电磁场与电磁波课件之时变电磁场

1、第第 4 4 章章 时变电磁场时变电磁场P172P172 随时间变化的电磁场称为随时间变化的电磁场称为时变电磁场时变电磁场。 时变电磁场与静态的电场和磁场有显著的差别，出现一些由于时变而时变电磁场与静态的电场和磁场有显著的差别，出现一些由于时变而产生的效应。这些效应有重要的应用，并推动了电工技术的发展。产生的效应。这些效应有重要的应用，并推动了电工技术的发展。 M. M.法拉第提出的法拉第提出的电磁感应定律电磁感应定律表明，磁场的变化要产生电场。这个电表明，磁场的变化要产生电场。这个电场与来源于场与来源于库仑定律库仑定律的电场不同，它可以推动的电场不同，它可以推动电流电流在闭合导体回路中流动，

2、在闭合导体回路中流动，即其环路积分可以不为零，成为感应电动势。现代大量应用的电力设备和即其环路积分可以不为零，成为感应电动势。现代大量应用的电力设备和发电机发电机、变压器变压器等都与电磁感应作用有紧密联系。由于这个作用。时变场等都与电磁感应作用有紧密联系。由于这个作用。时变场中的大块导体内将产生中的大块导体内将产生涡流涡流及及趋肤效应趋肤效应。电工中。电工中感应加热感应加热、表面淬火表面淬火、电电磁屏蔽磁屏蔽等，都是这些现象的直接应用。等，都是这些现象的直接应用。 继法拉第电磁感应定律之后，继法拉第电磁感应定律之后，J.C.J.C.麦克斯韦麦克斯韦提出了提出了位移电流位移电流概念。电概念。电位

3、移来源于位移来源于电介质电介质中的带电粒子在电场中受到电场力的作用。这些带电粒中的带电粒子在电场中受到电场力的作用。这些带电粒子虽然不能自由流动，但要发生原子尺度上的微小位移。子虽然不能自由流动，但要发生原子尺度上的微小位移。 麦克斯韦将这个名词推广到真空中的电场，并且认为；电位移随时麦克斯韦将这个名词推广到真空中的电场，并且认为；电位移随时间变化也要产生磁场，因而称一面积上电通量的时间变化率为位移电流间变化也要产生磁场，因而称一面积上电通量的时间变化率为位移电流, ,而电位移矢量而电位移矢量 的时间导数为的时间导数为位移电流密度位移电流密度。它在安培环路定律中，除。它在安培环路定律中，除传传

4、导电流导电流之外补充了之外补充了位移电流位移电流的作用，从而总结出完整的电磁方程组，即著的作用，从而总结出完整的电磁方程组，即著名的名的麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组，描述了电磁场的分布变化规律。，描述了电磁场的分布变化规律。 D 麦克斯韦方程表明，不仅磁场的变化要产生电场，而且电场的变化麦克斯韦方程表明，不仅磁场的变化要产生电场，而且电场的变化也要产生磁场。时变场在这种相互作用下也要产生磁场。时变场在这种相互作用下, ,产生电磁辐射产生电磁辐射, ,即为即为电磁波电磁波。 这种电磁波从场源处以光速向周围传播，在空间各处按照距场源的这种电磁波从场源处以光速向周围传播，在空间各处按照距场源的远近有

5、相应的时间滞后现象。电磁波还有一个重要特点，它的场矢量中远近有相应的时间滞后现象。电磁波还有一个重要特点，它的场矢量中有与场源至观察点间的距离成反比的分量。这些分量在空间传播时的衰有与场源至观察点间的距离成反比的分量。这些分量在空间传播时的衰减远比恒定场为小。按照减远比恒定场为小。按照坡印廷定理坡印廷定理，电磁波在传播中携有能量，可以，电磁波在传播中携有能量，可以作为信息的载体。这就为作为信息的载体。这就为无线电通信无线电通信、广播广播、电视电视、遥感遥感等技术开阔了等技术开阔了道路。道路。 时变场中不同于静态场的上述一些现象，其显著程度都与时变场中不同于静态场的上述一些现象，其显著程度都与频

