2019届高三数学(理)黄金考点总动员：考点08导数的运算及其几何意义

1、2019 届高三数学 33 个黄金考点总动员考点 9 导数的运算及其几何意义【考点剖析】1.最新考试说明：1. 了解导数概念的实际背景；2. 理解导数的几何意义；3. 会用课本给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax b)的导数)2. 命题方向预测：导数的概念、导数的运算、导数的几何意义等是重点知识，基础是导数运算.导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前一问，难度较低归 纳起来常见的命题探究角度往往有：(1)求切线方程问题.确定切点坐标问题.已知切线问题求参数.(4)切线的综合应用.3.

2、课本结论总结：1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x) = c(c 为常数)f x)= 0f(x) = xn(n Q )f x)= nxn 1f(x) = sin xf x)= cosxf(x) = cos xf x)= sinxf(x) = axf x)= anaf(x) = exf x)=ef(x) = logaXfx)= xln af(x) = ln xfx)=1卞x2导数的运算法则(1)f(x) (x) = fx) x)；(2)f(x)g(x)=fx)g(x)+f(x)gx);(4)复合函数的导数复合函数 y= f(g(x)的导数和函数 y = f(u), u= g(x)的导数间

3、的关系为y=yju，即卩 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.3.函数 y = f(x)在 x= x0处的导数几何意义：函数y二f(x)在点xo处的导数f(xo)就是曲线y = f(x)在点(心口冷)处的切线和斜率,即f (xo).相对应地，切线方程为 yf(xo)= f，x0)(x xo).4. 名师二级结论：当一个函数是多个函数复合而成时，就按照从外层到内层的原则实行求导，求导时要注意分清层次，防止求导不彻底，同时，也要注意分析问题的具体特征，灵活恰当选择中间变量，同时注意可先化简，再求导，实际上，复合函数的求导法则，通常称为链条法则，这是因为求导过程像

4、链条一样，必须一环一环套下去，而不能漏掉其中的任何一环5. 课本经典习题：(1)新课标 A 版选修 2-2 第 6 页，例 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油实行冷却和加热.如果在第xh时，原油的温度(单位：C)为y二f(x) =x2-7x *15(0乞x空8).计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义【解析】在第2为和第6A时,原油温度的变化的瞬时变化率就是广和广(6),根据导数的走义, 心 g =4血+0产皿=血亠./二血坐=亠同理可得八6T,AxAx在第”与第6应时，廂油温度的瞬时变化率分别为-3与5,它说明在第2h附近，原油温度大约以3匕的速

5、度下降；在第6內附近，原油温度大约臥刍匚/H的速率上升，般地，八抵)反映了原油温度在时刻附近的变化情况.(3)f(x)_g(x)f(x) g(x)g(x) f(x)g2(x)(g(x)丰0)【经典理由】 结合具体的实例， 给出了结论:f (x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况，阐述了导数的意义：导数能够描述瞬时变化率新课标 A 版选修 2-2 第 17 页，例 4 求下列函数的导数(1)y = (2x+3)2;(2)y =/咫申(3)y =sin(irx +申)(其中兀，护均为常数)；【解析】(1)函数y =(2x+3)2能够看作函数y=u2和u=2x + 3的复合函数，根据复合函数求

6、导法则有yx= yj协=(u2)(2x3) =4u =8x 12； (2)函数y=e05x1能够看作函数y=eu和u二-0.05x1的复合函数，根据复合函数求导法则有yx = yu ux =(eu) (-0.05x 1) = -0.05eu= -0.050.05x 1； (3)函数y =sin(二x)能够看作函数y = sin u和u =兀x+申的复合函数，根据复合函数求导法则有yx =yu ux= (sinu)(兀x+) =cosu =ncos(兀x+护).【经典理由】结合具体的例题，说明了复合函数求导的一般方法6.考点交汇展示：(1)导数与函数图象相结合12例 1.【百强校】2019 届黑

