(完整版)初中数学培优竞赛讲座第30讲__创新命题

1、1第三十讲创新命题第三十讲创新命题计算机技术与网络技术的迅猛发展， 深刻改变了我们的学习方式、生活方式与思维方式IT技术、Cyber空间、bemgdigital(数字化生存)等新概念层出不穷.与时俱进，科学的发展对数学的需求，不断提出了新问题，在解决新问题的过程中又产生了许多新方法.近年各地中考、各级竞赛出现了丰富的以考查创新意识、创造精神为目的的创新命题，归纳起来有以下类型：1.定义一种新运算；2.定义一类新数；3.给定一定规则或要求，然后按上述规则要求解题；4.注重跨学科命题.解创新命题时，需要在新的问题情境下，尽快适应新情况，充分运用已学过的数学知识方法去创造性地思考解决问题，对培养阅读

2、理解能力、创新能力、提高学习兴趣有重要的促进作用.例题【例1】一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”比如16=5232，故16是一个“智慧数”，在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”.(北京市竞赛题)思路点拨思路点拨自然数可分为奇数与偶数， 从分析奇数与偶数中“智慧数”的特征入手.注：定义新数，即给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，解这类问题的关键是准确全面理解“新数”的意义，通过推理解决问题【例2】在甲组图形的4个图中，每个图是由4种简单图形A、B、C、D(不同的线段或圆)中的某两个图形组成的，例如由A、B组成的图形记为A-B，在乙组图形的(

3、a)、(b)、(c)、(d)4个图中，表示“A-D”和“A-C”的是().A.(a)，(b)B.(b)，(c)C.(c)，(d)D.(b)，(d)(江苏省竞赛题)甲组甲组QoOABBCCDBD思路点拨思路点拨从甲组图形中，两两比较A、B、C、D分别代表的哪种线段，哪种圆.【例3】有依次排列的3个数：3，9，8.对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，10，1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有

4、数之和是多少?(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨思路点拨用字母表示数，通过对一般性的考查，探求新增数之和的规律，以此作为解题的突破口.【例4】设x表示不超过x的最大整数(如3.7=3,3.7=4)解下列了程：(1) l.77x=1.77x；(x为非零自然数)(四川省选拔赛试题)1(2) 3x+1=2x-(全国初中数学联赛题)思路点拨思路点拨解与x相关的问题，关键是去掉符号“”，需灵活运用x的性质，并善于把估算、等式与不等式知识综合起来.注：解决实际问题及计算机的运算时，常常需要对一些数据进行取整运算，即用不超过它的最大整数取而代之X有以下基本性质：(1)x=x+r,OWrvl；(2)xWxVx+

5、1；(3)x1VxWx；(4)n+x=n+x；(5)x+y三x+y其中当n为整数，当且仅当x为整数时等号成立.2【例5】如图，沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a,b,c,d满足不等式（ad）（bc）0,那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d都有（ad）（b一c）WO?请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，2003,问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d都有（ad）（b一c）W0?请说明理由.

6、（全国初中数学竞赛题）思路点拨思路点拨（1）从16中选取满足（ad）（b一c）0的四个数，按题设条件操作,直至符合结论的要求；（2）略.注：解按规则要求操作类的问题或写出具体操作步骤，或指出按规则要求不能实现的理由解题的关键是善于在变化中把握不变量，利用不变量解题，此外，还要能灵活运用整数的整除性、奇偶性、通过赋值数学化等知识与方法.【例6】假设a#a+b表示经过计算后a的值变为a的原值和b的原值的和，又b#b.c表示经过计算后b的值变为b的原值和c的原值和乘飘假设计算开始时a=0,b=1,c=1,对a、b、c同时进行以下计算：（1）a#a+b；b#b.c；（3）c#a+b+c（即c的值变为所

