物理学相关 吉大量子力学习题解答

1、第六章表象理论习题)1.应用8-函数的性质，证明傅立叶变化的两个定理：如果f(x)=g(k)eikxdx则(1) g(k)=Jsf(x)e-ikxdx2兀s(2) Js|g(k)|2dkJf(x)|2dxss2.试求“波包”函数屮(x)的傅立叶变换F(k)。屮(x)定义为屮(x)aeikx当-2-x-10其它情形3. ex是由坐标x构成的算符，写出它在坐标、动量表象中的表示式。4. 求线谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。5. 求在动量表象中线性谐振子能量本征函数。6. 求三维各向同性谐振子在动量表象中的能量本征值和本征函数。7. 设粒子在周期场V(x)二Vcosbx中运动，写出它在p表象中的

2、薛定格方程。08. 个电子被限制在一块电介质(无限大)平面的上方(x>0)运动，介质的介电常数为£，不可穿透。ae2(e1)按电象法可求出静电势能为V(x)=-，其中>0。设在动量表象中求电子的能级(E<0)a4(e+1)9.用动量表象计算粒子(能量E>0)对于8势垒V(x)二V8(x)的透射几率。010粒子处于8势阱V(x)二-V8(x)(V>0)中。用动量表象中的薛定格方程求解其束缚态的能量本00征值及相应的本征函数。11. 求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式，然后算出p2。用在坐标表象中氢原子波函数算出x2,x验证测不准关系。p2112. 已

3、知线谐振子哈密顿量H=+-m®2x2的本征方程为HIn>=EIn>，计算2m2n(1)<mIxIn>；(2)<mIx21n>；(3) <mIx31n>；(4) <mIx4In>。13. 在L表象中，求出z屮伸）=csin2申11屮伸)=CC0S2申22的矩阵形式。L为轨道角动量的z分量z14. 设已知在L和L的共同表象中，算符L和L的矩阵分别为zxyL=y-i求L和L的本征值和归一化本征函数，并将矩阵对角化。xy15. 设轨道角动量量子数l=1，试求L2,L的共同本征函数（答案要用球坐标r,0,（P作自变量）。x16. 有一

4、物理体系，其三维空间由三个正交基Iu，Iu，Iu来展开。现在考虑两个算符L和S，1 23x它们的定义为LIu=Iu，LIu=0，LIu=-Iuox11x2x33/SIu=Iu，SIu=Iu，SIu=Iuo132231是写出用基矢Iu，Iu，Iu来表示的代表算符L，L2，S，S2的矩阵。123xx17设矩阵A，B，C满足A2=B2=C2=I且BCCB=iA。（1）求证AB+BA=AC+CA=0；（2）在A表象中，求出B与C的矩阵（设无退化）18矩阵A与B满足A2=0，AA+A+A=I，B=A+A。（1）证明B2=B；（2）在B表象中求出A的矩阵表示。19。为了统一描述中子和质子，引用同位旋算符I

5、，设它的三个分量T，/的本征值都是土1,即T2=T'22=T2=1且同时满足如下关系123八八八八T'T'+T'T'=01221八八八八T'T'+T'T'=02 332八八八八T'T'+T'T'=03 113若T的本征值-1对应中子的态，+1对应质子态，试在T表象中，求33（1）T，T，T的矩阵表示；123（2）中子态和质子态的归一化本征矢。20.满足下列条件的n维矩阵U称为SU矩阵，即nU+U=UU+=I，detU=I试求SU的一般表示式。221设任何一个厄米矩阵能被一个幺正矩阵对角化，由

6、此证明，两个厄米矩阵能被同一个幺正矩阵对角化的充要条件是它们彼此对易。22证明若三个厄米矩阵A，B，C有如下对易关系：AB=BA，AC=CA，BC丰CB。则A的本征值必有退化。23.在由正交归一基矢Iu，Iu2，Iu所张的三维态矢空间中考虑一物理体系，算符H和B定义如下：'100''100、H=力3O0-10，B=b001、00-1,、010,式中化和B是实常数。（1）H和B是否厄米算符；（2）证明H和B可对易；（3）求H和B的共同本征矢。24用狄拉克符号证明以下定理：（1）厄米算符的本征值为实数；（2）非退化厄米算符的诸本征矢是相互正交的。25.对于任何两个代表不同状

