非线性物理3-1(倍周期分岔到混沌、阵发性混沌)

1、第第3 3章章 走向混沌的道路走向混沌的道路 一个动力学系统运动的充分发展是进入混沌状一个动力学系统运动的充分发展是进入混沌状态。进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动态。进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动力学研究中的一个重要问题。力学研究中的一个重要问题。 混沌现象是一种普遍存在的复杂的运动形式。是确定论系统混沌现象是一种普遍存在的复杂的运动形式。是确定论系统所表现的内在随机行为的总称，其根源在于系统内部的非线性所表现的内在随机行为的总称，其根源在于系统内部的非线性交叉耦合作用，而不在于大量交叉耦合作用，而不在于大量 “分子分子” 的无规则运动。的无规则运动。 蝴蝶效应的姊妹效应很多，如

2、蝴蝶效应的姊妹效应很多，如“蚁穴效应蚁穴效应”、“蹄钉效应蹄钉效应”等等，这些效应都是混沌现象的例子。等等，这些效应都是混沌现象的例子。 “ “千里之堤，溃于蚁穴千里之堤，溃于蚁穴” ” “蚁穴效应蚁穴效应” ” 控制论的创立者维纳曾引用一首民摇对混沌现象作了生动控制论的创立者维纳曾引用一首民摇对混沌现象作了生动描述：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一描述：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。一场战斗；输了一场战斗，亡了一个

3、帝国。 “蹄钉效应蹄钉效应” ” 1平方映射的倍周期分岔道路2费根鲍姆常数3杜芬方程的倍周期分岔第一节第一节 由倍周期分岔走向混沌由倍周期分岔走向混沌 1. 倍周期分岔道路倍周期分岔道路 对平方映射的对平方映射的计算表明，随着计算表明，随着参数参数的增长，的增长，平方映射发生一平方映射发生一系列的系列的倍周期分岔。但倍周期分倍周期分岔。但倍周期分岔在一临界点岔在一临界点c =3.5699时终时终止。此后，每次迭代得到的值是止。此后，每次迭代得到的值是随机地出现的。随机地出现的。 = =3.7时，时，每次迭代计算得到的每次迭代计算得到的 xn 值既不趋向于零或稳定值既不趋向于零或稳定值，也不是重

4、复，而是随机地出现。随迭代计算将无限地延续下值，也不是重复，而是随机地出现。随迭代计算将无限地延续下去，迭代值偶尔出现先前得到过某个迭代值点附近，但并没有准去，迭代值偶尔出现先前得到过某个迭代值点附近，但并没有准确相同，于是在继续迭代计算中又很快地分离开来了，说明系统确相同，于是在继续迭代计算中又很快地分离开来了，说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。临界点以上的迭代计算 平方映射的平方映射的分岔图分岔图平方映射的平方映射的分岔分岔序列：序列： 分岔是在分岔是在=1=1处开始的，从处开始的，从这里迭这里迭代由零值进入到代由零值进入到单周

5、期运动，单周期运动，出现一次出现一次霍夫分岔；随后在霍夫分岔；随后在3处开始了倍周期处开始了倍周期分岔：分岔： 3.000 3.4495 ， 二周期循环二周期循环 ； 3.4496 3.5441 ， 四周期循环四周期循环 ； 3.5441 3.5644 ， 八周期循环八周期循环 ； 3.5644 3.56993.56443.56883.54413.56443.49953.54413 3.49951 31m m2费根鲍姆常数6692.4limn1n1nnk=mmmm5029.21+nn=dd 此外，他发现此外，他发现2n周期分岔的周期分岔的超稳定点之间的距离超稳定点之间的距离dn 之比也之比也趋

6、于一个常数趋于一个常数，称为费根鲍称为费根鲍姆第二常数。姆第二常数。费根鲍姆常数 2费根鲍姆常数 设设n n为第为第n 次分岔的次分岔的值，则相继两次分岔的间隔之比值，则相继两次分岔的间隔之比趋趋于一个常数，被称为费根鲍姆第一常数。于一个常数，被称为费根鲍姆第一常数。研究发现，对于所有在研究发现，对于所有在0，1区间内的单峰光滑映射，如正弦区间内的单峰光滑映射，如正弦映射、圆与椭圆映射等，都可计算得同样常数。而且许多包含映射、圆与椭圆映射等，都可计算得同样常数。而且许多包含耗散的非线性系统，只要发生倍周期分岔也会有同样的常数。耗散的非线性系统，只要发生倍周期分岔也会有同样的常数。 两个费根鲍姆

7、常数两个费根鲍姆常数 与与 都反映了非线性系统沿倍周期分岔都反映了非线性系统沿倍周期分岔系列通向混沌过程所具有的某种普适特性。可见费根鲍姆常数系列通向混沌过程所具有的某种普适特性。可见费根鲍姆常数具有普遍意义。具有普遍意义。 费根鲍姆常数的意义 2费根鲍姆常数大自然中存在一些普适常数，例如长度与直径之比的圆周率，大自然中存在一些普适常数，例如长度与直径之比的圆周率，反映物理量随时间衰变的自然对数反映物理量随时间衰变的自然对数e，反映物质微观量度的普朗，反映物质微观量度的普朗克常数克常数h，真空中光速，真空中光速c等，但普适常数为数不多，等，但普适常数为数不多，它们代表了它们代表了大自然运动所遵

