向量的知识点

1、知识结构知识结构t57301p2实际背景实际背景基本定理基本定理坐标表示坐标表示数量积数量积向量向量线性运算线性运算向量的实际应用向量的实际应用基础知识基础知识1.1.向量的有关概念向量的有关概念（1 1）向量：）向量：既有大小，又有方向的量既有大小，又有方向的量. 模为零的向量模为零的向量. .（2 2）向量的模（或长度）：）向量的模（或长度）：（3 3）零向量：）零向量：表示向量的有向线段的长度表示向量的有向线段的长度. .（4 4）单位向量：）单位向量：模为模为1 1的向量的向量. .（8 8）向量的数量积：）向量的数量积：（5 5）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等

2、且方向相同的向量. .（6 6）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量. .（7 7）平行向量）平行向量（共线向量）：（共线向量）：方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量. .ab=| |a|b|cos|cos.2.2.向量定理向量定理（1 1）共线定理：）共线定理： （2 2）基本定理：）基本定理： 向量向量a（a00）与）与b共线，当且仅当共线，当且仅当有唯一一个实数有唯一一个实数，使，使b=a. . 若若e1 1、e2 2是同一平面内的两个不共线是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一

3、对实数有且只有一对实数1 1，2 2，使，使 a1e12e2.知识梳理知识梳理3.3.向量加法的运算性质向量加法的运算性质（1 1）ab=ba；（2 2）(ab)ca(bc)；（3 3）若若a与与b为相反向量，则为相反向量，则ab0；（4 4）若若bca，则，则cab；（5 5）|ab|a|b|，|ab|a|b|；（6 6）112231nnnO AA AA AAAO A-+=uuuruuuu ruuuu ruuuuuu ruuurL4.4.向量数乘的运算性质向量数乘的运算性质(1)(1) ( (a) )=( () ) a ； (2)(2) ( () ) a =a a；(3)(3) ( (ab)

4、 )=ab；5.5.数量积的运算性质数量积的运算性质（1 1）abba；（2 2）( (a) )b( (ab) )a( (b) )；（3 3）( (ab) )cacbc；（4 4）ab ab0；（5 5）a2 2|a|2 2；（6 6）|ab|a|b|；(7) cos;| |a babq=(8)| |cos.| |a babq=知识梳理知识梳理6.6.向量的坐标表示向量的坐标表示（1 1）设）设i、j是与是与x x轴、轴、y y轴同向的两个单轴同向的两个单位向量，若位向量，若ax xiy yj，则，则a(x(x，y)y)；（2 2）若点）若点A(xA(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x

5、2 2,y,y2 2) )，则，则 (x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1).).A Buuu r7、平面向量的坐标运算1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)；2若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (x2x1，y2y1)；3若a(x，y)，则a(x，y)；4若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.8、向量的运算：向量的加减法、数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质，若a(x1，y1)，b(x2，y2)运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2三角形法则ab(x1x2，y1y2)abba，(ab)ca(

6、bc)向量的减法三角形法则ab(x1x2，y1y2)aba(b)数乘向量法a是一个向量满足：0时，a与a同向；0时，a与a异向；0时，a0.a(x，y)(a)()a()aaa(ab)ababab(b0)详解：数量积（内积）详解：数量积（内积）aOAbB1B1|cosOBbba在 方向上的投影|cosa bab叫 与 数量积a b 即a b 记作（也叫内积）（也叫内积）|a二、向量的模和两点间距离公式二、向量的模和两点间距离公式: 1()( , ),ax y向量的模 长度公式 ：设2121,ABxx yy 则222,aa axy 则222121ABxxyy 11222,A x yB xy设、22

7、axy或12121.a bx xy y 2221212. ABxxyy 12123.0abx xy y12214. / /abx yx y1212222211225.cos.x xy yxyxy相关的相关的 1: 1(3, 1),(1, 2),| |.aba b ab ab 例已知求， 与 的夹角| |ab412125a bx xy y 解2211xy2222. xy5 2cos|a ba b 5 2522 2 2,3 ,2,4 ,.ababab 已知则(0,7),(4, 1)abab法一：22ababab法二：（） （）0 47 ( 1)7.abab （） （）22|13207ab 平面向量坐标的基本运算 已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设(1