信息光学(1)02-常用函数、傅立叶变换;03-相关、卷积、线性系统、二维光场-66

1、信 息 光 学南京邮电大学南京邮电大学 光电工程学院光电工程学院几个常用非初等函数几个常用非初等函数用途：用途：快门快门; ; 单缝单缝, , 矩孔矩孔, ,区域限定区域限定其它标准型其它 , 021 , 1)(rect:, , 021x , 1)(rect00axxaxxx矩形函数（矩形函数（ Rectangle function ）特点特点: : rect(0)=1, rect(0)=1, 矩形宽度矩形宽度=1=1，矩形面积，矩形面积=1, =1, 偶函数偶函数 )( rect0axx )( rect )( rect00byyaxx矩形函数矩形函数000sin()/sin()/xxxxac

2、axxaSinc 函数函数标准型：标准型：xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0 x0特点特点: : 最大值最大值 sinc(0)=1sinc(0)=1；lim sinc(x)=0lim sinc(x)=0 x x曲线下面积曲线下面积 S=1S=1；0 0点位置点位置 x=x= n (n=1, 2, 3n (n=1, 2, 3) )等间隔；等间隔；偶函数偶函数Sinc 函数函数n数学上数学上,sinc,sinc函数和函数和rectrect函数互为傅里叶变换函数互为傅里叶变换n物理上物理上, ,单一矩形脉冲单一矩形脉冲rect(rect(t t) )的频谱是的频谱是sincsinc函数

3、函数; ;单缝的夫琅和费衍射花样是单缝的夫琅和费衍射花样是sincsinc函数函数Sinc函数的重要性函数的重要性:二维二维sincsinc函数函数: : sinc(sinc(x x)sinc()sinc(y y) )三角形函数三角形函数其它标准型其它原型 , 01 ,1)(tri:, , 01 ,1)(tri:000axxaxxaxxxxx底宽底宽: 2最大值：最大值：tri(0)=1曲线下面积曲线下面积: S=1底宽底宽:2|a|, 面积面积: S= |a|又写成：又写成：L L(x)南京邮电大学南京邮电大学 光电工程学院光电工程学院 赵新彦赵新彦10sgn( )0010 xxxx符号函数

4、（符号函数（ Signum ）x01Sgn(x)-1用途：用途：代表代表“ ”“ ”相移器、反相器相移器、反相器10( )1 2000 xstep xxx阶跃函数（阶跃函数（ Step Function ）x01Step(x)用途：用途：开关；无穷大半平面屏开关；无穷大半平面屏与符号函数关系与符号函数关系: Sgn(x)=2 Step (x)-122221010 xyxyacircaracircra 其它ra圆柱（域）函数（圆柱（域）函数（ Circular Function ）特点：特点：circcirc函数是不可分离变量的二元函数函数是不可分离变量的二元函数用途：用途：描述无穷大不透明屏上

5、半径为描述无穷大不透明屏上半径为1 1的圆孔的透过率的圆孔的透过率 00,0( , )0,0 xyx yxy函数函数1)(dxx)0()()(fdxxxf 函数函数-性质性质 筛选性质筛选性质 )()()(00 xfdxxxxf 函数是偶函数函数是偶函数 )()(xx 比例变换性质比例变换性质 1()( )axxa梳状函数（梳状函数（Comb Function）傅里叶（傅里叶（1768-1830 ）9岁父母双亡，岁父母双亡， 被教堂收养。被教堂收养。12岁由主教送入岁由主教送入地方军事学校读书。地方军事学校读书。17岁回乡教数学。岁回乡教数学。26岁到岁到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年

6、到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。巴黎综合工科学校执教。30岁随岁随拿破仑拿破仑远征埃远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，及时任军中文书和埃及研究院秘书，33岁回国岁回国后任伊泽尔省地方长官。后任伊泽尔省地方长官。51岁当选为科学院院岁当选为科学院院士，士，54岁任该院终身秘书，后又任法兰西学院岁任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。终身秘书和理工科大学校务委员会主席。 1822年年热的分析理论热的分析理论中解决了热在非均匀加热的固中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题体中分布传播问题 1807年年热的传播热的传播推导出热传导方

7、程推导出热传导方程 ，提出任一函数，提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。都可以展成三角函数的无穷级数。 法国数学家、物理学家法国数学家、物理学家在你的理解中，一段音乐是什么呢？在你的理解中，一段音乐是什么呢？频域频域时域：时域：频域：频域：傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数011( )( cossin)2nnnf xaan x bn x周期为周期为 的函数的函数 可以展开为可以展开为三角级数三角级数由由正弦和余弦正弦和余弦函数线性组合函数线性组合成的无穷级数成的无穷级数1 ( )f t002( )cos2,2( )sin2nnaf tn tdtbf tn tdt 理论意义：理论意义

