2022年高考数学专题--2导数起源千切线曲切联系需熟练

1、专题01导数起源于切线，曲切联系需熟练【题型综述】导数的几何意义：函数y = /(X)在/=凡处的导数/'(%)就是曲线丁 = /(x)在点(x()J(x()处的切线的斜率k ,即g r(%)=iim e。+小)一/5). AroAx【注】曲线的切线的求法：假设曲线过点p(xo, yo),求曲线过点尸的切线，那么需分点P(X0,冲)是切 点和不是切点两种情况求解.1当点P(xo,州)是切点时，切线方程为yyo=f，(xo)(x-xo);2)当点尸(xo,州)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P(X|, f(Xl)；第二步：写出过尸Q, 7(xi)的切线方程为yy(xi)

2、=/，(xi)(x-xi);第三步：将点P的坐标(xo,%)代入切线方程求出XI；第四步：将X1的值代入方程广/(X1)寸，(XI)(X-X1),可得过.点P(xo,%)的切线方程.求曲线y=/(x)的切线方程的类型及方法1切点p(xo,yo),求 B(X)过点P的切线方程：求出切线的斜率(切)，由点斜式写出方程；2切线的斜率为k,求-闫'(x)的切线方程：设切点P(xo, yo),通过方程与"(向)解得沏，再由点斜式 写出方程；3切线上一点(非切点)，求产/'(x)的切线方程：设切点P(m,加)，利用导数求得切线斜率/'(xo),再 由斜率公式.求得切线斜率

3、，列方程(组)解得心，最后由点斜式或两点式写出方程.4假设曲线的切线与直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜 率，再由 W(xo)求出切点坐标(xo,阿，最后写出切线方程.5在点P处的切线即是以尸为切点的切线，尸一定在曲线上.过点P的切线即切线过点P, P不一定是切点.因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是 否在.曲线上.【典例指引】例1. (2021全国新课标I卷节选)函数f(x)=x2+ax+b, g(x)=ex(cx+d)假设曲线y=f(x)和曲线y=g.(x) 都过点P(0, 2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(I )求 a, b, c, d

4、的值.简析:(I )由得/(0) = 2,g(0) = 2，r(0) = 4,g'(0) = 4,而/'(x)=2x+b, g'(x)=e*(cx + d + c),二a=4,b=2, c=2, d=2；例2.设函数/(x) = x2-a .(1)当a = l时，求函数g(x) = 0Xx)在区间0,1上的最小值；(2)当a>0时，曲线y = /(x)在点P(x"(*)(X >及)处的切线为/, /与x轴交于点4氏,0),求证：X > x2 > va .简析： a = l时，g(x) = x3 -x ,由 g，(x)=3x?-1 = 0

5、,解得 x = 士孚.g'(x)的变化情况如下表:X0(0,当皂 3(芈口1g'(x)-0+g(x)0极小值/0所以当x = "时，g(x)有最小值g(*)= 一乎.Q)证明：曲线J = /(x)在点P(xx ,2x J - a)处的切线斜率上=/'&) = 2xx曲线v- /(x)在点P处的切线方程为j - (2x J - a) = 2x1(x-x1)«. Xi > n >- < o,即 x： <*1.所以X >x? >4a .例3.函数/(力=加+加3x(a8eR)在点(1 J(l)处的切线方程为y +

6、 2 = 0.求函数/(x)的解析式；假设对于区间2,2上任意两个自变量的值入,/都有/(七)一/(七)归。，求实数c的最小值: 假设过点M(2,?)(?丰2)可作曲线y = f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.简析：(0/r(x) = 3ax2 +26x-3 .f(l)=-2, 1a + b3 = 2,a=l . 彳根据题意，得;.c即 八:；解得，所以x =l-3x./f(l) = 0,3a + 2b-3 = 0,| i = 0令f'(x) = 0,即3/-3 = 0.得*=±1.X-2-1(-1.1)1(L2)2f'(x).一“XI一 2增极大值减极小值增2

