概率分布期望方差汇总

1、1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位设与座位编号相同的学生的个数是X.（1）求随机变量X的分布列；（2）求随机变量X的数学期望和方差.21解（1）P（X=0）=-；A333C-P（X=1）=3=；P（X=3）=A332A33随机变量X的分布列为X013111P326）=仆+%十=1，d（x）=（i-o）23+（1-1）2+（3-1）2十九2某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，

2、令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：1）X的分布列;解（1）X的所有可能取值为（9、3729P（X=0）=；110丿10001（9A29P（X=10）=X+X10110丿10119P（X=20）=XC1XX1021010919P（X=50）=X=;101021000P（X=60）=1=1.X的均值.，10，20，50，60.-9243C-XX=2-0-0-00018=1000-03-000故X的分布列为X010205060P729243189110001000100010001000729243189(2)E(X)=0X+10X+20X+50X+60X1000100010001000=

3、3.3（元）.10003（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y75807770811）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x,y满足x±175，且y三75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数E的分布列极其均值（即数学期望）。解：(1)98二7,5x7

4、二3514即乙厂生产的产品数量为35件。2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的2优等品故乙厂生产有大约35x2二14（件）优等品,C1xC132C25二3,P(g=2)二C25C25（3）g的取值为0,1,2。哙。)=C25所以g的分布列为g012P3314故g的均值为Eg二0x+1x一+2x+=一.105105一湖南理18(本小题满分12分)某商店试销某种商'品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品一件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至一件，

5、否则不进货，将频率视为概率。(I) 求当天商品不进货的概率；(II) 记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。一解(I)P“当天商品不进货”=P“当天商品销售量为0件”)+P15一“当天商品销售量为1件”)20+2010.(II)由题意知，X的可能取值为2,3.51P(X2)P“当天商品销售量为1件”)20一；P(X3)P“当天商品销售量为0件”)+P“当天商品销售量为2件”)+P“当天商品销售量为一件”)1953+202020一故X的分布列为X23P131311X的数学期望为EX2x+3x一一一5、江西理16本小题满分12分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，

6、以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望。（本小题满分12分）解：（1）X的所有可能取值为：0,1,2，3,4C1C4-iP（X二i）=一（i=0,1,2,3,4）C45即X01234P116361617070707070（2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所

7、有可能取值为2100,2800，3500贝0P（Y=3500）=P（X=4）=708P（Y=2800）=P（X=3）=3553P（Y=2100）=P（X<2）=-70EY=3500x丄+2800x16+2100x53=2280.707070所以新录用员工月工资的期望为2280元.6、辽宁理（19）（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数

8、学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据X,x,x的的样本方12ns2二(X-x)2+(X-x)24卜(X-x)2，其中x为样本平均数.n12n6解：(I)X可能的取值为0，1，2，3，4，且P(X=0)=C4=命8P(X=1)=C1C344C4835P(X2)C2C2=2)=44C4818

9、35P(X=3)=P(X=4)=C3C1844=C43581_1C_70.8即X的分布列为X01234尸±70t84分X的数学期望为181881E(X)=0x+1X+2X+3X+4x=2.70353535706分(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：1x二(403+397+390+404+388+400+412+406)二400,甲8S二-(32+(3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62)二57.25.甲88分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：1x二(419+403+412+418+408+423+400+413)二412,乙8S

10、2二1(72+(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+匕)二56.乙810分由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.7、山东理18(本小题满分12分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A,乙对B,丙对C各一盘，已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。(I) 求红队至少两名队员获胜的概率；(II) 用E表示红队队员获胜的总盘数，求E的分布列和数学期望Eg.7解：(I)设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,则D,E,F分别

11、表示甲不胜A、乙不胜B,丙不胜C的事件。因为p(D)二0.6,P(E)二0.5,P(F)二0.5,由对立事件的概率公式知P(D)=0.4,P(E)=0.5,P(F)=0.5,红队至少两人获胜的事件有DEF,DEF,DEF,DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因止k红队至少两人获胜的概率为P=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)=0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.55.一一(II)由题意知匕可能的取值为0,1,2,3。又由(I)知DEF,DEF,DEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立

12、,因此P&=0)=P(DEF)=0.4x0.5x0.5=0.1,P(g=1)=P(DEF)+P(DEF)+P(DEF)=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=0.35P(g=3)=P(DEF)=0.6x0.5x0.5=0.15.由对立事件的概率公式得P(g=2)=1-P(g=0)-P(g=1)-P(g-3)=0.4,所以g的分布列为:g0123P0.10.350.40.15因此Eg=0x0.1+1x0.35+2x0.4+3x0.15=1.6.20.解（I）A.表示事件“甲选择路径L.时，40分钟内赶到火车站”B.iii表示事件“乙选择路径L.时，50分

13、钟内赶到火车站”i=1,2用频率i估计相应的概率可得P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5，Tp(A/P(A2),甲应选择LiP(B1)=01+02+03+02=08，P(B2)=01+04+04=09，12叮p(b2)p(bi),乙应选择L2212(II)A,B分别表示针对(I)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(I)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由题意知，A,B独立，P(X=0)=P(AB)=P(A)P(B)=0.4x0.1=0.04P(X=1)=P(AB±AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.4x0.9

14、+0.6x0.1=0.42P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6x0.9=0.54.X的分布列为X012P0.040.420.54EX=0x0.04+1x0.42+2x0.54=1.5.8、四川理18(本小题共12分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为丁，怎；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，丁；4224两人租车时间都不会超过四小时。(I) 求甲、乙两人所付租车费用相