6、率频率的高的高低及低及设备的尺寸设备的尺寸紧密相关。按照实际需要，在允许的近似范围内，对时变紧密相关。按照实际需要，在允许的近似范围内，对时变场的部分过程可以当作恒定场处理，称之为场的部分过程可以当作恒定场处理，称之为似稳电磁场似稳电磁场或或准静态场准静态场。这种。这种方法使分析工作大为简化，在方法使分析工作大为简化，在电工技术电工技术中是行之有效的方法，已为人们所中是行之有效的方法，已为人们所广泛采用。广泛采用。时变电磁场还可以进一步分为周期变化的时变电磁场还可以进一步分为周期变化的交变电磁场交变电磁场及非周期性变化及非周期性变化的的瞬变电磁场瞬变电磁场。对它们的研究在目的上和方法上有一些各

7、自的特点。对它们的研究在目的上和方法上有一些各自的特点。交变电磁场在单一频率的正弦式变化下，可采用交变电磁场在单一频率的正弦式变化下，可采用复数复数表示以化简计算，表示以化简计算，在电力技术及连续波分析中应用甚多。在电力技术及连续波分析中应用甚多。 瞬变电磁场又称脉冲电磁场，覆盖的频率很宽，介质或传输系统呈瞬变电磁场又称脉冲电磁场，覆盖的频率很宽，介质或传输系统呈现出色散特性，往往需要采取频域、或时序展开等方法进行分析。现出色散特性，往往需要采取频域、或时序展开等方法进行分析。 时变电磁场时变电磁场 波动方程波动方程 位函数及其微分方程位函数及其微分方程 时变电磁场能量时变电磁场能量 能流能流

8、 坡印廷定理坡印廷定理 时变电磁场时变电磁场 时谐电磁场（正弦电磁场）时谐电磁场（正弦电磁场） 时变电磁场比静态电磁场要复杂得多，主要表现在：时变电磁场比静态电磁场要复杂得多，主要表现在： 时变电磁场之间相互激励而具有的波动特性，波动使时变电磁场时变电磁场之间相互激励而具有的波动特性，波动使时变电磁场的叠加不仅要考虑矢量的方向，同时还要考虑波相位对叠加的影响；的叠加不仅要考虑矢量的方向，同时还要考虑波相位对叠加的影响； 电磁场的大小和方向随时间而变化，将导致介质的极化和磁化特电磁场的大小和方向随时间而变化，将导致介质的极化和磁化特性随时而变，使介质呈现色散特性等等。性随时而变，使介质呈现色散特

9、性等等。t EHt HE 0 H0 Et DJHt BE 0 B D由麦克斯韦方程组微分形式由麦克斯韦方程组微分形式00J1. 1. 建立建立电磁场的波动方程电磁场的波动方程( (无源无源空间空间) )在在无源无源空间，空间， 、 ，线性、各向同性的均匀，线性、各向同性的均匀理想理想媒质中媒质中00J电磁场的波动方程，提示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。电磁场的波动方程，提示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。P172P172HEt EHt HE ) () ( HEt0) ( 22tEEEEE2)() ( 0222tEE0 EP172P1720222tHH0222tEE同理同理

10、无源无源空间中空间中 的波动方程的波动方程无源无源空间中空间中 的波动方程的波动方程EHP173P173 静态电磁场可通过位函数满足的方程进行求解，并且可以得到简化。静态电磁场可通过位函数满足的方程进行求解，并且可以得到简化。时变电磁场能否引入势函数，通过势函数满足的方程来求解，达到求解时时变电磁场能否引入势函数，通过势函数满足的方程来求解，达到求解时变电磁场的目的呢变电磁场的目的呢?022222222tEzEyExExxxx022222222tEzEyExEyyyy022222222tEzEyExEzzzz在直角坐标系下，分解为三个标量方程在直角坐标系下，分解为三个标量方程波动方程的解是在空

11、间中沿一个特定方向传播的电磁波。波动方程的解是在空间中沿一个特定方向传播的电磁波。2. 标量位与矢量位标量位与矢量位 AB式中式中 称为电磁场的称为电磁场的矢量位矢量位t BE )(AEt 已知已知 ，0 B即即0tAEBAA因此因此 可以表示为矢量场可以表示为矢量场 的旋度的旋度 将上式代入式将上式代入式 中，得中，得即即 矢量场矢量场 为为无旋无旋场。可以用一个标量场场。可以用一个标量场 的的梯度梯度来表示来表示tAEtAE式中式中 称为电磁场的称为电磁场的标量位标量位tAE由此得由此得即即P173P173 当与当与时间无关时间无关时，位与场量的关系和时，位与场量的关系和静态场静态场完全相