7、因为/(T) = 2, /=一2,舱、当xeT2时，/(x)aa=2, /(x)aR=-2.则对于区间-2,2上任意两个自变量的值项产：,都有|/(七)-/国，(x)x-/(x).= 4,豳CN4.所以c的最小值为4.因为点M (2,m)(mw 2)不在曲线y = / (x)上，所以可设切点为(天,/ ).那么用=- 3x0 .因为/(% ) = 3片一3,所以切线的斜率为3后一 3.那么3：_3=卫-3%一%2一2即 2x： 6x(； + 6 + ，= 0 .因为过点M (2,m)(m丰2)可作曲线y = /(x)的三条切线，所以方程2M 6片+ 6 +m=0有三个不同的实数解.所以函数且)

8、 = 2/ -6x2 +6 +加有三个不同的零点.那么g'(x)=6f-12x.令g'(x) = O，那么x = 0或x = 2.XF。)0(0,2)2(2,+oo)g'(x)+g(x)增极大值减极小值增g (0) > 06 +w > 0那么4 )： ，即，解得-6<m<2.g <2-2 + w<0【同步训练】1.设函数/(x) = alnxZz?(x>0),假设函数/(x)在x = l处的切线方程为6x2y 7 = 0 .(I )求实数a,。的值；(II)求函数/(x)在-,e上的最大值.【思路引导】(I )根据导数的几何意义

9、，可知函数/(x)在x = l处的导数即为切线的斜率，又点(1, -；)为切点，列 出方程解出a, b的值：(II)把a, b的值代入解析式，对函数求导判断单调性，根据单调区间写出函数的 最值.试题解析： /'(x) = -2ix,(x>0),X.函数/(X)在x = l处的切线方程为6x-2j，-7=0 ./'(l) = a-26 = 3,a = 4,解得, 1 ，所以实数ab的值分别为4和g. b = 一.221 44 (II)由知，/(x) = 41nx-x2, /'(x) = -x =,2 x x当时,令/'(x)>0 ,得1工工二2, ee

10、令尸(x)vO,得2vxWc, 1A f (x)在点，2)上单调递增，在(2, c上单调递减，/(x)在x = 2处取得极大值这个极大值也是/(x)的最大值.X/(2) = 41n2-2 ，所以函数在-,e上的最大值为41n2-2.2 .函数f(x) = " + mx + n)e*，其导函数丫 = f'(x)的两个零点为-3和0.(1)求曲线y = f(x)在点(l,f)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间； 求函数f(x)在区间-2,2上的最值.【思路引导】对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足f'(x) = 0,解方程组求出m, n；利用导

11、数的几何意义求切线方程，先求f(D，求出切点，再求f'(l)得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式f'(x)>0和f'(x)<0,求出增区间和减区间：求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区 间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比拟后得出最值.试题解析：(1) - f(x) = (x2 + mx + n)e",二f'(x) = (2x + m)e* + (x? mx + n)e, = x2 + (2 + m)x + (m n)e",由- 3) = 0t |9 - 3(m 2) (m + m) =

12、0 触2 m = 1 I f'(0) = 0 I m + n = 0'肝1 寸从而f(x)=(1 x - l)e”, = (x? 3x)e.所以f(l) = e, ./= 4e,曲线Y = f(x)在点(11)处的切线方程为丫 - e = 4e(x-l),即V = 4ex - 3e .(2)由于eX>0,当x变化时，Hx), f(x)的变化情况如下表：X( 8,. 3)3( 3.0)0(0, + 8)f'(x)0-0.f(x)单调递熠极大值单调递减极小值单调递增故f(x)的单调地区间是(.8,. 3), 9 + 8),单调递减区间是(-3, 0).(3)由于f(2

13、) = 5e: f(O) =-1, f(.2) = e所以函数f(x)在区间-2,2上的最大值为5e2.最小值为-1.3 .设函数y = f(x)的定义域为O,假设对任意当，x2eD,都有归1，那么称函数 y = /(x)为“加"”函数.函数/()=%3+笈2+5 + 1的图象为曲线。，直线y =质一 1与曲线。相切 于(1,-10).(1)求“X)的解析式，并求“X)的减区间;(2)设0<mW2,假设对任意工外加2,1,函数g(x)=小。为"Momz”函数，求实数s的最小值.16/n【思路引导】根据导数的几何意义，借助切点和斜率列方程求出"C,得出函数的解

