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1、PPT模板下载： 行业PPT模板： 节日PPT模板： PPT素材下载： PPT图表下载： 优秀PPT下载： PPT教程： Word教程： Excel教程： 资料下载： 范文下载： 第二次数学危机与实数集的性质讲课人员：胡小平讲课人员：胡小平 陈祖旭陈祖旭 杨志文杨志文评讲人员：陈永烨评讲人员：陈永烨 18世纪被称为数学史上的英雄世纪。这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了众多的科学领域。第二次数学危机第一PPT模板网： 18世纪的数学家们知道他们的微积分概念是不清楚的，证明也是不充分，但是科学上的巨大需求战胜了逻辑上的顾忌。他们急于去攫取更新的成果，基础问题只好先放一放

2、。以至于在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面是基础的不稳固，出现了越来越多的谬论和悖论！ 下面我们来看一下大数学欧拉使用分析推理出现的一些悖论： 把二项式定理形式的应用于 ，我们得到1)1 ( x，3211)1 (11xxxxx然后令x=2，我们有-1 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 这就是欧拉得到的一个不得不接受的荒谬结论，还有把前式两边乘以x，得x-1x2 xx另一方面另一方面，21111111xxxxx011122xxxx两式相加后，欧拉得到：两式相加后，欧拉得到：这也是一个十分荒谬的结果。这也是一个十分荒谬的结果。 尤其是像欧拉和拉格朗日这样的数学巨匠，因为他们

3、是权威，所以他们的错误就被其他数学家不加批判的接受了。因此在18世纪结束之际，微积分和建立在微积分基础上的分析的其它分支的逻辑处于一种完全混乱的状态之中。进入19世纪，数学陷入更加矛盾的境地。历史要求给微积分以严格的基础。这时候必须有人站出来。 第一个为补救第二次数学危第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的不是机提出真正有见地的意见的不是 林庆恒而是：达朗贝尔 他在1754年指出，必须用可靠理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。 公认的分析学奠基人是法国多产的数学家柯西（1789-1857）： 柯西在数学分析和置换群理论方面做了开拓性的工作，是最伟大的数学家之一。他在分析教程和无穷小计

4、算讲义里他给出了数学分析一系列基本概念的精确定义。 他的贡献在于将微积分建立在极限论的基础上。魏尔斯特拉斯的规划：魏尔斯特拉斯的规划： 对分析基础做更深一步的理解的要求发生的1874年，那时德国数学家魏尔斯特拉斯构造了没有导数的连续函数。这对分析学中运用几何直观是一场大风暴。 在为建立一个完善的基础方面，还需要进一步深挖，为此，魏尔斯特拉斯提出一个规划：1）逻辑地构造实数系。2)从实数系出发定义极限概念、连续性、可微性、收敛和发散。 1919世纪末的时候，这个规划终于完成了，世纪末的时候，这个规划终于完成了，其影响是：其影响是： 1）既然分析能从是实数系导出，所以如果实数系是相容的，那么全部分

5、析是相容的。 2）欧式几何通过笛卡尔坐标系也能奠基于实数系上。所以，如果实数系是相容的，那么欧式几何是相容的。 3）实数系可用来解释代数的许多分支，所以代数的相容性也依赖于实数系的相容性。由此得到实数系是相容的，那么大部分数学就是相容的。实数集合的基本性质l 从有理数谈起l 戴德金分化l 实数的性质2022-5-6从有理数谈起：从有理数谈起： 有理数可分为整数和分数，也可分为正有理数，0，负有理数。任何一个有理数都可以写成分数m/n(m,n都是整数，且n 0）2022-5-6 我们用Q表示全体有理数的集合。Q有一个重要的性质，就是“稠密性”。 对于任意两个有理数 ， ，不管它们相距多近，即不管

6、| |多么小，他们之间总有另一个有理数 ，例如可取 在 和 之间， 和 之间，还有另外的有理数，如此类推，可知，在 和 之间存在无穷多个有理数 Q的稠密性的另一种方法是，给定一个有理数r，总存在以点列 以r为极限，即 。这表明有理点间的距离可以为0。 r1r2rr21r3).(21213rrrr1r2r3r3r1r2r1r2r1r2r3rnrrnnlim 有理数是我们日常生活和科学技术用于测量的数，他的稠密性保证了我们测量可以达到任意高的精确度。它是我们遇到的第一个比较完美的数系。 但是有理数系仍然存在严重的缺陷但是有理数系仍然存在严重的缺陷: : 首先，有理点并没有填满整个数轴，有理点间的空