8、循的某些规律大自然运动所遵循的某些规律。 费根鲍姆常数的发现说明在对自然规律的认识上又前进一步，费根鲍姆常数的发现说明在对自然规律的认识上又前进一步，它所包含的意义还有待进一步去发掘。它所包含的意义还有待进一步去发掘。杜芬方程杜芬方程的的倍周期分岔倍周期分岔tcos322Fxxdtdxdtxd= 倍周期分岔不仅在平方映射中存在，利布沙伯的液氦证明，倍周期分岔不仅在平方映射中存在，利布沙伯的液氦证明，在真实的物理学系统中，如在真实的物理学系统中，如LCR振荡、激光振荡等许多系统中振荡、激光振荡等许多系统中都存在，这里分析一下受驱杜芬方程中的分岔现象都存在，这里分析一下受驱杜芬方程中的分岔现象。一

9、个软弹一个软弹簧系统杜芬方程可以写成：簧系统杜芬方程可以写成：曾经分析过受驱杜芬方程的幅频特性是倾倒的。并且在曾经分析过受驱杜芬方程的幅频特性是倾倒的。并且在 w w 时时有个多值共振区。它的倍周期分岔与混沌也发生在这里。有个多值共振区。它的倍周期分岔与混沌也发生在这里。3杜芬方程的倍周期分岔杜芬方程：杜芬方程：设设=0.4,=1,=4, F=0.115，从小到大改变驱动频率，从小到大改变驱动频率 。 计算表明，在计算表明，在 0.8时，杜芬方程的解是反对称的极限环，极限环时，杜芬方程的解是反对称的极限环，极限环呈椭圆形状；呈椭圆形状； 当当 0.8时，极限环的反对称性虽然仍存在，但椭圆形状已

10、明显变时，极限环的反对称性虽然仍存在，但椭圆形状已明显变形。形。 当到达当到达 0.535处时出现对称性破缺，极限环分裂为两个周期处时出现对称性破缺，极限环分裂为两个周期 1 的的不对称极限环，这两个不对称的极限环互为反演。不对称极限环，这两个不对称的极限环互为反演。 在在 0.53杜芬方程的解开始倍周期分岔。由于两个吸引子在杜芬方程的解开始倍周期分岔。由于两个吸引子在 0.53保持互为反演，可以在观察保持互为反演，可以在观察 0.53时的分岔特性可以只考虑其中一个时的分岔特性可以只考虑其中一个极限环。极限环。杜芬方程杜芬方程的的倍周期分岔倍周期分岔tcos322Fxxdtdxdtxd=3杜芬

11、方程的倍周期分岔倍周期分岔倍周期分岔杜芬方程杜芬方程的的倍周期分岔倍周期分岔两个不对称极限环两个不对称极限环奇奇怪怪吸吸引引子子3杜芬方程的倍周期分岔第二节第二节 阵发性混沌阵发性混沌1. 1. 阵发性混沌现象阵发性混沌现象2. 2. 阵发性混沌机理阵发性混沌机理 自然界、科学实验乃至社会经济生活中，经常可以遇到突发自然界、科学实验乃至社会经济生活中，经常可以遇到突发性现象：太阳黑子、野生动物数量涨落、电子或激光振荡中的冲性现象：太阳黑子、野生动物数量涨落、电子或激光振荡中的冲击现象，社会经济中的例子是股市的涨落。在非线性科学中是否击现象，社会经济中的例子是股市的涨落。在非线性科学中是否相应的

12、现象呢？相应的现象呢？ 动力学系统经过突发性冲击现象进入随机的不规则的运动状态称为阵发性动力学系统经过突发性冲击现象进入随机的不规则的运动状态称为阵发性混沌混沌 (Intermittent chaos)。 1979年，法国数学家玻木年，法国数学家玻木(Pomeau)和曼维尔和曼维尔(Manneville)在计算洛论兹方程在计算洛论兹方程的的y分量时发现：分量时发现： 当瑞利参数当瑞利参数r在到达临界值在到达临界值rc附近时附近时y分量的周期性变化被一种随机的、突发分量的周期性变化被一种随机的、突发性的冲击所打断。当性的冲击所打断。当rrc时，系统处于长时间周期运动状态；当时，系统处于长时间周期

13、运动状态；当 r 刚超过阈值刚超过阈值 rc 时，开始偶尔出现一些突发性冲击；随着时，开始偶尔出现一些突发性冲击；随着 r 数值的逐渐增长，这种突发性数值的逐渐增长，这种突发性冲击越来越频繁，最后周期运动几乎完全消失，系统进入完全随机的运动状冲击越来越频繁，最后周期运动几乎完全消失，系统进入完全随机的运动状态。态。 1. 阵发性混沌现象阵发性混沌现象玻木和曼维尔的发现玻木和曼维尔的发现=xybzddzxzyrxddyyxddx)( x -对流的翻动速率，对流的翻动速率， y -比例于上流与下流液体比例于上流与下流液体之间的温差之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度是垂直方向的温度梯度， r -相