7、态的态矢量I屮和19未归一化），试证明下列施瓦兹不等式I<屮19>I2<<屮I屮><919>。326从线性谐振子的基本对易关系a,a+=1出发，证明e久a+aae久a+a=e久a其中九为参数。对于九>0的情况，计算T(九)=Tre人+进而讨论算符a+a的本征值谱。27. 确定量子力学体系有一个二维希尔伯特空间的哈密顿量H描述。在此二维空间内引用正交归一基矢组11>和12>哈密顿矩阵是一个2x2矩阵'<11H11><11H12>)_(3A4iA'严21H11><21H12>)14

8、iA-3A丿其中A是实数。试求(1) 体系的能量本征值；(2) 体系的归一化能量本征态(用|1>和|2>表示)；(3)现在考虑含时间薛定格方程的解，假定t=0时19(0)>=12>,求t时刻体系处在态12(n>+i12>)的几率；(4) 在(3)的初始条件下，求体系的能量平均值。28. 证明矩阵的迹与表象的选择无关，即Y<uIAIu>=<tIA11>iijjij29.证明(1) det(AB)=detA*detB;(2) det(S1AS)=detA;(3) Tr(AB)=Tr(BA);(4) Tr(ABC)=Tr(BCA)=Tr(C

9、AB);(5)Tr(S1AS)=TrA30.已知'27ix/TInA=705k/351丿求A的行列式detA。31.证明下列各题：(1) 设为幺正算符|屮>,I屮>为两个任意态矢。经变换后，分别变为屮>,|屮>。证明变换前后ijij两矢量标积不变；(2) 设A为厄米算符，证明T=eiA是幺正的；(3) 若U，0均为幺正算符，证明其积亦为幺正的。32证明(1)在幺正变换下，一个厄米矩阵仍变为厄米矩阵，一个幺正矩阵仍变为幺正矩阵，对称矩阵会怎样？(2)工I<IIAIa>|2与基11>，Ia>的选取无关。al厂1033.已知算符A在自身表象中的

10、矩阵形式为A(A)=h000，且从某一表象B到A表象的幺正变换j)1巨01。试求(1)A在B表象中的本征值及本征矢;H0252)(2)A在B表象中的矩阵形式。34.1U垐U+设U为幺正算符U=2(U+U+)+i(2证明(1)设A，B的共同本征态为Iab>，本征值分别为a，b，则u=a+ib，|u|=1，即a2+b2=1。h1+itg21-itg2其中a=cosh，b=sinh，h为实数；1H1+itg2(2)U可以表为U=eiH=2H1th-235.证明(1) 若一个N阶矩阵与所有的N阶对角矩阵都对易，则必为对角矩阵；(2) 若一个N阶矩阵与所有的N阶矩阵都对易，则必为常数矩阵。36.已

11、知狄拉克表述中的右矢完备系10.>(i=1，2,n)，投影算符定义为°=I0><0I。iiii（1）证明兰=I,I为恒等算符;ii=1(2)若10>为正交归一化完备系，证明i诙=F=j'j0i丰j37.设<uIu>,<vIu>取有限值，证明TrIu><uI=<uIu>TrIu><vI=<vIu>38.某物理体系的态空间是三维的，该空间的正交归一基底为Iu，Iu，Iu，态矢I屮1230由下式定义Iu>+-12Iu2>+-Iu>231>=3求在此基底中表示投影到

12、I屮和I屮上的投影算符的矩阵形式P和P。010139. 利用狄拉克符号解下列各题：（1）证明（IuvI）+=IvuI，其中Iu，Iv是两个任意右矢和左矢；（2）证明投影算符P=I屮屮I是一个可观察量（I屮是任意已归一化的右矢）；屮写出I屮（3）设任意右矢I屮在基Iu上的分量为uI屮，在基It上的分量为tI屮。iihh在两基上的分量之间的变换关系。40. 设厄米算符HH的本征矢为，构成正交归一完备系。定义算符nnU（m,n）=IQQI）mn（1）计算对易子H，U（m,n）；（2）证明U（m,n）U+（p,q）=5U（m,p）；nq（3）计算TrU7（m,n）；（4）若算符A的阵元为A=QIAIQ