7、龙江双鸭山一中高三上学期质检一】如图，函数g x二f x x25的图象在点P处的切线方程是y = -x 8，则f 5 f 5二.【答案】-5【解析】由團象可得尸点坐标为G3),得宕=3,故/=5)-ix52=-2,=1且则f二孑一孑5 = -3, 4/(5)+-2+(-3)=-5,故答案为一(2)导数与不等式相结合例 2.设函数f(x)是奇函数f(X)(XR)的导函数，f(1) =0,当XA0时,xf(x)-f(x)V0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()C.(：,1)U(-1,0)D .(0,1)U(1,：)【答案】A【解析】记函数g(x) =f (x)，则g(x)二Xf (X2f)%

8、,因为当x 0时，xf(x) - f (x)：0,xx故当x 0时，g(x)：O，所以g(x)在(0,=)单调递减；又因为函数f(x)(xR)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(一：,0)单调递减，且g(-1) = g(1) = 0当0：x：1时，g(x) 0，则f(x) 0；当x：-1时，g(x)：0，则f(x) 0，综上所述，使得f (x) 0成立的x的取值范围是(：，-1)U(0,1)，故选 A.【考点分类】热点 1 导数的运算1.【百强校】2019 届山东枣庄三中高三 9 月质检】已知函数f x的导函数为f x,且满足f x =2xf 1尹I n x,则f 1 =()A.

9、 -eB. -1C.1D. e【答案】B【解析】/,(x) = 2/X1)+丄 於(1) = 2广(l)+lnf(l) = l,所以选B.X2.【百强校】2019 届河南濮阳第一高级中学高三上学期检测二】已知f(x)是兀:a的值为f (x)=sin x a cosx的导函数，且f()二，则实数()44213A.B.C324D. 1【答案】 B【解析】由题意可得f (x)二cosx -asin x,由f()=二 可得-J、22丄、a，解之44224A.(：，_1)U(0,1)(-i,o)U(i,=)1得卄，故选 B.3.【2019 学年安徽省淮南二中】下列求导运算准确的是() 所以A项应为l 由

10、X)=-ogae = XX(a1j-ana可知匚项错误*D项中，= IXCOSJC-J?SJDJCj所以D项是错误的，综上所述正确选项为B.【方法规律】导数运算时，要注意以下几点：1. 尽可能的把原函数化为幕函数和的形式；2. 遇到三角函数求导时，往往要对原函数实行化简，从而能够减少运算量;3. 求复合函数的导数时，要合理地选择中间变量 热点 2 导数的几何意义1.【2019 高考新课标 2 理数】若直线y = kx b是曲线y = In x 2的切线，也是曲线y =ln(x 1)的切线，贝yb =_ .【答案】1 -I n21 1【解析】对函数y =1 nx 2求导得y，对y =1 n(x

11、1)求导得y，设直线Xx + 1y=kx+b与函数y=lnx + 2相切于点只(为，)，与函数y = ln(x+1)相切于点B(x2,y2),则=1 n +2,y2=ln(x2+1)，则点片(为，y1)在切线上得y (ln为+ 2 )=丄(x xj，由1、一F2(X2, y2)在切线上得y-l n(x2 1)(x-屜)，这两条直线表示同一条直线，所以x2+11 1,解之得为 ,所以k2,所以b =ln % 2 -1 = 1 -In 2.X22XfA. 1.log2X说C.(X2COSX) = -2XSinx【答案】B1 1XX2+1In (x21) =In为X21【解析】因为-一知B项正确；由

12、xlna2. 【2019 年河南郑州高三二模】 曲线f (x)二X- x 3在点P处的切线平行于直线y = 2x -1,则P点的坐标为()A(1,3)B .(-1,3)C .(1,3)和(-1,3)D .(1,一3)【答案】C.【解析】因f (x)= 3x2- 1，令f (x)= 2，故3x2-仁2= x = 1或-1，所以P(1,3)或(-1,3)，经检验，点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上，故选 C.3. 【2019 高考新课标 3 理数】已知f x为偶函数，当x: 0时，f(x)=l n(-x) 3x，则曲线y = f x在点(1,-3)处的切线方程是 _ .【答案】y=