12、同。完全相同。 称称矢量磁位矢量磁位，称称标量电位标量电位。注意，这里的矢量位注意，这里的矢量位 及标量位及标量位 均是均是时间时间及及空间空间函数。函数。AA 已经规定了矢量位已经规定了矢量位 的的旋度旋度， ，必须再规定其，必须再规定其散度散度。BAt A洛伦兹条件洛伦兹条件为了为了简化简化计算，通常规定计算，通常规定 A根据位函数定义式及根据位函数定义式及麦克斯韦方程麦克斯韦方程，得，得 tt22 AJAtAP174P174 已知电流及电荷分布，即可求出矢量位已知电流及电荷分布，即可求出矢量位 和标量位和标量位 。求出。求出 及及 以后，即可求出电场与磁场。以后，即可求出电场与磁场。 这

13、样，这样，麦克斯韦方程麦克斯韦方程的求解归结为的求解归结为位函数方程位函数方程的求解，而且求解过程的求解，而且求解过程显然得到了显然得到了简化简化。P175P175JAA 222t222tAA达朗贝尔方程达朗贝尔方程 电磁位满足的非齐次波动方程电磁位满足的非齐次波动方程 原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维空间中需要求原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维空间中需要求解解 6 个坐标分量个坐标分量位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程JHH222t1222ttJEE 在三维空间中仅需求解在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。在直角坐标系中

14、，实际上个坐标分量。在直角坐标系中，实际上等于求解等于求解 1 个标量方程。个标量方程。JAA 222t222t0222tEE0222tHH 必须指出的是，尽管磁感应强度在形式上只与磁矢势有关，不能必须指出的是，尽管磁感应强度在形式上只与磁矢势有关，不能据此认为磁感应强度由磁矢势决定而与电标势无关。因为在时变情形据此认为磁感应强度由磁矢势决定而与电标势无关。因为在时变情形下，电磁场相互激发，而时变电场由磁矢势和电标势共同描述，使得下，电磁场相互激发，而时变电场由磁矢势和电标势共同描述，使得时变磁场本质上与磁矢势和电标势都有联系。时变磁场本质上与磁矢势和电标势都有联系。 P175P1750222

15、tHH0222tEEJAA 222t222t达朗贝尔方程达朗贝尔方程 无源无源空间中的空间中的波动方程波动方程t A洛伦兹条件洛伦兹条件BA标量位标量位矢量位矢量位 tAE3. 能量密度与能流密度矢量能量密度与能流密度矢量 静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。电磁场。),( 21),(),(2121),(2etEtttwrrDrEDEr电场能量密度电场能量密度),( 21),(),(2121),(2mtHtttwrrBrHBHr磁场能量密度磁场能量密度),( ),(2tEtplrr损耗功率密度损耗功率密度对于对

16、于各向同性各向同性的的线性线性媒质媒质P175P175因此，时变电磁场的能量密度为因此，时变电磁场的能量密度为 ),( ),( 212121),(22tHtEtwrrBHDEr 时变场的能量密度是时变场的能量密度是空间空间及及时间时间的函数，而且时变电磁场的能量的函数，而且时变电磁场的能量还会还会流动流动。 为了衡量这种能量流动的为了衡量这种能量流动的方向方向及及强度强度，引入，引入能流密度矢量能流密度矢量，其，其方向方向表示能量表示能量流动流动方向，其方向，其大小大小表示表示单位单位时间内时间内垂直垂直穿过单位面积的能量。穿过单位面积的能量。以以 表示，表示， 单位为单位为W/m2 (瓦/米

17、2)。P176P176 设设无外源无外源 ( = 0, = 0) 的区域的区域 V 中，媒质是中，媒质是线性线性且且各向同性各向同性的，的，则此区域中麦克斯韦方程为则此区域中麦克斯韦方程为t DJHt BE0) (H0) (E利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，将上式代入，将上式代入HEEHHE)(, , , , V能流密度矢量又称为能流密度矢量又称为坡印廷坡印廷矢量。矢量。SJEH整理后求得整理后求得222 2 2 )(EEtHtHE将上式两边对区域将上式两边对区域 V 求积，得求积，得 VVVdVEdVHEtdV 222 ) (21)(HEP176P176考虑到考虑到 ，那么，那么VSddV