7、隙非常多。从几何上看，这是不完美的。从代数上看，有理数的系对开方运算不封闭，有理数的开方可能不在有理数。 其次，从变量角度看，由有理数组成的序列，其极限可能不在是有理数，有理数的这种不完备性，是一个本质上的缺陷。他使得有理数系不能成为微积分学的立论的基础例：考察有理数序列例：考察有理数序列 ，其中，其中)2, 1(!1!21111nnSn！ 这个序列是读者熟悉的，它的极限是数e（它的极限是数e）数e是数学分析中使用最广泛的常数之一。我们曾指出，这个数是超越数，但是没有证明。现在我们来证明它不是有理数。对于任何nm,我们有!1.11111.)!1(1) 1m(11m11 1m13m2m12m11

8、 1m1n12m1)!1(12mmmmmmmSSSSSSmmmn）！（）（）（！）！（因此，当nm时，!1.1mmSSSmnm令n无限增大，而m保持不变，我们得到，!1.1mmeSSmm 因此，e同 的差最大是 注意到m！随m增大而极其迅速增大，所以对于适当的m，数 已经是e的很好的近似值，例如 同e的差小于 用这种方法我们可以求出e=2.718281 现在我们来证明e是无理数，假定e是有理数，并将它写为e= ，m1.因为e位于2与3之间，所以它不是整数，根据前面的论证，我们有：SmSm!1.1mmS10107mp!1.1mmmpSSmm上式左、中、右分别乘以m！，得到1!1!)!1(!mmm

9、SmmSmmpSm但是！mm3m2m!mmSmm 是一个整数，因为右端和式中的每一项都是整数，这样一来，如果e是有理数，则整数p(m-1)!将位于两个相继的整数之间，而这是不可能的，这样我们就证明了e是无理数。 正是有理数的缺陷，引出了康托尔、戴德金，魏尔斯特拉斯等人对无理数本质的深刻研究，并奠定了实数构造理论。 关于实数的构造，已有三种方法也就是三派理论。我们采用的戴德金“分化”来定义实数，因为这种构造法的直观性强。 尤利尤利乌乌斯斯 威廉威廉 理理查查德德 戴德金（戴德金（Julius Wilhelm Julius Wilhelm Richard Dedekind Richard Dede

10、kind ，1831831191611916）又）又译译狄德金，狄德金，伟伟大的德大的德国数学国数学家、理家、理论论家和家和教教育家，近代抽象育家，近代抽象数学数学的先的先驱驱。据。据辞辞海，戴德金海，戴德金还还是格丁根大是格丁根大学学哲哲学学博士、柏博士、柏林科林科学学院院士。院院士。戴德金（1831-1916）Click To Edit Title Style如何定义如何定义 ，我们知道，我们知道， 根据有理数的稠密性不根据有理数的稠密性不难找到有理点列难找到有理点列 ， ，满足条件，满足条件 Q22从直观上从直观上 恰好是两个有理点列恰好是两个有理点列 和和 的分化的分化点。但是我们还不

11、知道点。但是我们还不知道 为何物，又如何选取有理点为何物，又如何选取有理点列列 使它与使它与 做比较呢？做比较呢？2我们总可以选取我们总可以选取 ，使得，使得 。同理可取。同理可取 ， 。rnnrrrrrnnnnn2,0)(limrnrn2rn2Qrn22rn22 rnQrnClick To Edit Title Style 满足上面的点列显然是非常多的，我们把满足上面的点列显然是非常多的，我们把点集点集Q Q分为两类：分为两类：A A类和类和AAA A类类: :一切使得一切使得 的正有理数人的正有理数人r r，零，及一切负有理数。，零，及一切负有理数。22rn类：一切使类：一切使 的正有理数