13、2x-1【解析】当QO时，-工，则/即x【方法规律】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x, y0),求曲线过点P的切线则需分点P(x0, y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1) 点P(x, y)是切点的切线方程为y - y= f (x)(x -x).(2) 当点P(x0, y0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(x1, f (x1)；第二步：写出过P(X1,f(xJ)的切线方程为y - f (xj = f(x,)(x-xj；第三步：将点P的坐标(X0,y)代入切线方程求出 ；第四步：将x1的值代入方程y - f (xj = f(MX-XJ可得过点P(x0,y0)的切线方

14、程.热点 3 导数的几何意义的应用IIn x,0 x 1,1.【2019 年高考四川理数】设直线 1 仆 12分别是函数 f(x)=图象上点 P1, P2In x,xA1,处的切线，丨1与 l2垂直相交于点 P,且 I1, I2分别与 y 轴相交于点 A, B，则 PAB 的面积的取值范围是()(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+ s)(D)(1,+R)【答案】A【解析】设P,(x, Inx,),F2(X2, Inx2)(不妨设兀A1,0c x? = 1 +-的图象*由團可知/有两个交点.兀兀 T工-1易得切线h ,l2的斜率分别为kiXi(1)求曲线y = f(x)在点M(1,0)

15、处的切线方程；(2) 如果过点(1,b)可作曲线y= f (x)的三条切线，求实数b的取值范围.【答案】(1)y =2x-2；(2)b (-1,0).【解析】(1) 0)4-u=2.曲线，= /(力在点处的切线方程为:j = 2x2 .33(2)设切点(Xo, Xo Xo),则切线方程为y(XoXo)=f (Xo)(X Xo)又切线过点(1,b),所以(3xf-1)(1 Xo) xo -Xo=b即2X3_3x：+b+1 =o.由题意，上述关于Xo方程有三个不同的实数解.记g(x) =2x3-3x2b 1,则 g(x)有三个不同的零点.而 g(x) =6x(x-1),则 g(o)g(1)：0 即

16、可，也就是 b (-1, 0).【解题技巧】导数的应用除研究切线方程外，还有很多应用，如：(1)因为有些物理量，如瞬时速度，瞬时加速度，瞬时功率，瞬时电流和瞬时感应电动势等与导数有着直接或间接的关系，在解题时应紧扣这些联系来解决问题;(2)利用导数的性质求解参数的取值范围问题，解决这类问题的一般方法是待定系数法，即根据题设条件，利用导数工具所列出所需的方程或方程组，然后加以求解即可【易错点睛】 利用导数解决恒成立或存有性问题的基本思想是转化成函数的最值问题，利用导数来判断函数的单调性求七最值，在过程中，通常会用到分离变量法或者含参讨论以及构造函数 在分析题目描述的问题是需分析清楚到底是恒成立问

17、题还是存有性问题【热点预测】1.【2019 高考山东理数】若函数 y=f(x)的图象上存有两点，使得函数的图象在这两点处的f (x)具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是(【答案】A【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存有两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一 当y=sinx时，y = cosx，有cos0 cos兀=一1，所以在函数y = sinx图象存有两点故 A 准确；函数y =1 n x, y = ex,y = x3的导数值均非负，不符合题意，故选 A.中】已知函数y = f x的图像在点1, f 1处的切线方程是A.12【答案】A(1) =1 f7(1) = j