7、得到的a、b的值与c的原值的和）.连续进行上述运算共三次，试判断a、b、c三个数值之和是几位数？思路点拨思路点拨对a、b、c同时进行连续三次运算后的结果如下:运算次数123a125b1324c3837经过三次运算后，a+b+c=5+24+37=66，它是一个两位数.学力训练学力训练3.餐厅里有两种餐桌，方桌可坐4人，圆桌可坐9人，若就餐人数刚好坐满若干张方桌和圆桌，餐厅经理就称此数为“发财数”在1100这100个数中，“发财数”有个.（“五羊杯”竞赛题）4.读一读：式子“1+2+3+4+5+100”表示从 1 开始的 100 个连续自然数的和由于上述式子比较长，书写也不方便,为了简便起见，我们

8、可将“1+2+3+4+5+100”表示为100n，这里“丫”n=1是求和符号.例如：“1+3+5+7+9+99”（即从 1 开始的 100 以内的连续奇数的和）可表示为02n-1；又如“13+23+33+43+53+63+73+83+93+103”可表示为0n3.同学们，通过对以上材料的n=1n=1阅读，请解答下列问题：12+4+6+8+10+100（即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为；a2.对于任意有理数a,b,c,d,我们规定c2x二ad-bc,如果218，那么x的取值范围是1.现定义两种运算：沃，对于任意两个整数a,b,盘圧磁=a+b-1,32计算：0 0（

9、n2-1）=（填写最后的计算结果）。（2003牟无锡市中考题）n=145.现规定一种运算：b=ab+ab，其中a、b为有理数，则+(ba)匕等于().A.a26B.b2一bC.b2D.b2一a(大原市中考题)6.“”表示一种运算符号，其意义是:ab=2a-b,如果x(13)=2，那么x等于().13A.1B.C.D.2227.设a表示不超过a的最大整数，如4.3=4,4.3=5，贝V下列各式中正确的是().A.a=|a|B.a=aa- -1C.a=aD.aa一1(“希望杯”邀请赛试题)a a+b8.设记号“”表示b=，试写出两边均含有运算符号“”和“+”且对任意3个数a，b，c都成立的等式(不

10、少于两个).(上海市春季高考题)9设x表示为不超过x的最大整数，解下列方程：(1)|x|+2x+4x+8x+16x+58=0；2x+1=x-3(重庆市竞赛题)10.一个自然数a， 若将其数字重新排列可得到一个新的自然数b， 如果a恰是b的3倍， 我们称a是一个“希望数”.(1)请你举例说明“希望数”一定存在；(2)请你证明：如果a，c都是“希望数”，则ac一定是729的倍数.(“希望杯”邀请赛试题)么20012002=.a a+2b|12.若规定ab=2，那么方程x x|=4的解x=.13._对一切正整数n,有f(n+1)=f(n)+n，且f(1)=1，则f(n)=.14.将自然数N接写在每一

11、个自然数的右面(例如，将2接写在35的右面得352)，如果得到的新数都能被N整除，那么N称为“魔术数”.在小于130的自然数中，魔术数的个数为.(全国初中数学联赛)15.若x=5,y=3，z=1，则xy一z可以取值的个数是().A3B4C5D6(2002年重庆市竞赛题)16.用min(a，b)表示a、b两数中的较小者，用max(a、b)表示a、b两数中的较大者，例如min(3，5)=3,max(3,5)=5,min(3,3)=3,max(5,5)=5.设a、b、c、d是互不相等的自然数，min(a,b)=p,min(c,d)=q,max(p,q)=x,max(a,b)=m,max(c,d)=n

12、,min(m,n)=y,则().AxyBxy和xy都有可能(江苏省竞赛题)17.设x表示不超过x最大整数，又设x、y满足方程组 2|j5，如果x不是整数，那么x+y是11. 表示种运算，1它的含义是x0=x0=+xy1(x+1)(y+A)，已知21=11+2x1(2+1)(1+A)5()(第33届美国数学竞赛题)A.个整数B.在4与5之间C.在一4与4之间D.在15与6之间E.16.5618.对任意有理数x、y定义运算如下：xAy=ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a=1,b=2,c=3时，3=1X1+2X3+3X1X3=16，现已知所定义的新

13、运算满足条件，142=3,243=4,并且有一个不为零的数d使得对任意有理数xd=x，求a、b、c、d的值.19.有三堆石子的个数分别是19，8，9，现在进行如下的操作：每次从这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：（1）三堆石子的数分别是2，12，22；（2）三堆都是12.如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由.注：若从第一、二堆各取1个到第三堆，可表示为（19，8，9）-（18,7，11）等（五城市联赛题）20.n为自然数，若n+6|n+1996，则称n为1996的吉祥数.比如:4+6|43+1996,4就是199