8、：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；把复杂的周期函数用简单的三角级数表示； 用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。指数傅里叶级数指数傅里叶级数2( )jn tnnf tF e 201( ),0, 1, 2,jn tnFf t edtn 1.1.傅里叶变换傅里叶变换,( , )exp2 ()Ff x yjxy dxdy ,( , )exp2 ()f x yFjxy d d 正变换逆变换傅里叶变换傅里叶变换把非周期函数分解为复指数函数把非周期函数分解为复指数函数在整个连续频率区间上的积分和在整个连续频率区间上的积分和20 0( , )( , )exp2co

9、s()Grg rjrdrd 20 0( , )( , )exp 2cos()g rGjrd d 极坐标下的傅里叶变换 002( )(2)Grg r Jr dr00( )2( )(2)g rGJr d 正变换正变换 逆变换逆变换傅里叶-贝塞耳变换 傅里叶变换傅里叶变换广义傅里叶变换广义傅里叶变换周期函数：周期函数：1. 只有有限个极值点和间断点，只有有限个极值点和间断点， 2. 绝对可积绝对可积非周期函数：非周期函数：延拓为周期函数，延拓为周期函数，光学中不少有用的函数，如：脉冲函数、阶跃函光学中不少有用的函数，如：脉冲函数、阶跃函数等，不能满足以上条件，因此必须把以上傅里数等，不能满足以上条件

10、，因此必须把以上傅里叶变换定义推广，才能求出其傅氏变换式叶变换定义推广，才能求出其傅氏变换式 函数函数 不存在狭义傅里叶变换，但有：不存在狭义傅里叶变换，但有：( )f x广义傅里叶变换广义傅里叶变换极限意义下的傅里叶变换和极限意义下的傅里叶变换和函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换（1）极限意义下的傅里叶变换）极限意义下的傅里叶变换( )lim( )nnf xfx且：且：( )( )nnFfx 则：则：( )lim( )nnf xfx（2） 函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换广义傅里叶变换广义傅里叶变换根据根据函数的定义式，可直接求出它的傅里叶变换函数的定义式，可直接求出它的傅里叶变换2( )(

11、)1jxxx edx 21( )jxedxx广义傅里叶变换广义傅里叶变换（2） 广义傅里叶变换举例广义傅里叶变换举例阶跃函数：阶跃函数：1( )1 sgn( )2step xx1( )1 sgn( )21( )2step xxj 广义傅里叶变换广义傅里叶变换（2） 广义傅里叶变换举例广义傅里叶变换举例梳状函数：梳状函数：()exp( 2)nnxcombaxnaajnx a()xcombacomb aa特例：特例： exp( 2)ncomb xjnx ( )comb xcomb原函数原函数频谱函数频谱函数缝函数缝函数 二维矩形函数二维矩形函数 高斯函数高斯函数 函数函数 (x) 1常数常数 1圆

12、函数圆函数 )(21)(21)(00fffff10)(rectax22axax)af(asinc10rectrect)by()ax(22by,ax其它各处)(sinc)(sincxxbfafab1022circ)ayx(ayx22其它各处222212yxyxff)ffa(aJ)xf0)x(gcos(21022LxLx)(exp)(2axxg)af(a22exp( )f傅傅里里叶叶变变换换对对傅里叶变换的意义傅里叶变换的意义数学意义数学意义: :从一个函数空间从一个函数空间(集合集合)到另一个函数空间到另一个函数空间(集合集合)的映射；的映射；f(x)称为变换的原函数称为变换的原函数(相当于自变

13、量相当于自变量)，F()称为象函数。称为象函数。应用意义应用意义: :把任意函数分解为简单周期函数之和，把任意函数分解为简单周期函数之和，F()的的自变量为频率，函数值为对应的振幅。自变量为频率，函数值为对应的振幅。物理意义：物理意义：把一般运动分解为简谐运动的叠加；把一般运动分解为简谐运动的叠加；把一般电磁波把一般电磁波(光光)分解为单色电磁波分解为单色电磁波(光光)的叠加。的叠加。傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度：看待问题的角度：一个连续的信号可以看作是一个个一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从

14、频域叠加都可以组成小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。傅里叶变换的意义傅里叶变换的意义时阈信号：时阈信号：将信号从时间角度的分割和叠加。将信号从时间角度的分割和叠加。傅里叶变换：傅里叶变换：将信号从频率的角度叠加。将信号从频率的角度叠加。 傅里叶变换的意义傅里叶变换的意义u 傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何所需要的信号。以合成任何所需要的信号。u

15、 傅里叶变换简单理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成傅里叶变换简单理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成。傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信成。傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。乱无章的信号中的主要振动频率特点。例如：例如：减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大

16、的对比，可以据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。快速判断哪级齿轮损伤。 在光学信息处理中，光学系统所传递和处理的在光学信息处理中，光学系统所传递和处理的信息是随空间变化的函数。信息是随空间变化的函数。一幅图像是一种光的一幅图像是一种光的强度强度和和颜色颜色按空间的分布，按空间的分布，这种这种分布的特征可用空间频率表明分布的特征可用空间频率表明。把图像看作。把图像看作是由各种方向、各种间距的线条组成。是由各种方向、各种间距的线条组成。傅里叶变换与光学傅里叶变换与光学例：例：振幅型透射光栅的傅里叶级数展开振幅型透射光栅的傅里叶级数展开光栅常数：光栅常数：2db透