14、析式“利用导数解了'(力<0求出函 数的单调减区间；对任意函数g(x) = ?为"s/a7""函数，等价于在上”一2,?上， /(x)mix-/(x)iiin<16/n,根据函数的在上一2,向上的单调性，求出力的最值，根据条件求 出加的范围，得出结论.礴解析：(D f'(x) = 3x' + 2bx+c,.(f(1) = W b = 0,*'/(1) = -10, , c=-12,.'./(x) =x3 -12x+l y /*(x) = 3x: -12 = 3(x-2)(x+2), 列表可知：X-2(-2.2)2

15、(2,-wo)/1W+00+x)/极大值极小值/所以在(一2,2)上递减.(2)已知条件等价于在也一2,同上，f(x)aa-f(x) <16m,."(x)在-2,2上为减函数,且0<加2,，加2,何匚卜2,2卜:.在m-2,向上为减函数，/(力2=/(加一2)=(加-2)3-12(加-2)+1,f=f(W)= W3 12m +1 ./(X) =-6nr 4-12/n+16<16m * 得6 V2 /?> »J /max J /min34又 0 V W 2 , :. ?min = .4 .函数/(尢)=41一14,不 R.(1)求/(X)的单调区间;(

16、2)设曲线y = /(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点尸处的切线方程为y = g(x),求证：对于任意的正实数x,都有/(x)Wg(x)；(3)假设方程x)=a(a为实数)有两个正实数根%，,且看<，求证：x2-x,<-1 + 45.【思路引导】(1)求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导.函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g(x) = /'(毛)(1毛)，构造辅助函数F(x) = f(x)-g(x),利用导数得到时于任意实数x,有尸(x)W/(不)=0,即对任意实数x,都有 /(x)Wg(x)； 由

17、 知，g(x) = -12 x-4 ,求出方程g(x) = i的根，x2, = - + 43 ,由g(x) 在(9,+8)单调递减，得到%«七'，同理得到根据不等式性质那么可证得 x2 - %! < x2 *- Xj 1 =+ 4§试题解析：由/(x) = 4x-f,可得(x) = 4-4x3,当f'(x)>0 ,即x<l时，函数f(x)单调 递熠；当/'(x)<0,即x>l时，函数/'(x)单调递减.所以函数/(x)的单调递增区间是(yo,1),单 调递减区间是(L+<»).(2)设尸(20),

18、则q=41,，'()=-12,曲线y = /(x)在点P处的切线方程为y =/(毛)(一天)， 即 g(x) = f,()(x-xc),令 F(x)=/(x)-g(x) 即 F(x)=/(x)-/,(xb)(x_J(b) 则 r(x)=r(x)-r(xo).由于f'(x)=4-4/在(YD,+8)单调递减，故F(X)在(Y,+8)单调递减，又因为尸'(毛)=0,所以 当xe(-00,q)时，F(x)>0,所以当xe(如行)时，F(x) <0 ,所以产(x)在(一多)单调递增, 在(天,*0)单调递减，所以对任意的实数a, F(x)<F() = 0 ,对

19、于任意的正实数x,都有 /(x)<g(x).(口-(3)由(2)知g(尤)=-12 x-43 ,设方程g(x) = a的根为石，可得名=一"巴+ 4§，因为g(x)在 <)12(-00,4-00)单调递减，乂由(II)知 g(X2)N/(x2)= a = g(x2')，所以 工2 4工2 .类似的，设曲线 y = /(x) 在原点处的切线为y = (x),可得(x) = 4x ,对'任意的xe(-8,+oo),有/(x)-/?(x) = -x4 <0即 /(x)</(%).设方程(x) = a的根为x；,可得x；=?,因为(x) =

