是 cosvn,mLI=|.H广了广了. .2所以二面角所以二面角 B-EC-C1的正弦值为的正弦值为.命越甬度 2 与二面角有关的综合问题2rr【典例】如图，在梯形 ABCD 中，ABCD,ZBCD 二丁，四边形 ACFE 为矩形，且 CF 丄平面ABCD,AD=CD=BC=CF=1.(CB-ii=0,(CB-ii=0,ICE*no,( (工工= =0,即即 L-y-z_ _ 所以可取所以可取 n=(0,-1,-1).|CC,m=0t贝则贝则 : :即即2z=0,xy+z=0.-3-/11求证:EF 丄平面 BCF.word1-4-/11（2）点 M 在线段 EF

5、（含端点）上运动，当点 M 在什么位置时，平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角最大,并求此时二面角的余弦值.|世纪金榜导学号【解析】【解析】（1）在梯形在梯形 ABCD 中，因为中，因为 AB|CD,AD=CD=BC=1,又因为又因为/BCD=丁，丁，2TT7T所以所以/ADC=n,/ACD=；所以所以/ACB=,故故 AC 丄丄 BC.因为因为 CF 丄平面丄平面 ABCD,AC 平面平面 ABCD,所以所以 AC 丄丄 CF,而而 CFnBC=C，所以，所以 AC 丄平面丄平面 BCF,因为因为 EF|AC,所以所以 EF 丄平面丄平面 BCF.（2）由由（1）可建立分别以直线可建立

6、分别以直线 CA,CB,CF 为为 x 轴轴, ,y 轴轴, ,z 轴的空间直角坐标系如图所示，轴的空间直角坐标系如图所示，AD=CD=BC=CF=1,令令 FM=入(0V 入 3),则则 C(0,0,0),AC3,0,0),B(0,1,0),M(入,0,1),所以所以.=（人人 3,I,0）M=（入入，-i,i）,设设 m=(x,y,z)为平为平面面 MAB 的一个法向量，的一个法向量，;n；AB=0t_由厂由厂7 7l/Lz-y-Fz=0,取取 x=1，则，则 n n1=(1,j,-J-因为因为 n n2=（1,0,0）是平面是平面 FCB 的一个法向量的一个法向量, ,1 Hi11=11

7、1121：1+3+(3-2)2X1入）,word-5-/11所以所以 cos0word1-6-/11因为因为 OV 入V.3V.3，所以当，所以当入=0 时时, ,cos0 有最小值有最小值=,=,所以点所以点 M 与点与点 F 重合时，平面重合时，平面 MAB 与平面与平面FCB 所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为*题组题组通关。通关。蹩式巩凰蹩式巩凰；線1.1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E 为 BB：的中点，则平面ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为()【解析】【解析】选选 B.以以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐

8、标系为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,设棱长为设棱长为 1,则则A1(0,0,1),-1,0,D(0,1,0),所以所以-1-1=(=(0,1,-1),-1 三三=1,0,-；,设平面设平面 A1ED 的一个法向量为的一个法向量为 n n1=(1,y,z),2222所以所以 n n1=(1,2,2).因为平面因为平面 ABCD 的一个法向量为的一个法向量为 n n2=(0,0,1),所以所以 cos 0),以点以点 D 为原点为原点,DA,DC,DP 所在直线分别为所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直轴建立空间直角角坐标系坐标系，则则 D(0,0,0),C(0,2,0),E(

9、2,a,0),P(0,0,2),则则“=(0,2,-2)j”=(2,a,-2),设平面设平面 PECword-9-/11过点过点 D 作作 DE 丄丄 AC 于点于点 E,过点过点 B 作作 BF 丄丄 AC 于点于点 F,沿对角线沿对角线 AC 把矩形折成二面角把矩形折成二面角 D-AC-B 的平面角为的平面角为 60时时, ,贝贝 qUD=BF+FE+ED,心心WW+! !工工+EV+2工工+ +2! !工工 门门+2 门门f7212121931212193X2+0+0+2X 丁 X 丁 Xcos(180-60)=T . .令令 x=1,则则 n n=(1,-1,-1),所以点所以点 Dp

10、到平面到平面 A1BD 的距离的距离InDB=2x+2y=023 答案：答案：一一 2.(1)取取 AC 的中点的中点 D,连接连接 ApD，因为，因为 AA1A1C,AA1=A1C,AC=3 所所以以A1DAC,A1D3,又因为侧面又因为侧面 A1ACC1与底面与底面 ABC 垂直，所以垂直，所以 A1D 丄底面丄底面 ABC，所以，所以 A1D 就就是三棱柱的高是三棱柱的高, ,因为因为/ /所以二所以二=(2,0,0)二二=(2,0,2),DB=(2,2,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),|DM15Id=word-14-/11ABC=90,

11、BC=2,AC=2-；L1j_11二所以二所以 AB=2；二二, ,所以底面积为所以底面积为 SABC电电 X2：-X2=二二, ,所以二所以二II棱柱的体积为棱柱的体积为 V=SAABCA,D=212X13=2.6(2)等体积法等体积法: :连接连接 A1B,根据定义根据定义，点点 C 到面到面 A1ABB1的距离的距离，即为三棱锥即为三棱锥 C-A1AB 的高的高 h,由由1 1三棱锥三棱锥J-.-.-5=L三棱三棱锥锥J得厶得厶- -亠亠L L三三 h_SABC A1D，h=lE 为所求为所求. .规年万注求点到平面的距离的常用方法(1)直接法:过 P 点作平面 a 的垂线，垂足为 Q,

12、把 PQ 放在某个三角形中,解三角形求出 PQ 的长度就是点 P 到平面 a 的距离.(2) 转化法:若点P所在的直线l平行于平面a,则转化为直线l 上某一个点到平面a的距离来求.(3) 等体积法:求点面距离可以转化为求三棱锥的高，如四面体中点 A 到平面 BCD 的距离，用等体积法求得 h=|PJ4X(4)向量法:设平面 a 的一个法向量为 n,A 是 a 内任意点，则点 P 到 a 的距离为 d=如图，BCD 与 AMCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD 丄平面 BCD,AB 丄平面 BCD,AB=23,求点 A 到平面 MBC 的距离.X2-2X2,所以所以word-15-/1

13、1【解析】【解析】如图如图，取取 CD 的中点的中点 0,连接连接 0B,0M,因为因为BCD 与与MCD 均为正三角形，所以均为正三角形，所以 OB 丄丄 CD,0M 丄丄 CD,又平面又平面 MCD 丄平面丄平面 BCD,所所以以 MO 丄平面丄平面 BCD.以以 O 为坐标原点，直线为坐标原点，直线 OC,BO,OM 分别为分别为 x 轴轴, ,y 轴轴, ,z 轴轴, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系 O-xyz.因为因为BCD 与与MCD 都是边长为都是边长为 2 的正三角形，所以的正三角形，所以 OB=OM=二二 3,则则IO(O,O,O),C(1,O,O),M(O,O,；3),B(0,-所所以以BC=(i3,o),.T=(on3?).