13、mnmn则有A=丫AU(m,n)mnmnA=TrAU+(p,q)pq41若体系的哈密顿量不显含时间，用矩阵方法证明在能量表象中有工(E-E)|xI2=磐nmnm2L!n42.设HHIna>=EIna>,E表示体系能量本征值，Ina>表示能量本征态，a是附加量子数，用来完nn全标志体系的状态。又设F是任意厄米算符，证明下列求和规律：工(E-E)I<naIFI0>|2=1<0|F垐H,F?I0>n02naI0>表示基态(能量为E)。043哈密顿量H=鼻+V(x)满足HIn>=EIn>。当k为实数时，求证2mn肾2k2(1)e"x

14、,H,e-ix=m(2)工(E-En)I<nIeix11>|2=主12ml44求连续性方程的矩阵表示式。45对一维谐振子，定义1v-'2!矗八八、(x+ip)八、ip)(1)求；b，b+(2)若HIn>=EIn>，E=(n+)力®,n=0,1,2且<nIn>=1，求b+bIn>=?bIn>=nn246设一维谐振子的态在其能量表象中为求力，X2，p2在该态的平均值。zp2u1，则振子的薛定格方程可写成12(P2+Q2)屮=£屮,£=E/力31）利用P，Q=-i，证明（P2+Q2）C土iP）屮二（£干n

15、）（Q土iP）n屮12这里n为非负整数。（2）3)利用（1）及能量本征值的非负性，求振子的能量和本征函数。令a=（qQ+iP）/迈,a+=（qQ-iP）/辽47振子的H=石+!°2x2，引入新变量P，Q，其中P=丽卩，Q=求a,a+=?；利用a+及基态波函数将第n个激发态表示出来。（4）求P，Q在能量表象中的矩阵元。48.反常波色子满足对易关系aa+-a+a=-1。定义真空a10>=o，<010>=1。求粒子数算符NN=-a+a的本征值和本征矢，并证明有些本征态模是负数。49描述量子力学体系的波函数遵从薛定格方程d八iI屮（t）>=HI屮（t）>St（1

16、）写出下述变换矩阵U（t,t。）的形式解：I屮(t)>=U(t,t。)I屮(t)>（2）利用薛定格方程证明U（t,t。）是幺正矩阵。50设一量子力学体系在t时刻的状态屮（t）与初始时刻t的状态屮（t。）通过屮（t）=U（t,t。）屮（t。）联系，根据薛定格方程证明其中H是体系的哈密顿量（厄米算符），并证明考虑初始条件U（t,to）=1后，上述微分方程与下述积分方程等价(1) U(t,t)=1-1tH(t')U(tt,to)dttt(2) U+(t,t)U(t,t°)=U(t,t)U+(t,t°)=13)4)U(t,t)U(11,to)=U(t,t。)51

17、求自由粒子坐标算符的海森堡图象。52已知自旋算符三个分量的矩阵表示为,Sy-1丿0丿求在磁场B_G0,B）中，海森堡图象下自旋算符的表示式（设H_-庆）S-B。2mc第七章自旋与角动量加法习题）1在b表象中，求b与b的本征值与本征矢。xxy2在b表象中，求算符b与b的本征值与本征矢。xyx3在表象中，求b-n的本征值与本征矢。n（sin0cos申,sin0sin申,cos申）是,申）方向的单位矢量。x4在自旋态X1/2_下，求AS2与AS2oxy5. 求在Sx的本征态下，S沿与z轴成0角的方向上的分量平均值为mcos0。x6. 设氢原子的状态是（1、-R（r）Y（0,申）22111屮_冷-R（