20、4x在(-00,+oo)单调递增， 且(玉)=/(玉)力(王)，因此，Xj < Xj,所以2%_王=h43 .A5 .函数/(x) = ov+ 4(4£凡4.0)在1 = 3处的切线方程为(2-1)尤一2丁+3 = 0.X 1假设g(x)= /(x+1),求证：曲线g(x)上的任意一点处的切线与直线x = 0和直线y = or围成的三 角形面积为定值；【思路引导】根据导数的几何意义，/'(3)为切线的斜率，解出，写出g(x)的切线方程求出三角形的面积为定值.试题解析：证明：(I)因为f (x) = aJ,所以f (3) =。-2 =三，b = 2 (if422又 g (

21、x) =f (x+1) =ax+,x2设g (x)图象上任意一点P (x()» yo)因为g* (x) =a,厂22所以切线方程为 y- (ax()+- ) = (a ) (x-x0)4.令 x=0 得 y=一； 再令 y=ax 得 x=2x(), %4故三角形面积S= 2| 一 |2x()|=4,即三角形面积为定值. /6 .函数/(同=/+皿？+nx ( m,neR )(1)假设/(x)在x = l处取得极大值，求实数加的取值范围；(2)假设/'(1) = 0,且过点P(0,l)有且只有两条直线与曲线y = /(x)相切，求实数m的值.【思路引导】(1)根据条件得'

22、;(1) = 0,化简得3+2m+n=0,再根据有极值得3x?+2mx+n=0中判别式大于零，进 而得m#-3,最后列表分析极大值条件得-1 +号>1,解得实数团的取值范围；(2)切线条数确实定决 定于切点个数，所以设切点，转化为关于切点横坐标的方程2/3+ ?% + 1 = 0,再利用导数.研究函数 h(x) = 2x3 + mx2+1有两零点，即极值为零，解得实数加的值.试题解析：( I ) f'(x) = 3x，+2mx+n由”)= 0#3 + 2m+n =0 A = 4m2 -12n >0./.(m+3)* >0,得到m 工一3,.f (x) = 3x，+2m

23、x (2m + 3) = (x -l)(3x + 2m + 3 I、 (、.'.r(x)= 0,得x=l或x=l + ；. J Jz ) 、由题一;1 +二J > L 解得m < 3由得m < -3(II )由1) = M导 3 + 2m + n =0所以 r(x) = 3x，+2mx-(3 + 2m)因为过点(0)且与曲线V = /(X)相切的直线有目仅有两条,令切点是尸(天,打)，则切线方程为y-j0 =-七)由切线过点(0，所以有"尤= /'&)(-七)1-j3 -mx +(3 + 2w)Xj =3xJ +2wx -(3 + 2m)(一

24、a)整理得2/3 +晖2 + 1 = 0所以，关于X然)方程2x/ + mxJ+1 =。有两个不同的实根.令h (x) = 2x 3 + mx' +1,贝ijh (x)需有两个零点h'(x)= 6x* +2mx所以mwO,且'(x) = %导x =0或x =-巴3由题，h(0)=05ogh, -y=0又因为h(O) = L所以h？； = 0所以4-5) +m| -yj +1=0解得m = -3 ,即为所求.点评：函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.函数求极值.求/' (x) 一

25、求方程/' (x) = 0的根一列表检验/' (x)在/' (x) = 0的根的附近两侧的符号一 下结论.(3)极值求参数.假设函数J(x)在点(七,)处取得极值，那么/'(毛) = 0,且在该点左、右两侧的导数值 符号相反.7 .函数/(x) = e*, g(x) = lnx+2.(1)假设直线歹=履+是曲线y = x)与曲线y = g(x)的公切线，求k,b；【思路引导】(1)设宜线丁 =辰+人与y = e'切于点与y = hu: + 2切于。(占叱+2), P处的切线方程 为y = e&x+（l-xje'1 .。处的切线方程为y =

