《离散型随机变量及其分布》单元测试题

1、离散型随机变量及其分布单元测试题(一)考试时间120分钟试卷满分150分祝考试顺利A.1D.1+一、选择题：每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1设X是一个离散型随机变量，其分布列如下，则q等于(C)2随机变量X的概率分布规律为P(X=k)ck(kTi)，k=1，2,3,4.其中c是常数，则Pf2<X<21的值为(D)k22丿2a34C-55D-63.如图,1已知电路中4个开关闭合的概率都是2，且互相独立，灯亮的概率为(C)A.C.31613161D.4X-101P0.51-2qq22C.1七4. 三位同学独立地做一道数学题，他们做出的概率分别为2、

2、1和4,则能够将此题解答出的概率为(AA.D.13迈5. 设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为则下列结论正确的是(A)A.EJ0.1B.DJ0.1C.P(E=k)=0.01k0.9910-kD.P(E=k)=Ck0.99kO.O11o-k106. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X=4)的值为(C)21D2512727AbC220552207. 从1.2.3.4.5中任取2个不同的数，在取到的两个数之和为偶数时两数恰为偶数的概率是（B）A.丄B.丄C.纟D._184528有5位旅

3、客去甲、乙、丙三个旅馆住宿，每位旅客选择去哪个旅馆是相互独立的，设其中选择去甲旅馆的旅客人数为X,则X的期望值是（B）C.2D.345A.B.339. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上一1-或向右，并且向上向右的概率都是，质点P移动5次后位于点（2,3）的概率是（B）1111A.（M）3B.C2（二）5C.C3（二）3D.c2C3（二）52525255210. 一射手对靶射击，每次命中的概率为0.6,命中则止,现只有4颗子弹，设射手停止射击时剩余子弹数为随机变量X,则P（X=0）=（C）A.0.430.6B.0.44C.0.43D.0二、填空题:写

4、不清,每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书模棱两可均不得分.10'1P121.'.3-1611.已知EB(n,p),且Eg=7,DE=6，则p等于12.已知X的分布列为，且Y=aX+3,D（Y）=5，则a为.313. 任意向（0,1）区间上投掷一个点，用x表示该点的坐标，则令事件A=x|0VxV*,B=xlVxV1，贝P(BIA)=g14. 袋中有大小相同的6只红球和4只黑球，今从袋中有放回地随机取球10次，设取到一只红球得2分，取到一只黑球扣1分，则得分的均值.215. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从09中任选一个。某人在银行自动3

5、10取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，（1）他任意按最后一位数字，不超过3次就按对的概率是.（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过3次就按对的概率是.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(I) 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率.(II) 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率128解：(I)这4个人中恰

6、有2人去参加甲游戏的概率P(A)C2()2()2二243327(II)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3°A4，由于A3与A4互斥，故P(3)=尸-P=V(护白+电(b=1.33$9所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为9.17. 某师范大学决定从n位优秀毕业生(包括x位女学生，3位男学生，x3)中选派2位学生到某贫困山区支教.每一位学生被派的机会是相同的.(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为*试求出n与x的值；(2)记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列.解:从n位优秀毕业学生中选派2位学生担

7、任第三批顶岗实习教师的总结果数为C2=nn1n2位学生中恰有1位女学生的结果数为CiO=(n3)X3.n33QQ和QQQ依题意可得n”33=ni=?化简得n211n+30=0,解得n=5,n=6.C2nn15i2n2当n=5时，x=53=2；当n=6时，x=63=3（舍），n=5故所求的值为A?n=5C0C2(2)当时，可能的取值为0,1,2X=0表示只选派2位男生，这时P(X=0)=百x=2C2310，一C1C13x=1表示选派1位男生与1位女生，这时p(x=1)="=5,5一C21X=2表示选派2位女生，这时P(X=2)=C2105X的分布列为：X012P_3_311051018

8、. 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为X,X,记E=(x3)2+(x3)2.1212(1) 分别求出E取得最大值和最小值时的概率；(2) 求E的分布列.解：(1)掷出点数x可能是：1,2,3,4.则x3分别得：一2,1,0,1.于是(x3)2的所有取值分别为：0,1,4.因此E的所有取值为：0,1,2,4,5,8.当x=1且x=1时，=(x3)2+(x3)2可取得最大值8,P(E=8)=+x£=2；12124416当x=3且x=3时，E=(x3)2+(x3)2可取得最小值0,1212p(=0)=4x4=16.(2)由

9、(1)知E的所有取值为：0,1,2,4,5,8.P(=0)=P(=8)=116；4当E=1时，(x,x)的所有取值为(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4)即卩代=1)=苗12164当E=2时，(x,x)的所有取值为(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4)即P(E=2)=齐;12162当2=4时，(x,x)的所有取值为(1,3)、(3,1).即P(E=4)=16；12164当2=5时，(x,x)的所有取值为(2,1)、(1,4)、(1,2)、(4,1)即P(E=5)=£.1216所以2的分布列为：2012458P丄1111丄1644841619. 人寿保险中(某一年龄段)

10、，在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元，经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是P,非意外死亡的概率为p2，(1)求保险公司的盈利期望；(2)a需满足什么条件,保险公司才可能盈利?解：(1)设2为盈利数,其概率分布为2aa30000a10000P1Pp2PPE2=a(1p1p2)+(a30000)p1+(a10000)p2=a30000p110000p2.(2)要盈利，至少需使2的数学期望大于零，故a>30000p+10000p2.20. 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟，

11、对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时.(I) 估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率.(II) X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.【解析】设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下:Y12345P0.10.40.30.10.1(I) A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”则事件A对应三种情形： 第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟； 第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个

12、顾客办理业务所需的时间为1分钟； 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1x0.3+0.3x0.1+0.4x0.4=0.22(II) 方法一:X所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5；X1X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X1)P(Y1)P(Y>1)+P(Y2)0.1x0.9+0.40.49；X=2对应

13、两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.1x0.10.01所以X的分布列为X012P0.50.490.01.EX0x0.5+1x0.49+2x0.010.51方法二：X所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X二2)二P(Y=1)P(Y二1)二0.1x0.1二0.01所以P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49所以X的分布列为X012P0.50.490.01.EX二0x0.5+1x0.49+2x0.01二0

14、.5121根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表:降水量XX<300300WX<700700WX900X2900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求：(I) 工期延误天数Y的均值与方差.(II) 在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.【解析】(I)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)=0.3,P(300WX700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700WX900)=P(X900)-P(X700)=0.9-0.7=0.2,所以P(X2900)=1-P(X900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为：Y02610P0.30.40.20.1于是,E(Y)=0X0.3+2X0.4+6X0.2+10X0.1=3;D(Y)=(0-3)2X0.3+(2-3)2X0.4+