14、6的一个吉祥数，试求1996年的所有吉祥数的和.21.下面给出表甲和表乙，若将表甲中相邻的两个小方格（指有公共边的两个小方格）中的数都加上或减去同一个数，称作一次操作，问经过若干次操作之后，能否将表甲变成表乙?若能，请写出一种操作过程；1122.规定：正整数n的“H运算是：当n为奇数时，H=3n+13；当n为偶数时，H=nxxx,厶厶（其中H为奇数）.如数3经过1次“H运算”的结果是22,经过2次“H运算”的结果是11,经过3次“H运算”的结果是46.请解答：（1）数257经过257次“H运算”得到的结果；若“H运算”的结果总是常数a,求a的值.（“希望杯”邀请赛试题）第三十讲创新命题参考答案

15、第三十讲创新命题参考答案w1响按届十1红nipmj氛每令大于1的奇救习毎“干4口楚q的侪数的啓殊删慧數， 而按-i险余数为2的慚枚显和见押签數、 处小智慧数为3从5TFtfh神塾毁晁5.7,8+9,.12,13,15,1637,19+20-HP2个缶敦，1牛4的信数胡亍一组依木排列下去.例2选D崔亍：一个傕次播列的N个甦组戍一个敷皑；01心“6皿，依囲设段作力-陡可得新増的散肖沓一-血,flj-a2,!-：!*.LT.,rt,-iW新謂致龙利为i0l54326784552046100100000000l00l（北京市竞赛题）若不能，请说明理由.表甲表乙7(叫ill)+(J)fl；)+*-+(；

16、!.t-l)=4T*1总数串为3个数皿*9胡第1次揍作后所得掘巾为；盼氣9一1氣提搦(姦】可知浙堆2厕之和为出+(15=8乳第2股操柞后所得数串为;釘3+旅3,410一1,!?.鮎很据 塞、 可如， 新増4顼之和为3+3+-W)+9-5-8-3.按这牛现裙下去第1俑次檢作 G 所得新數申所脅数的和为(+lOOX(8-3)-520別4CD匝方程即】一1.种用工一2从而一恥篡一1,77jr血丄血/,交换儿的位置民i2003个址的ftl邻两S集积之和为P有P+TPi=(u+c-33.闘I4,8tej2j3dU7,L8.2n,?l,2!?.24.25,26t27.2B-由此训樹超过2以后的任何一个数槪

17、町由24-27+的菜数再加上4的片 怙组成*所旦24以话的数都融-翁黠數”+刊闪02罰+11=酣4.+fiiSc)十 2 嵌血=曲C3)aSt(i+f)=a5S64*-1(4)si嵌c4右十rJfef=a+&+淋3+&十.9.(|JT|回为養戳.从術工为整數.塢方程化为1旳十2工十!=十8T+lfiT=0JC-2I(2)i8f2j+叮之工一+=”5为藝数)r*-ji十则OCEr+1)1|02X(卄寺)T】irl.(iS*号止一|*1从面附彳=春10.(1)3105=3X103/0#j存曲(2)用7圭示a的数宇重新带列后的戳伸皿)春示q的数导柜G)我顾7的数字和.由订鬧3W=-：

18、 l|$W、r3山31M*91a=91a)=*91f(a)91(a)=27|.Fl釦“故7291ar,1RU1&9SOOD，2-土豆.由/(n+1+/5+1)/X)-1*,于是有/()/(1)=1.1)8=-lt|fii”一】牛等式相加得A)-/a)=l+2+3+-+n-l=n-/7iVn+A】丄9提示设室术散为占代數.戸是任一自然Jft.PN-PXiU*+N,由NI丽.得Nil化当H时，N-lf2R$t当时，N=1Q 20.25*50*当A-3时*N=100*12乩15.15.A提示I5J6,3y2.1IE0则7CJC.从而岳一y1机D提乐：翌Q 4上=氛t=2显=1.得=3*$=2

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