18、)()(SHEHEVVSVEVHEtdd d) (21)(2 22 SHE根据能量密度的定义，上式又可表示为根据能量密度的定义，上式又可表示为 VSHE d )( dVpwdVtlSV上式称为时变上式称为时变电磁场的能量定理电磁场的能量定理，即，即坡印廷定理坡印廷定理。表征电磁场能量守恒。表征电磁场能量守恒关系。任何满足麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。关系。任何满足麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。P177P177 矢量（矢量（ ）代表垂直穿过单位）代表垂直穿过单位面积的功率，因此，就是前述的能流面积的功率，因此，就是前述的能流密度矢量密度矢量 ， 即即HEHES 此

19、式表明，此式表明， 与与 及及 垂直。又知垂直。又知 ，因此，因此， ， 及及 三者在空三者在空间是间是相互垂直相互垂直的，且由的，且由 至至 与与 构成构成右旋右旋关系，如图示。关系，如图示。HE 能流密度矢量的能流密度矢量的瞬时值瞬时值为为),(),(),(tHtEtSrrr可见，能流密度矢量的可见，能流密度矢量的瞬时值瞬时值等于电场强度等于电场强度和磁场强度的瞬时值的和磁场强度的瞬时值的乘积乘积。 只有当两者只有当两者同时同时达到最大值时，能流密度才达到达到最大值时，能流密度才达到最大最大。若某一时刻。若某一时刻电场强度电场强度或或磁场强度为磁场强度为零零，则在该时刻能流密度矢量为，则在

20、该时刻能流密度矢量为零零。SSEHSEHSEHESH, , , , EHS4. 惟一性定理惟一性定理 在在闭合面闭合面 S 包围的区域包围的区域 V 中，当中，当t = 0时刻的电场强度时刻的电场强度 及磁场强及磁场强度度 的的初始值初始值给定时，又在给定时，又在 t0 的时间内，只要的时间内，只要边界边界 S 上的电场强度上的电场强度切切向向分量分量 或或磁场强度的磁场强度的切向切向分量分量 给定后，那么在给定后，那么在 t 0 的的任一时刻任一时刻，体积体积 V 中中任一点任一点的电磁场由麦克斯韦方程的电磁场由麦克斯韦方程惟一地惟一地确定。确定。利用麦克斯韦方程导出的利用麦克斯韦方程导出的

21、能量定理能量定理，采用，采用反证法反证法即可证明这个定理。即可证明这个定理。)0( , rE)0( , rH&P179P179VSHEHE or )( ,trE)( ,trH)( ,trE)( ,trH5. 时谐电磁场（正弦电磁场）时谐电磁场（正弦电磁场） 一种特殊的时变电磁场，其场强的一种特殊的时变电磁场，其场强的方向方向与时间无关，但其与时间无关，但其大小大小随随时间的变化规律为时间的变化规律为正弦函数正弦函数，即，即)( sin)(),(emrrrEtEt式中式中 仅仅为空间函数，它是正弦时间函数的为空间函数，它是正弦时间函数的振幅振幅。 为为角频率角频率。 为正弦函数的为正弦函

22、数的初始相位初始相位。 由傅里叶变换得知，任一周期性或非周期性的时间函数在一定由傅里叶变换得知，任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，我们条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，我们着重着重讨论正弦电磁讨论正弦电磁场是具有场是具有实际意义实际意义的的。 P180P180 正弦电磁场是由随正弦电磁场是由随时间时间按按正弦正弦变化的时变变化的时变电荷电荷与与电流电流产生的。虽产生的。虽然场的变化然场的变化落后落后于源，但是于源，但是场场与与源源随时间的变化随时间的变化规律规律是是相同相同的，所以的，所以正弦电磁场的正弦电磁场的场场和和源源具有具有相同相同的的频

