(完整word版)统计学三大分布与正态分布的关系

1、统计学三大分布与正态分布的关系1张柏林41060045理实1002班摘要：本文首先将介绍咒2分布，,分布，F分布和正态分布的定义及基本性质，然后用理论说明x2分布，t分布，F分布与正态分布的关系，并且利用数学软件MATLAB来验证之.1.三大分布函数21.1x2分布x2(n)分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅(Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。定义：若随机变量X,X，X相互独立，且都来自正态总体N(0,1)，则称12n统计量x2=X2+X2+-+X2为服从自由度为

2、n的X2分布，记为12nx2x2(n).X2分布的概率密度函数为f（X；n）=0，X2分布的密度函数图形是一个只取非负值0的偏态分布，如下图.性质1：E(咒2(n)=n,D(咒2(n)=2n;性质2：若X=*2(n),X=*2(n),X,X相互独立，则X+X咒2(n+n)；1122121212性质3：n时，x(n)T正态分布；性质4：设x2z(2(n)，对给定的实数八/h)a(0a1),称满足条件：PX2X2(n)J：f(x)dx=aa偏n的点z(2(n)为x2(n)分布的水平a的上侧分位数.简称为上侧a分位数.对不同的a与n,分位数的值已经编制成表供查用.X2(n)分布的上a分位数1.21分

3、布t分布也称为学生分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student”的笔名首次发表的，这个分布在数理统计中也占有重要的位置.X定义：设XN(0，1)，Yx2(n)，X,Y相互独立，则称统计量Ty/Y/n服从自由度为n的t分布，记为Tt(n).t分布的密度函数为gt+s.t(x;n)=上二(1+兰)-詈,叫品n加)对不同的a与n，t分布的双侧分位数可从附i2性质1：f(t)是偶函数，nTg,f(t)T申(t)e-2nn云；性质2:设Ttjn)，对给定的实数a(0at(n)=f+gf(x)dx=a的点t(n)为t(n)分ata(n)a布的水平a的上侧分位数.由密度函数f(x)的对称性，可得

4、t(n)=-1(n).类似地，我们1可以给出t分布的双侧分位数PlTlta/2(n)=J-：/2(n)f(x)dx+J+gf(x)dx=a,-gt(n)a/2显然有PTt(n)=;PTt(n)=.a/22a/22表查得.t分布的上a分位数1.3F分布F分布是随机变量的另一种重要的小样本分布，应用也相当广泛.它可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等.F分布还是方差分析和正交设计的理论基础.定义：设XX2(n),YX2(m),X,Y相互独立，令则称统计量F二X/n服Y/m从为第一自由度为n，第二自由度为m的F分布.F分布的密度函数图F分布具有如下一些性质：性质1若FF(n,m),

5、则1/FF(m,n)；9性质2：若Xt(n)，则X2F(1,n)；性质3:设FFa(n,m)，对给定的实数a(0aFJn,m)Jf(x)dx=aFa(n,m)的点F(n,m)为F(n,m)分布的水平a的上侧a分位数.F分布的上分位数F分布的上侧分位数的可自附表查得.性质4:F(m,n)=1.此式常常用来求F分布表中没有列出的某些上aF(n,m)1-a侧分位数.1.4正态分布正态分布是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础.高斯(Gauss)在研究误差理论时首先用正态分布来刻画误差的分布，所以正态分布又称为高斯分布.正态分布有两个参数，卩和6决定了正态分布的位置和形态.为了应用

6、方便，常将一般的正态变量X通过u变换转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为尸0，=1的标准正态分布N(0,1).正态分布的密度函数和分布函数若连续型随机变量X具有概率密度f(x)为1(x丄)2f(x)二_e-2a2，g0)为常数，则称X服从参数为P，a的正态分布，记为XN(P，a2).正态分布的密度函数图特征1：正态曲线(normalcurve)在横轴上方均数处最高；特征2：正态分布以均数为中心，左右对称；特征3：正态分布有两个参数，即均数卩和标准差c.卩是位置参数，c固定不变时，卩越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，卩越小，则曲线沿横轴越向左移动.c是形状参数，当卩固定不变时