18、 /2则刃)=31).此外,切线互相垂直，则称 y =(A) y =si nx(B) y =1 n x(C) y=exX =0,X -二使条件成立,2.【2019 学年安徽省淮南x-2y 1 = 0，若g(x戶x仃，则g 1=()(x)的團象在点,()处的切线方程是x-2y+l=0,(X)3.设曲线y=ax_l n(x1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x，则a =()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D1【解析】因为y=a_丄，所以切线的斜率为a_1=2，解得a =3，故选 D.x+14.【百强校】2019 届湖南长沙长郡中学高三摸底】等比数列an中，a2,cfe -4，函数

19、f (x) =x(x -a0(x-a2)川(x-a8)，则f(0)-()A.26B .29C .212D .215【答案】C【解析】f (x) =(x-aj(x弋2)川(X弋8)x(x-a2)I|(x-a8)x(x-aj(x -a3川I(x-a*)III x(x-a1)|(x-a7),所以f(0) =a1a2ajl|a(a1a8)(2 4)4=212故选C.6.【百强校】2019 届四川省成都市高中毕业班摸底】曲线y =xsin x在点P(二,0)处的切线 方程是( )A.y - - x2B.y = x -2C.y - - x -二25.【百强校】2019 届山东省烟台二中高三第六次月考】已知

20、fp! %lx丿1 +x，则f1等于1111A.BCD2244【答案】C11【解析】令t =1,山1贝y x = -，f t二t1=1，所以f1x，则根据求导公式有xt11t 11+x()t1，所以f 1一4故选 C.1(1 x)2根据直线点斜式能够求的直线的方程为y- -1二-2 x-0 = 2x y 1 =0,故填坐标为0, -1,对函数f x求导可得fx1 ex八(X1)x-2 ex2(x1),又因为切线的斜率为导函数在切点处的导数值所以切线的斜率为k二0-2 e02(0 1)【答案】A【解析】y = /(x) = ZTiux, f(x) = siu兀+足89兀，f (旺)=_恥曲线y

21、=xsinx在点P(0处的 切线方程是y = -(x-JT)= -x+，故选A.7.已知函数f(x)=x41 nx，则曲线y = f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 _ .【答案】3x y _4 =04【解析】f (x) =1,f-3,f=1切线方程y-仁-3(x-1),即3x y 4 0 x8.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点 P,Q 的横坐标分别为 4，- 2，过 P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 _.【答案】 / .【解析】因为点P,Q的横坐标分别为4，-2,代入抛物线方程得P,Q的纵坐标分别为8,过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,-2

22、, 所以过点P,Q的抛物线的切线方程分别为y=4x-8,y= -2x -2联立方程组解得x =1,y=一4ex9.曲线f (x)在x =0处的切线方程为x T【答案】2x y 1 =0ex【解析】根据题意切点的横坐标为0,因为切点在曲线f X上且f 0= -1,所以切点x 1由x2=2y，则122x，所以y =x,2x y仁0.10. I 解析团队学易高考冲刺金卷】已知向量 才=(ex,sin x),b =(x,0)，若f (x a b,则f (x)在 x=1处的切线方程为_.【答案】y=2ex_e【解析】由已知，= 2丈=1时，/(1) = ,即切点为厲砖.又/g = / +妁，所以,堆戋翔

23、率为hf由直线方程的点斜式得所求切线方程为y = 2c-e.11. 已知偶函数 f x 在 R 上的任一取值都有导数，且f (1) =1, f (x 2) = f (x-2)，则曲线y 二 f x 在 x -乃处的切线的斜率为_ .【答案】-1.【解析】由f (x 2) = f(x -2)，得f(x 4f (x)，可知函数的周期为 4，又函数 f x 为偶函数，所以f (x 2) = f (x -2)=f(2 -x)，即函数的对称轴为x = 2，所以f (-5) = f(3) = f (1)，所以函数在x=5 处的切线的斜率 k-5=-1：尸-1.12.【百强校】2019 届江西师大附中高三上学期期末】已知函数y二f X的图象在点M 2, f 2处的切线方程是y=x，4，则f 2，2二.【答案】7【解析】由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知f (2) =1,有点M必在切线上，代入切