(完整版)趣味数学088：有趣的图形数

1、1有趣的图形数有趣的图形数（一）古希腊数学家毕达哥拉斯和他的学派，对数学的发展做出过巨大的贡献毕达哥拉斯认为“数是万物之源”。1 表示点，2 表示线，3 表示面，4 表示体（如图）：世间万物无一不是由点、线、面、体所组成，而 1+2+3+4=10,因此,10 就可以表示宇宙。毕达哥拉斯把自然数看成是点的集合,尤其看重能够排成三角形、正方形、长方形等图形的数,把它们称为“三角形数三角形数”“正方形数正方形数”“长方形数长方形数”等。所谓三角形数,就是：正方形数,就是：长方形数,就要根据长和宽的不同情况来描绘。下面我们就用这三种数推出一些重要而常用的公式公式一：两个三角形数可以组成一个长方形数：所

2、以,(1+2+3+4+5)1+2+3+4+5=口OOOOOooooe000813610149162推而广之，如果三角形数有 n 层，长方形数就有 n 层，每层有 n+1 个点,于是得到求连续自然数之和的公式求连续自然数之和的公式：1+2+3+-+=( (+2 2从图上还可以看出，三角形数也能用n( (n1)1)表示。换句话说，从 1 开始2 2到 n 的连续自然数的和，就等于第 n 个三角形数。公式二：正方形数可以这样划分：所以，1+3+5+7+9=52。推而广之，如果正方形数有 n 层，第 n 层就有 2n1个点，于是得到求连续奇数和的公式求连续奇数和的公式：1+3+5+(2n1)=n2公式

3、三：长方形数可以这样划分：OO|Ooooooooooooooooooooo所以，2+4+6+8+10=5X(5+1)。推而广之，如果长方形数有 n 层,第 n 层就有 2n 个点，于是得到求连续偶数和的公式：求连续偶数和的公式：2+4+6+2n=n(n+1)公式四：正方形数还可以这样划分：o|ooooooooooo先按横行从 1 加到 5，再按竖列从 4 加到 1，即，1+2+3+4+5+4+3+2+1=52。推而广之，如果正方形数有 n 层，于是得到求从求从 1 1 到到 n n 再到再到 1 1 的连续自然数之的连续自然数之和的公式：和的公式：1+2+3+n+(n1)+(n2)+2+1=n

4、2图形数把抽象的数，与直观的图形巧妙地联系起来，这种数形结合的方法，是一种常用的数学思想方法。下面我们用这种方法再推出两个重要的公ooooo0000-0Qoau-3式。公式五：把 12、22、32、42、52这 5 个连续的正方形数稍加变形，排成左下方的“摩天楼形”：如果在它的两侧各加上同样的 5 个连续的正方形数，就会得到一个像右上方的那样的长方形数。摩天楼形数等于1222324252长方形数是它的 3 倍，等于3X(I2+22+32+42+52)而这个长方数有1+2+3+4+5=5 5%(5 5+D2 2层，每层有 2X5+1 个点，所以，3X(I2+22+32+42+52)X(2X5+1

5、)2 2即，12+22+32+42+525 5X( (5 5+1)1)X(2(2X5 5+1)1)6 6推而广之，就得到求连续平方数的和的公式：12+22+32+n2也+怛+1 16 6真是妙不可言！公式六：下面的大正方形是由一些边长分别是 1、2、3、4、5 的小正方形拼成的。OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*OQOOOOOOOOOO*OOOOOOOOO*OQOOO*OOQOO*00000000OQOOQOOO0OOO*OOOOOOOOOOOOOO*o000800oooooOO窈.-9VO1550014R58OO-X*-sttdooo-oooooJr*Ja4观察发现

6、，虽然有两处重叠，不过这两个重叠部分与各自右下方的空白部分大小相等，正好可以用重叠的那一层补上空白部分。于是可以说，这个大正方形是由 1 个边长为 1 的正方形、2 个边长为 2 的正方形、3 个边长为 3 的正方形、4 个边长为 4 的正方形和 5 个边长为 5 的正方形拼成的，它的面积等于1x12+2x22+3x32+4x42+5x52=13+23+33+43+53因为大正方形的边长等于 12345，所以13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2而1+2+3+4+5=5 5%(5 5+D2 2于是13+23+33+43+53=22 2推而广之，就得到求连续立方数之和的公式：13

7、+23+33+n3=n( (n+D22 2于是，连续立方数的和，等于连续自然数之和的平方。因为连续自然数之和就等于相应的那个三角形数，换句话说，连续立方数的和等于相应的三角形数的平方，真是不可思议！上面我们用数形结合与合情推理的方法，轻而易举地得到六个非常重要而常用的公式，使我们不能不又一次为数学内在的奥秘所陶醉，为她那无与伦比的美所倾倒。这，就是数学的魅力！(二)从前面的叙述可以知道：5三角形数，实际上就是从 1 开始的一些连续自然数的和：1, 3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,正方形数，实际上就是从 1 开始的一些连续自然数的平方：1,4,9,16,25,36,49,

8、64,81,100,那么,有没有这样的自然数,既是三角形数又是正方形数呢？有,并且有无限多个。它们是：1,36,1225,41616,1413721,48024900,这类数是两个自然数的平方的积,也就是说,是两个正方形数的积。1=12X12；36=32X22；1225=7zX52；41616=172X122；1413721=412X292；48024900=992X702；三角形数、正方形数,既然可以看成点的集合,那么,如果把三角形数1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,“一层一层摞起来”,就可以形成“四面体数四面体数”：（四面体底面是三角形的锥体。图略）1,4,10,

9、20,35,56,84,120,同样,如果把正方形数：1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,“一层一层摞起来”,就可以形成“金字塔数金字塔数”：（金字塔底面是正方形的锥体。图略）1,5,14,30,55,91,140,204,那么,有没有这样的数,既是正方形数又是金字塔数呢？有,但是只有一个,就是 4900,实在有点意外。关于三角形数、正方形数、四面体数、金字塔数,还有一些意想不到的性质。1 1、自然数的立方和、自然数的立方和, ,等于相应的三角形数的平方。等于相应的三角形数的平方。如,6从 1 开始的前 3 个自然数的立方和，4+23+33=1+8+27=36，而第 3 个

10、三角形数是 6，62等于 36。从 1 开始的前 5 个自然数的立方和，132333+43+53=1+8+27+64+125=225，而第 5 个三角形数是 15，152等于 225。这一条，在前面已经谈到过。2 2、任意两个相邻的三角形数的和，都是正方形数。、任意两个相邻的三角形数的和，都是正方形数。如，三角形数 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,中，3+6=9,21+28=49，45+55=100，而 9、49、100 都是正方形数。这一条,一画出来就会明白。而下面这条新的性质就很难想像：3 3、任意两个相邻的四面体数的和、任意两个相邻的四面体数的和, ,都是金字塔数。都是金字塔数。如,四面体数 1,4,10,20,35,56,84,120,中，1+4=5,4+10=14,10+20=30,20+35=55,35+56=91,56+84=140,84+120=204,