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文档简介
1、1.【2012高考重庆文20】(本小题满分12分,()小问4分,()小问8分)已知直三棱柱中,为的中点。()求异面直线和的距离;()若,求二面角的平面角的余弦值。 【解析】()如答(20)图1,因AC=BC, D为AB的中点,故CD AB。又直三棱柱中, 面 ,故 ,所以异面直线 和AB的距离为():由故 面 ,从而 ,故 为所求的二面角的平面角。因是在面上的射影,又已知 由三垂线定理的逆定理得从而,都与互余,因此,所以,因此得从而所以在中,由余弦定理得2.【2012高考新课标文19】(本小题满分12分)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,ACB=90,AC=BC=AA1,D是棱A
2、A1的中点CBADC1A1()证明:平面BDC1平面BDC()平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.【答案】3.【2012高考陕西文18】(本小题满分12分)直三棱柱ABC- A1B1C1中,AB=A A1 ,=()证明;()已知AB=2,BC=,求三棱锥的体积【答案】 4.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分) 如图,直三棱柱,AA=1,点M,N分别为和的中点。 ()证明:平面; ()求三棱锥的体积。(椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积,h为高)5.【2012高考江苏16】(14分)如图,在直三棱柱中,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点求证:(1)平面平面;
3、(2)直线平面【答案】证明:(1)是直三棱柱,平面。 又平面,。 又平面,平面。 又平面,平面平面。 (2),为的中点,。 又平面,且平面,。 又平面,平面。 由(1)知,平面,。 又平面平面,直线平面6. (2013新课标)18(本小题满分12分)如图,直棱柱中,分别是的中点, ()证明:平面; ()求二面角的正弦值7. (2013新课标1卷18)如图,三棱柱中,ABCC1A1B1,(1)证明:;(2)若平面平面,,求直线与平面所成角的正弦值解:()取AB中点E,连结CE,AB=,=,是正三角形,AB, CA=CB, CEAB, =E,AB面, AB; 6分()由()知ECAB,AB,又面A
4、BC面,面ABC面=AB,EC面,EC,EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系,有题设知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),则=(1,0,),=(1,0,),=(0,), 9分设=是平面的法向量,则,即,可取=(,1,-1),=,直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为. 12分8.(2013北京卷理17)如图,在三棱柱中,是边长为的正方形,平面平面,.C1B1A1CBA(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值;(3)证明:在线段上存在点,使得,并求的值。 解:(I)因为AA1C1C为正方形,所以A
5、A1 AC.因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC.(II)由(I)知AA1 AC,AA1 AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABAC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系A,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),设平面A1BC1的法向量为,则,即,令,则,所以.同理可得,平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1BC1B1为锐角,所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(III)设D是直线BC1上一点,且. 所以.解得,.所以. 由,即.解得.因为,所以在线段BC1上存在点D,使得A
6、DA1B.此时,.9.(2013四川卷理19)如图,在三棱柱中,侧棱底面,分别是线段的中点,是线段的中点()在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;()设()中的直线交于点,交于点,求二面角的余弦值解:如图,在平面内,过点做直线/,因为在平面外,。在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知,/平面.由已知,是的中点,所以,则直线.因为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面. .6分解法一:连接,过作于,过作于,连接.由知,平面,所以平面平面.所以平面,则.所以平面,则.故为二面角的平面角(设为).设,则由,有,.又为的中点,所以为的中点,且,在中, ;在中
7、, .从而,所以.所以.故二面角的余弦值为. 12分解法二: 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).则,.因为为的中点,所以分别为的中点, 故,所以,.设平面的一个法向量为,则即故有从而取,则,所以.设平面的一个法向量为,则即故有从而取,则,所以.设二面角的平面角为,又为锐角,则.故二面角的余弦值为. 12分10. (2013湖南卷文17)如图,在直棱柱中,,是中点,点在棱上运动。ABCDA1B1C1E(1)证明:;(2)当异面直线所成的角为时,求三棱锥的体积。 解: () .(证毕)().11. (2013新课标2卷文18)如图,直三棱柱中,分别的中点。
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