7、，c越大，曲线越平阔；c越小，曲线越尖峭.通常用N0,c2)表示均数为卩，方差为c2的正态分布.用N(0,1)表示标准正态分布.特征4：正态曲线下面积的分布有一定规律。实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数(频数分布)或观察值落在该区间的概率.正态曲线下一定区间的面积可以通过标准正态分布函数表求得。对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计2.三大分布与正态分布的密度函数比较32.1x2分布收敛于正态分布_1设Xx2(n)，则对任意X，有limP(._0且yxn所以xn+*2ny因为|f(y)

8、dy|f(x)dx|YX所以f(y)=Y吟(n+：2ny)2-1e一2(n+n/2dyn2-1(1+：2y)2-1e-2(n广2ny)2nr(n)2n/2n1令n=2m，利用Stirling公式：m!=J2兀mmme-m12m则上式=：4mT（m）2m(2m)m-1(1+y)m-1e-(m+%my)me22兀所以x2分布的极限分布为正态分布.F面用MATLAB来验证上面结论，首先定义x2（n）分布函数和相应的正态分布从上面三个图形可以看出，n越大，x2(n)分布密度函数与正态分布N(n,2n)度函数越接近，这就和所证结论相符合.2.2t分布收敛于标准正态分布若X服从自由度为n的t分布，limP

9、(X/2s证法1：由于自由度为n的t分布的概率密度函数为r(+1)2rX2-n+1p(x;n)=2(1+)2,sx+s陌r(n因此(1)式等价于1imp(x;n)=1e-x2/2,gx+8ns2兀1)2)1先利用Stirling公式：m!=J2兀mmme-m2m、r(罟)1证明lim-=-g府(-)迈2事实上，利用r函数的性质n一1n一3n一2k+1n一2k+1)_2(2)-(n)n一2n一4n一2k+2厂(n一2k+2)(2)2(2n2k+1(n-1)(n-3).(n-2k+1)r().n2k+2(n-2)(n-4)(n-2k+2)r(-T-)当n=2k时r仔)(2k-1)(2k-3)1-r

10、(2)nr(n/2j2k(2k-2)(2k-4)2-r(1)2(2k-1)!灯2k12k(2k-1)()e2k-12222k-2(k-1)!)22莎22k-2(J2兀(k1)(口)k-1)2e2v2k-i兀(2k-1)2k-1e2k-1e2k-22莎22k22兀(k-1)(k-1)2心2k-112k-1。1、11/、=左2T(1+2k-2)2k-1eT寸TQ当n-2k+1时亦可推出同样的结果。另外，由特殊极限公式可得X2n1X2亠/x2lim(1+)-2-lim(1+)x2n(-2)-enT8nnT8n综合上诉，即证明(2)式所以，t分布的极限分布是正态分布.F面用MATLAB来验证上面结论，

11、首先定义t(n)分布函数和相应的正态分布从上面三个图形可以看出，n越大，t(n)分布密度函数与正态分布N(0,)度函n一2数越接近，这就和所证结论相符合.2.3F分布收敛于标准正态分布若F二常服从为第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，则limP(Xx)=1jxe一2/2dt.n2n一8证明：当m_8时丫/m1所以FX/n2n2因为E(X/n)二1,D(X/n)二一二-n2nF一1所以由中心极限定理，当nT8时N(0,1)所以F分布的极限分布是正态分布.n2n2(m+n一2)F面用MATLAB来验证上面结论，首先定义F(m,n)分布函数和相应的正态分布(口匚(二2)2(二)再依次增大n比较两

12、者关系:15从上面三个图形可以看出，n越大，F(m,n)分布密度函数与正态分布n(,2n2(mn?)度函数越接近，这就和所证结论相符合.n-2m(n2)2(n-4)在实际应用中我们往往在取得总体的样本后，通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断，为此须进一步确定相应的统计量所服从的分布，正态分布、x2(n)分布、分布、F分布是统计学最基本的四种分布，而x2(n)分布、t分布和F分布又都收敛于正态分布，可见正态分布在统计学中的地位.实际上,证明X2(n)分布、t分布和F分布收敛于正态分布的方法很多，本质上都是应用了大数定理和中心极限定理.既然三大抽样分布都收敛于正态分布，则当样本容量很大时，就可以用正态分布来近似三大抽样分布.本文主要还利用了计算机软件来验证数学上的理论证明，在现代数学学习中，我们是离不开计