18、r）Y（0,申）V22110丿（1）求Lx与Sx的平均值;xx（2）求总磁矩MM_命L讦S的z分量的平均值。7设体系由两个自旋为1/2的粒子组成，其哈密顿量为H=A(c+c)+Bcc1x2x12其中bJb2分别为粒子1与粒子2的泡利矩阵，A，B为常数，求体系H的本征值。8两个自旋1/2的粒子A与B形成一个复合体系，设A，B之间无相互作用，若A处于sx=2力态，B处于s=1力态，求该体系处于单态的几率。x29.设由两个自旋s=1/2的粒子构成的体系，若体系处于两个粒子自旋态分别为（e）cose-Q/22.esme<Q/22丿的态下，求体系分别处于单态与三重态的几率。10一具有两个电子的原子

19、，处于自旋单（s=0）。证明：自旋轨道耦合作用V=g（r）SL对能量无贡献。11证明任何2x2的厄米矩阵均可表示成泡利矩阵b,c,c和单位矩阵I二xyzr10'的线性组合。13证明12证明：t,A2iAxc,其中A是与b对易的矢量算符。(1)e九乐-chk+csh九z2)ekcxce-kcz=cch(2k)+csh(2k)xxy其中九为参数,b,b,b为泡利矩阵。xyz14证明已知Si=?c,c（1,2,3）是泡利矩阵，满足cc二ic（i,j,k是1，2，3的顺序轮换）。2iiijk15证明：e/ex=eie丿，其中bx为泡利矩阵。16设九为实数，”为9）方向单位矢量。证明ex”ce”

20、=nc+(nxc)xncos2九+nxbsin2九n17计算(1)TrlexpCc-A)(2)Trtxp(ioA)exp(ic-B)其中A,B为实常数矢量，c为泡利矩阵。18.设J为角动量算符，J+=J+iJ(取方=1)。证明xy1)JJzJJz(、nJ1x丿(n=0,1,2)(、(2)expi九JJexp-i九JxxV丿、=Jcos九一Jy19定义算符二l+1+c-L二l+c-LP+=P-=i2l+1i2l+1证明：伽；j=l+1/20Jj=l-1/2P+ljm:=sin九(力=1).I0j=l+1/2Pll叫=|ljmj=l=1/2其中j,m,l分别是总角动量J2及其z分量J和轨道角动量L

21、的量子数。jxz20.令P=2(1+c-n),n为任意方向单位矢量。证明：P2=P。21.令P=丄(1c)2z(1)证明：P+P=1+=P2=P，P2=P，PP=PP=0+-+-+(a(a(a(0、3)证明：P+VbJ=V0丿，P-VbJ=vb丿(2)在c表象中，写出P的矩阵形式。x22.定义c=cicxy(1)计算c，c，c，c+-x(2)证明c2=c2=0其中九为常数,e九oz=cre九$e±2九b为泡利矩阵。23证明：2192)2=3-2(b192)'并利用此结果求b1P2的本征值。n2八八八24证明：S2=亍3+b12)'其中S=争S2'继而求(1)

22、oC的本征值；12(2) 证明：ooX二121m1mssoocx=3x12000025. 令S=3(or)(or)/r2(oo)(取h=1),其中r=r+r，证明12121212S=6(Sr)2/r22S21226. 试用L算符计算出L,L，在L2,L的共同表象中的矩阵形式(设l=1,三个基矢顺序为Y,±xyz11Y,Y)若体系处在L=h的状态，求此时测量L的可能取值和相应的几率。1011xx27. 设粒子处于屮=c(x+y+2z)e-sa>0所描述的状态，其中c是归一化常数。求(1) L的取值，L的平均值及l=h与的几率；xxx(2) L的可能取值及相应的几率。x28. 已知

23、电子的波函数为屮(r,6,9,s)二R(r)Y(6,9)申x101/2求总角动量J2，J的可测值及相应几率(取h=1)。z29. 个自旋为1。电荷为-e的粒子处于均匀磁场B=Be中，其哈密顿量为zeH=卩B=B.Smct=0时自旋沿着x轴并等于h(即波函数为S的一个本征函数)。x(1) 求t>0时波函数；(2) 从作为时间函数的s和s的期待值出发，说明自旋的进动并确定其频率。xy30. 设两个电子沿z轴处于固定位置，体系哈密顿量为H=c(S-S-3S-s)121x2x其中c为常数，求H的本征值及其简并度。31. 两个距离固定为R的电子体系，其哈密顿量为cR3(G)-12R)其中c为常数，