26、'-* + 1m2+1.根据这两条直线为同一条宜线，可得关于X和*2，解得X和Z的值，从而可得结果；试题解析：对函数求导，得N =。3对函数y = lnx+2求导，得y =-.x设直线J = H+b与y = /切于点P（马右）,与y=lnx+2切于0（巧,Inx, +2）.则在点尸处的切线方程为：丁一。三=>（一内），即y = /x+（l-再）/ .在点。处的切线方程为：y-nx,-2 = -（x-x2）,即丁 =24+1皿+1. X>X, =11）这两条直线为同一条直线，所以有J（1-再）/：=，叫+ 1（2）由（1）有演= -lnw ,代入（2）中,有）七"1

27、.=0,则演=1或七=1.Jr p当演=1时，切线方程为女，所以,八，6 = 0左=1当电=1时，切线方程为y = x+l,所以 一 .0 = 1点评：此题主要考查利用导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，属，于难题.应用导数的几何意义 求切点处切线的斜率，主要表达在以下几个方面：（1）切点A（Xo，/（x。）求斜率攵，即求该点处的导数 左= /'（%）： （2）己知斜率上求切点A& J（xj）,即解方程广（5）=攵：（3）巳知切线过某点 用（3"（玉）（不是切点）求切点,设出切点A（x。J（Xo）,利用左/三/=/'（/）求解.X -X。8.函数/(x)

28、 = Y+gx2+ar + b (a,b为常数)，其图像是曲线C.(1)设函数/(x)的导函数为f'(x),假设存在三个实数%,使得/) =/与/'(%) = 0同时成立，求 实数。的取值范围；(2)点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线。的切线4与曲线。交于另一点8,在点8处作曲线。的切线设切线的斜率分别为仁«2,问：是否存在常数丸，使得& =义勺？假设存在，求出之的值； 假设不存在，请说明理由.【思路引导】丫3 + 5 x? + / a) x + b 0由于存在唯一的实数%,使得/(%) =/与/'(%)=0同时成立，那么2'， 一 ，3x2

29、 +5x+a = 0存在唯一的实数根%,即b = 2Y+gx2+x存在唯一的实数根与，就把问题转化为求函数最值问题：(2) 假设存在常数丸，依据曲线C在点A处的切线人与曲线C交于另一点3,曲线。在点B处的切线4,得到 关于;I的方程，有解那么存在，无解那么不存在.3 君 +。= 0试题解析:/'(x) = 3£+5x+a,由题意知 3 5 ,，消去a,得2*+三石+升一方=0不+苍+axo+b=O2一有三解.令g(x)=2f +彳/ + x,则/(工)=(2工+1)(3工+1),分析单调性,可知且；一 j 方 gj -1 ',(2)设,4(XoJ(Xo),则点X处切线

30、方程为=-引，与曲线c ：)1=f(x)联立方程组，得“x)-/(七)=/'()(一出),即(x-天y所以B点的横坐标出 = 一毛+.由题意知，,525k、= f Ax0) = 3k： + 5x0 +a, kt= / (-2x0 -) =+ 2Oxo +- + a,若存在常数 A ,使得七=超，24则 12工：+20% +g +。= A (3x； + 5x0 + a),即常数人使得(3x： +5x0)(4-A) = (2-1Rj- 所以 444-A = 0，25»解得2 = 4," = .故当。=时,存在常数a=4，使得k,=森；当时,= 0121221124不存在

31、常数/使得为 =9.函数/(x) = nr, (x) = ax2-x(«e/?).(1)假设曲线x)与g(x)在公共点A(l,0)处有相同的切线，求实数a,b的值；(2)当 =1时，假设曲线/(x)与g(x)在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一：(3)假设>0, b = ,且曲线/(x)与g(x)总存在公切线，求：正实数a的最小值.【思路引导】"1) = 0.曲线“X)与g(x)在公共点4(1,0)处有相同的切线，g=0,解出即可：设八 l) = gQ2(七,%)，由题设得/(毛)=8(/),/'(%)=8(玉)，转化为关于司的方程只有一解，进而构造函数转化为函数只有一个零点，利用导数即