14、对瑞利数相对瑞利数 r = R/RC。 1. 阵发性混沌现象阵发性混沌现象洛论兹方程洛论兹方程 y 分量分量 rc 附近的附近的四个参数四个参数:一个一个 rrc 计算结果计算结果 b8/3， 10 时时 临界值临界值rc166.07阵发现象(洛论兹方程洛论兹方程)阵发现象(平方映射)平方映射在平方映射在=3.8285附附近的近的 xnn 时间序列。时间序列。1. 阵发性混沌现象阵发性混沌现象)1 (1nnnxxx=m平方映射的周期3窗口 在参数在参数3.5699时，平方映射时，平方映射是规则运动，但随是规则运动，但随发生一系列的发生一系列的倍周期分岔。倍周期分岔。 在在3.56994基本上是

15、混沌区，基本上是混沌区，其中有大小不一的窗口，这里仍其中有大小不一的窗口，这里仍规则运动，规则运动，=3.833.85间是一个间是一个较大的规则运动窗口。阵发性混较大的规则运动窗口。阵发性混沌发生在从混沌回到规则运动的沌发生在从混沌回到规则运动的边界附近。边界附近。=3.83附近附近平方映射的周期平方映射的周期3窗口窗口 2. 阵发性混沌机理阵发性混沌机理 阵发性发生在阵发性发生在 周期周期3 3 出现地点，即在出现地点，即在 =3.83 =3.83附近。在附近。在=3.84=3.84附近出现倍周期分岔，产生出周期附近出现倍周期分岔，产生出周期6 (36 (32)2)，周期，周期12(312(

16、32 22)2)，周期轨道，在周期轨道，在=3.85=3.85附近再次进入混沌。附近再次进入混沌。 为解释阵发性混沌机理，需要分析为解释阵发性混沌机理，需要分析平方映射在平方映射在= =3.83附近特性。附近特性。类似类似于周期于周期2，周期，周期 3 可由可由三次平方映射三次平方映射 f 3(x)产生。产生。 f 3(x)有四个不动点，一个由有四个不动点，一个由f (x)带来带来的不稳定不动点，另外三个与迭代线的不稳定不动点，另外三个与迭代线相切。切点处相切。切点处f 3(x)曲线的斜率为曲线的斜率为+1，是稳定性条件的最大值。是稳定性条件的最大值。 周期周期 3 3 轨道轨道)1 ()(1

17、nnnnxxxfx=m)()(12nnnxffxfx=)()()()(3123xfxfffxffxfxnnnn=2. 阵发性混沌机理阵发性混沌机理 稍许增大一点，稍许增大一点， , f 3(x)将越过切点与迭代线相将越过切点与迭代线相交为两个交点，产生出六个交点。相切点斜率为交为两个交点，产生出六个交点。相切点斜率为+1，每对相，每对相交的两个交点处斜率一个大于交的两个交点处斜率一个大于1，另一个小于，另一个小于1。 周期 3 轨道0tmm2. 阵发性混沌机理阵发性混沌机理 根据根据稳定性稳定性条件，斜率大于条件，斜率大于1的的轨道是不稳定的，小于轨道是不稳定的，小于1的是稳定的，的是稳定的，

18、即即f 3(x)有三个稳定不动点与三个不有三个稳定不动点与三个不稳定的不动点。它们分别给出一条稳定的不动点。它们分别给出一条稳定的周期稳定的周期3轨道，和一条不稳定的轨道，和一条不稳定的周期周期3轨道。不稳定的周期轨道。不稳定的周期3轨道已轨道已经退化。经退化。不动点稳定性分析不动点稳定性分析2. 阵发性混沌机理阵发性混沌机理 由每个切点产生出一对稳定的与不稳定的轨道是切分岔的特征。由每个切点产生出一对稳定的与不稳定的轨道是切分岔的特征。说明在说明在=3.83=3.83附近，平方映射中周期附近，平方映射中周期3 3轨道与切分岔紧密地联轨道与切分岔紧密地联系着。系着。 狭窄走廊中的迭代狭窄走廊中的迭代 将将略为减小一些，在略为减小一些，在f 3(x)与对角线的三个切点处，形成与对角线的三个切点处，形成一条狭窄走廊。一条狭窄走廊。f 3(x)进行迭代进行迭代成为在走廊中的行走。当某一成为在走廊中的行走。当某一轨道点落入某一走廊的入口处轨道点落入某一走廊的入口处时，在经过若干次迭代以后走时，在经过若干次迭代以后走到了走廊出口处，并从这里离到了走廊出口处，并从这里离开走廊，迭代的次数的多少决开走廊，迭代的次