24、t=0时一个电子的自旋平行于R，而另一个反平行于R；一段时间后，二者的自旋均反转(即与R平行的变为反平行，而反平行的变为平行的)，试计算这一时间。32. 考虑自旋为1/2的系统，求出算符aS+bS的本征值及本征函数，其中A，B为实常数。假定yX二力此系统正处在以上算符的一个本征态上，求测量s得三的几率。y233. 设体系总角动量算符为J，J2与J的共同本征矢为Ijm>，当j=1时x(1) 在I11>,I10>,I1-1>为基矢的空间中求出J2，J的矩阵表示。x(2) 求出J2，J的共同本征矢I1m>。xxx1(3) 若体系处在I屮>=逅(I11>+I1

25、-1>)态上，求：(i) 同时测量J2与J的可能取值与相应几率；x(ii) 在I屮>态上测量J得方时，体系处于什么状态上？x(iii) 在2>态上J的平均值。y34. 算符A的分量满足对易关系A，A=注A，已知A在自身表象中是对角矩阵,对角矩阵元中土3xyxx各出现一次，土5/2各出现5次，土2各出现二次，土1各出现10次，土1/2各出现20次，0出现25次。问(1) A表征什么物理量？(2) A2二A2+A2+A2可取什么值？每个值重复次数是多少？xyz(3)如何理解重复现象？35. 设电子在B=Be的磁场中运动，=0时处在s=力/2态上，若将磁场方向突然转向(即B=Be)

26、,0zz0x求t>0时测量s二方/2的几率。X37自旋为1/2的粒子，处于阱宽为a的无限深势阱中。若t=0时处于屮(x,s,0)/、2.n兀-宀c态下，其中屮(x)二smx(n=1,2,3,)求nVaa(1)测量能量的取值几率；(2)W(s二方/2,0)二?它等于W(s二方/2,t>0)吗？为什么？z38证明1)叫Jz1加i当j=l+1/2时;叫Sz1加i=-丙叫八叫当j=l-1/2时。39. 分别j=l+1/2,j=l-1/2两种情况，求加|2L-S|加。ii40. 对于无相互作用的三个中子构成的体系，令a,卩分别表示单个中子的自旋向上和向下本征态。ISM表示该体系总自旋平方S2

27、及z分量S的共同本征函数，并取方=1。sz(1) 证明a(1)a(2)a是S2，S的本征函数，并给出本征值。z(2) 给出该体系的自旋空间的维数。(3) 求出该体系的全部ISM的具体表示式。s41.自旋为1/2,磁矩为M=YS(其中Y为常数)的粒子，处于均匀外磁场B=Be中。设t=0时,0y粒子处于s二方/2的状态，求：z(1) t>0时刻的波函数IV(t)=?(2) t>0时，S，S，S的平均值。xyz42电子处于均匀外磁场B=B0ex中，电子的磁矩为e力2mc其中b为泡利矩阵。设丫=0时，电子的自旋沿2轴的正方向，t=t1>0时，电子的自旋沿y轴正方向。求:(1) 当tt

28、时，电子至少需要多长时间，其自旋沿着y轴的正方向？1兀/eB、(2) 当t=0)时，电子自旋方向沿着z轴正方向的几率。8®2mc44. 考虑一个处于p轨道的电子，写出总角动量J2,J的本征函数。p轨道波函数用u(r),u(r)x10和u(r)表示，自旋波函数用a和卩表示，其中a和卩分别代表自旋向上和向下的态。-145. 自旋为1(取方=1)的两个粒子，总自旋为S二S+S，求S2，S的共同本征态。12z46. 两个自旋为s的全同粒子体系，对称的与反对称的波函数各有几个？s=1/2与s=3/2的情况下，对称与反对称的波函数各有几个？47. 质量为卩，电荷为q，自旋为0的非相对论性粒子，在