23、率频率。)(mrE)(er 对于这些对于这些相同频率相同频率的正弦量之间的运算可以采用的正弦量之间的运算可以采用复数方法复数方法，即，即仅仅须考虑正弦量的须考虑正弦量的振幅振幅和和空间空间相位相位 ，而略去，而略去时间时间相位相位 t 。那么，。那么，对于电场强度可用一个与时间无关的复矢量对于电场强度可用一个与时间无关的复矢量 表示为表示为)(er)(mrE)(jmmee )()(rrrEE原来的原来的瞬时瞬时矢量和矢量和复复矢量的关系为矢量的关系为 )(Re),( jmteEtrrE复复矢量矢量仅仅为为空间空间函数，与函数，与时间时间无关无关。只有只有频率相同频率相同的正弦量之间才能使用的正

24、弦量之间才能使用复复矢量的方法进行运算。矢量的方法进行运算。P181P1816. 麦克斯韦方程的复数形式麦克斯韦方程的复数形式 已知已知正弦正弦电磁场的电磁场的场场与与源源的的频率相同频率相同，因此可用，因此可用复矢量复矢量形式表形式表示麦克斯韦方程。示麦克斯韦方程。P182P182可得可得 BE j0 B D j JED HB JEJ 以及以及上述方程称为麦克斯韦方程的上述方程称为麦克斯韦方程的复数形式复数形式。麦克斯韦方程的复数形式麦克斯韦方程的复数形式 t JED HB JEJ t DJHt BE 0 B DDJH jBE j0 B D j JED HB JEJ 瞬时形式瞬时形式 ( r

25、, t )复数形式复数形式 ( r )7. 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 高频场中存在损耗高频场中存在损耗导电媒质导电媒质(,)，欧姆损耗，欧姆损耗EEEEHcjjjj)(jc称为等效复介电常数或复电容率称为等效复介电常数或复电容率电介质中电极化损耗电介质中电极化损耗 jc称为复介电常数或称为复介电常数或复电容率复电容率 tan定义损耗角正切定义损耗角正切导电媒质导电媒质/tan相似地，磁介质中相似地，磁介质中 jc tan称为称为复磁导率复磁导率P183P1838. 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 将将 ，由波动方程得，由波动方程得222t/、jt/式中式中 k022HHck022EEck

26、即时谐电磁场的复矢量即时谐电磁场的复矢量 和和 在无源空间中的波动方程（在无源空间中的波动方程（亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程） 媒质的损耗时，导电媒质媒质的损耗时，导电媒质(00)cck亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 022HHk022EEkP184P184EH9. 时谐场的位函数时谐场的位函数 对于对于正弦正弦电磁场，位函数也可用电磁场，位函数也可用复矢量复矢量表示。表示。式中式中22kP185P185AEjAH1洛伦兹条件变为洛伦兹条件变为 jA达朗贝尔方程变为达朗贝尔方程变为 JAA 22kk22由洛伦兹条件，标量位由洛伦兹条件，标量位jA即即)(2kjjjAAAAEAH1),(),(),(ttt

27、rHrErS) sin() sin()()(hemmttrHrE已知能流密度矢量已知能流密度矢量 S 的的瞬时值瞬时值为为 其其周期平均值周期平均值为为 ttttTd ),(2d ),(1)(2 0 0 avrSrSrSTP185P18510. 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量)()(Re21)(avrHrErS*由时谐场坡印廷矢量由时谐场坡印廷矢量S S电场能量密度和磁场能量密度的时间平均值电场能量密度和磁场能量密度的时间平均值*EEEE41)Re(4110eeavcTdtwTw*HHHH41)Re(4110mmavcTdtwTwVwwVVVlSd )( j2d

28、d)(21eavmav PSH*E即即复数形式的坡印廷定理复数形式的坡印廷定理。右端表示体积。右端表示体积V内的有用功率和无用功率。内的有用功率和无用功率。左端的面积分是穿过闭合面左端的面积分是穿过闭合面S 的复功率，其实部为有用功率，即功率的复功率，其实部为有用功率，即功率的时间平均值，被积函数的实部即为平均能流密度矢量的时间平均值，被积函数的实部即为平均能流密度矢量Sav。 由此可见，复能流密度矢量的由此可见，复能流密度矢量的实部实部表示能量表示能量流动流动，虚部虚部表示能量表示能量交换交换。 P187P187VVVVSd d) ( jd)( *EEEEHHSHE能量定理能量定理也可用也可用复复矢