12、的正有理数r r。22rn这个划分具有这样的三条性质！这个划分具有这样的三条性质！Click To Edit Title Style定义：定义： 把全体有理数的集合分成集合把全体有理数的集合分成集合 A A 和和 ，满足下面，满足下面三个条件：三个条件：1 1）集合）集合A A和和 都是非空的（不空）：都是非空的（不空）：2 2）每一个有理数在而且只在）每一个有理数在而且只在A A和和 两个集合的一个之中（不漏）两个集合的一个之中（不漏）3 3）集合）集合A A叫做每一个数叫做每一个数a a都小于集合都小于集合 中的每一个数中的每一个数 （不乱）（不乱）AAAAaA 集合集合A A叫做分化的下

13、类，集合叫做分化的下类，集合 叫做分化的上类，用叫做分化的上类，用A|A|表示这一分化表示这一分化AClick To Edit Title Style例例1.1.把把A A定义为一切满足不等式定义为一切满足不等式a1a 或或 .ABAB定理一：定理一： 任何两个实数和之间必有下类任何两个实数和之间必有下类3 3种关系之一种关系之一其次，其次， ， 蕴含蕴含 这个定理建立了实数集合的有序性，任何两个实这个定理建立了实数集合的有序性，任何两个实数实数都可以比较大小，并且大小关系可以传递。数实数都可以比较大小，并且大小关系可以传递。实数集合的连续性实数集合的连续性 把全体实数的集合分成集合把全体实数

14、的集合分成集合 A A 和和 ，满足下面三个条件：，满足下面三个条件：1 1）集合）集合A A和和 都是非空的（不空）：都是非空的（不空）：2 2）每一个实数在而且只在）每一个实数在而且只在A A和和 两个集合的一个之中（不漏）两个集合的一个之中（不漏）3 3）集合）集合A A叫做每一个数叫做每一个数a a都小于集合都小于集合 中的每一个数中的每一个数 （不乱）（不乱）AAAaA于是出现这样的问题:对于这种分化来说，在实数集合中总能找到产生分化的界数，还是实数集合仍有空隙？为了证明的方便，我们先引进下面的引理：为了证明的方便，我们先引进下面的引理：引理引理1 1： 设设 ， 是两个任意的实数，

15、若是两个任意的实数，若 ，则总，则总可以找到有理数可以找到有理数 ，使之介于，使之介于 和和 之间：之间：证：因为证：因为 ，所以，所以 定义的分化的下类定义的分化的下类A A完全包含了定完全包含了定义义 的下类的下类B B，并且，并且A A与与B B不相同，这样一来，存在有理不相同，这样一来，存在有理数数 满足满足 , , 。因而。因而 属于属于 。从而。从而 （等式只有在（等式只有在 是有理数时才成立）但因为在是有理数时才成立）但因为在A A中没有最中没有最大数，所以我们一定可以取到有理数大数，所以我们一定可以取到有理数 使得使得ABB证毕证毕定理定理2 2（戴德金）对实数集合的任何分化（

16、戴德金）对实数集合的任何分化A| A| ，都存在，都存在产生这个分化的实数产生这个分化的实数a a，这个数，这个数a a或者是下类或者是下类A A中的最大中的最大数，或者是上类数，或者是上类 中的最小数中的最小数 证: 用A表示所有属于A A的有理数集合，用 表示所有属于 的有理数集合，易见，A和 作成全部有理数集合的一个分化。 分化A| 定义了某个实数a。它应该落在A， 两类之一。假定它落在下类A中，这时我们证明，a是A A中的最大数，假如不然，则可以找到一个大于a的数 。根据引理1，我们可在a和 之间插入一个有理数r：a r 。r属于A类，因而也属于A类，于是我们就得出了矛盾：在定义a的分

17、化的下类中会有有理数比a这个数更大！这样我们就证明了，a是A中的最大数。同理可证，如果a在上类 中，则a是A中的最小数。1aAAAAAAAAa 11aA确界存在定理：确界存在定理： 设设E E是一个实数集合，如果存在数是一个实数集合，如果存在数M,M,使得对所有的使得对所有的X EX E，都有，都有|X|M|X|M，或，或-M X M ,-M X M,| |M,我们就称我们就称E E为无界集。为无界集。Ex0 x0 对于集合对于集合E E来说，如果存在数来说，如果存在数K K（或（或k k），使得），使得对所有的数对所有的数 都有都有 （或（或 ），我们就称），我们就称集合集合E E有上界（或者下界）。数有上界（或者下界）。数K K或（或（k k