15、同的概率；(II) 求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量E,求的分布列与数学期望E：；8解析：(1)所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为P=1-1=1，付21428111111元为P二C./!=O，付4元为P=/./=让224834416则所付费用相同的概率为P二P+P+P二¥12316(2)设甲，乙两个所付的费用之和为g,g可为024,6,811115442216P(g_4)_111421115+._42416P(g_6)_4.4+2.4_316P(g_8)_4.41655917_III_84822g02468P1553186分布列Eg9、天津理16(本小题满分13分)学校

16、游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(I)求在1次游戏中，(i) 摸出3个白球的概率；(ii) 获奖的概率；(II)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)9本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.(I)(i)解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件A=(i=0丄2,3),i则C2C11P(A/二

17、3-2=C2C2553(ii)解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B=A2UA,'又C2C2C1C1C11P(A)=亠-2+2_2=,2C2C2C2C225353117且A2,A3互斥，所以P(B)=P(A)+P(A)=+=-23232510(II)解：由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=(1-)2=10P(X=1)=C1(1-厶=,2101050P(X=2)=(?)2=1049而49100所以X的分布列是X012P9214910050100X的数学期望E(X)=0x2+lx21+2X的数学期望'丿1005010重庆理17.(本小题满分13分)(I)小问5分

18、，(II)小问8分)某市公租房的房源位于A,B,C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：(I) 恰有2人申请A片区房源的概率；(II) 申请的房源所在片区的个数E的分布列与期望10.(本题13分)解：这是等可能性事件的概率计算问题.(I)解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式Cj22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为C2-2284=-3427解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.记“申请A片区房源”为事件A,则P(A)二3.从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率

19、计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为12P4(2)二邛3)2(3)227(IDE的所有可能值为1,2，3.又31哙D=34=可'34P(g=2)=C32(C2CTC；CP=(2008全国I理，20)已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验，直到能确定患病动物为止.方案乙:先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这(或P(g=2)=C；(24-2)143427P(g=3)=4=4(或P3)=空3652734934综上知，E有分布列§

20、123P114427279从而有EE=1x丄+2x14+3x-二272793只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;(2)g表示依方案乙所需化验次数，求g的期望.解(1)设g、g分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示对应的概12率，则方案甲中g的分布列为，gl1234141143114322PX=XX=XX=554554355435方案乙中g2的分布列为g2123P0C2x丄+C4=3C53*c55C4X2=2C535若甲化验次数不少于乙化验次数，则P=P(g=1)Xp(g

21、=1)+P(g=2)Xp(g=1)+P(g=2)+P(g=3)X121221P(g=1)+P(g2=2)+P(g=3)+P(g=4)222113132218=0+X(0+)+X(0+)+=0.72.555555253212(2)E(g)=1X0+2X+3X=一=2.4.55512.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为1与p,且乙投2球2次均未命中的概率为丄.16(1) 求乙投球的命中率p;(2) 若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为g，求g的分布列和数学期望.解(1)设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B.由题意得(1-P(B)2=(1-p)1

22、2=-16113由题设和知P(A)=2'P(A)=2，P(B)=；1P(B)=丄.4g可能的取值为0,1,2,3,故1p(g=0)=P(A)p(BB)=X2132P(g=1)=P(A)P(BB)+C12P(B)P(B)P(A)+2X1 =72 32p(g=3)=P(A)P(BB)=丄X2932P(g=2)=1-P(g=0)-P(g=1)-P(g=3)=15.32g的分布列为g0123P32321532g的数学期望E(g)=0X+1X+2X15+3X2=2.3232323213.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽取一个,并且取出不再放回，若以g和n分别表示取出次

23、品和正品的个数.(1) 求g的分布列、期望值及方差；(2) 求n的分布列、期望值及方差.解(1)g的可能值为0,1,2.若g=0,表示没有取出次品，其概率为：P(g=0)C132611同理,有P(g=1)go=2.C13222P(g=2)C132122g的分布列为:g012P_6_9_丄112222.E(己)=°x12込s士=2-6丄29丄+1-X+2-11122212丿D(g)=(0-)2X22X丄2239915+二-22888844H的可能值为1,2,3,显然g+n=3.p(n=i)=p(g=2)=i22,P(n=2)=P(g=1)=922p（n=3）=p（g=o）=+.n的分布

24、列为：n123P丄_9_6222211E（n）=E（3-g）=3-E（g）=3-=-.22n=-g+3,.d（n）=（-1）2D（g）=.4414. 某地区的一个季节下雨天的概率是0.3,气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨,若下雨而不做处理,每天会损失3000元,若对当天产品作防雨处理,可使产品不受损失,费用是每天500元.（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失g的分布列，并求其平均值；（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以n表示每天的损失，写出n的分布列.计算n的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？解（1）设g为损失数，分布列为：g03000P0

25、.70.3.E(g=3000X0.3=900(元.(2)设n为损失数，则P(n=0=0.7X0.8=0.56.P(n=500)=0.3X0.8+0.7X0.2=0.38.P(n=3000=0.3X0.2=0.06.分布列为：n05003000P0.560.380.06.E(n)=0+500X0.38+3000X0.06=370平均每天损失为370元.370V900,.按天气预报作防雨处理是正确的选择.15. (2008湖北理，17)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球，g表示所取球的标号.(1) 求g的分布列、期望和方差；(2