29、均匀磁场B=Vxa中运动，求能量本征值。48. 一质量为卩，电荷为q的粒子在方向相互垂直的均匀电场E和均匀磁场B中运动，求能量本征值和本征函数。49. 有一个定域电子(作为近似模型，可不考虑轨道运动)，受到均匀磁场作用，磁场B指向正x方向，磁作用势为AeBge力BH=S=cpcx2pcx1入设t=0时电子的自旋“向上”即s=入，求t>0时S的平均值。x250. 某个自旋力/2的体系，磁矩p=pc，t0时处于均匀磁场B中，B指向正z方向；tN0时。00再加一个旋转磁场B(t)，其方向于z轴垂直，1B(t)=Bcos2®te-Bsin2®e11。11。2其中=pB/力。已

30、知t<0时体系处于s=力/2的本征态x，求t>0时体系的自旋波函数以及自旋。°°z1/2反向所需时间。第十一章多体体系及多电子原子(习题)1。有三个全同粒子，每个粒子可有单态为6个，问：(1) 若粒子为费米子，体系有几个可能状态？(2) 若粒子为波色子，体系有几个可能状态？2. 设有两个全同的自由粒子，均处于动量本征态(本征值为方k，方k),试分别对以下三种情况讨论它a卩们在空间相对位置的几率分布：（1）没有交换对称；（2）交换反对称；（3）交换对称。3. 证明对于多粒子体系，如果不受外力作用，则总动量P=P守恒。P为第I个粒子的动量算符。iii4. 证明对于多

31、粒子体系，如所受外力矩为零，则总角动量L=丫L是守恒量。L.为第I个粒子的角动量iiI算符。5. n个粒子组成的体系，处于下列外场中，指出哪些力学量（例如动量、能量、角动量、宇称等，或它们的组合）是守恒量：（1）自由粒子（无相互作用，也不受外力）；（2）无限、均匀柱对称场；（3）无限、均匀平面场；（4）中心力场。6. 设两个电子处于同一单粒子能级E，试根据角动量耦合理论，证明总角动量/二J+J的量子数Jn,l,j12只能取偶数。7. 设有两个电子，自旋态分别为X（S），x（S），求两个电子处于自旋单态（s=0）及三重态（s=1）1/21x1/22x的几率。8. 设两个自旋为的全同粒子组成一个体

32、系，体系的对称自旋波函数有几个？反对称自旋波函数有几个？若对一般自旋为s的全同粒子组成的体系，对称及反对称的自旋波函数各有几个？9. 试论证：N个电子组成的体系的总自旋平方算符属于最大本征值的所有本征函数都是对称的。10. 假定质子和中子的相互作用势可以近似地用方位阱Vr<BV（r）J00r>B表示，其中r是质子和中子之间的距离。视质子和中子的质量近似相等，均为M，它们的自旋均为1/2,问？（1）若取B=2x10-15m，已知()2一=1.02x10-26MeV.m2mV4至少要多大才能使中子和质子结合成氘核？0（2）实验发现氘核的总角动量量子数J=1而不是0,这一事实和上面用简单

33、的核力位所得的结果有没有矛盾？怎样才能解释这一现象？11. 考察两个质量均为m的粒子组成的一个物理体系，它们同处于无穷深阱（宽为a）中，若两个粒子不是全同粒子，则（1）求体系总哈密顿量的本征值和本征函数，并给出最低两能级的退化度；（2）假设T=0时，体系处于状态I屮(0)1>=苫申>+11申+2122(a)求体系t时刻的波函数；(b)测量总能量所可取的值和相应的几率；(c)测量粒子1的能量的可能取值和相应的几率；(d)计算在叩(0)>,1屮(t)>下H(1)的平均值，两种态下所得的结果一样吗？为什么？若两粒子全同，试给出问题(1)和问题(2)中(a)问的答案。12两个自旋1/2的粒子组成的体系，其哈密顿量为八八八H=oS+oS1122(1) 若t=0时，体系处于屮(0)>=2|+>的状态下，求t=0时，总自旋平方算符S2及自旋z分量S的可能值和相应的几率。z(2) 若t=0时，状态波函数为I屮(0)>=丄I+->+|-+>+|+->+|-+>I问：S2的平均值<S2>包含哪些频率？何时<S2>最大？何