17、射率透射率 ：( )T x-空间周期为空间周期为d 的函数的函数 -空间位置空间位置 x 有确定的函数关系有确定的函数关系傅里叶变换与光学傅里叶变换与光学)(xT2, 1, 0, 2/) 12( 1mdmxmd0其他其他展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数)5sin(52)3sin(32)sin(221)(000 xxxxT空间频率：单位长度内变化的次数。空间频率：单位长度内变化的次数。dv/12/00d/20傅里叶变换与光学傅里叶变换与光学表示一个周期为表示一个周期为d 的黑白光栅可看成由频率的黑白光栅可看成由频率 及及 许多正弦光栅（强度按正弦分布）组成。许多正弦光栅（强度按正弦分布）组成。0

18、1/d003,5sin22sin0ddkfxvsin2令令0/k 以一束单色平行光照射光栅，在其后的透镜焦平面上得到的以一束单色平行光照射光栅，在其后的透镜焦平面上得到的光强分布与该光栅本身的透射函数的傅里叶功率谱相同。光强分布与该光栅本身的透射函数的傅里叶功率谱相同。在焦面上的亮点代表直流成分，在焦面上的亮点代表直流成分，每一对亮点每一对亮点代表光栅的一个空间频率代表光栅的一个空间频率。xvf傅里叶变换与光学傅里叶变换与光学卷卷 积积rect(x)*rect(x) -1 0 1 g(x) x 11. 画出画出 二个二个 rect( )2. 将将rect( )折叠后不变折叠后不变;3. 将一个

19、将一个rect(- )移位至给定的移位至给定的x, rect-( -x)= rect( - x);4. 二者相乘二者相乘;乘积曲线下乘积曲线下面积的值面积的值 即为即为g(x).rect()1 -1/20 1/2rect()1 -1/20 1/2 x-1/2 x x+1/2rect()1 -1/20 1/2( )( )( ) ()f xh xfh xd翻转、平移、相乘、积分翻转、平移、相乘、积分 平滑：平滑：被积函数经过卷积运算，被积函数经过卷积运算，其微细结构在一定程度上被消除，其微细结构在一定程度上被消除，函数本身的起伏变得平缓圆滑。函数本身的起伏变得平缓圆滑。卷卷 积积 效效 应应展宽：

20、展宽：一般来说，卷积的宽度一般来说，卷积的宽度等于被卷积函数的宽度之和。等于被卷积函数的宽度之和。1.1.交换律交换律2.2.分配律分配律3.3.结合律结合律 xfxhxhxf*)(* xhxwxhxvxhxwxv*)(* xhxwxvxhxwxv*)(*卷卷 积积 运算定律运算定律即任意函数与即任意函数与函数函数卷积后不变卷积后不变)()()()()(xfdxfxxf由由 1.1. - -函数是偶函数函数是偶函数, 2., 2. - -函数的筛选性质函数的筛选性质, , 有有: :任意函数与脉冲函数卷积的结果任意函数与脉冲函数卷积的结果, , 是将该函数平移到脉冲所在的位置是将该函数平移到脉

21、冲所在的位置f f( (x x) )与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f f( (x x) )的函数波形的函数波形, ,用于描述各种重复性的结构用于描述各种重复性的结构. .包含包含函数的卷积函数的卷积-函数的移位函数的移位00( )()()f xxxf xx 包含包含函数的卷积函数的卷积*=ldxyt (x, y)2/circ22lyx (x+d/2) + (x-d/2 ) =*x0dlxyy相相 关关 运运 算（算（correlation）1. 互相关互相关 cross correlationdxgfxgxfxrfg)()(*)()()( )*() (

22、 )( )*()fgrxfx gdg xfx 与卷积的关系：与卷积的关系： 1. 当且仅当当且仅当 f*(-x)=f(x) ，相关才和卷积相同。，相关才和卷积相同。 一般情况下一般情况下,相关运算与卷积运算的区别相关运算与卷积运算的区别: f(x)要取复共轭；运算时要取复共轭；运算时 f(x) 不需折叠不需折叠2.2.互相关不满足交换律互相关不满足交换律dxffxfxfxrff)(*)()()()(相相 关关 运运 算（算（correlation）2. 自相关自相关 auto-correlation互相关互相关在两函数有相似性时出现峰值，在两函数有相似性时出现峰值，自相关自相关则在位移到重叠时

23、出现极大值则在位移到重叠时出现极大值自相关与互相关的比较自相关与互相关的比较互相关互相关自相关自相关2022-5-5线性系统分析线性系统分析线性平移不变系统线性平移不变系统Linear Shift-Invariant System ( , )( , )f x yg x y ( , ; ,)(;)h x yh xy 输入和输出的变换关系不随空间位置而变化输入和输出的变换关系不随空间位置而变化H仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标在仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标在x和和y方向方向的相对间距的相对间距 和和 ，与坐标本身的绝，与坐标本身的绝对数值无关。对数值无关。 ()x ()y 0000(,)(,)f

24、xxyyg xxyy 2022-5-5则此线性系统称为时不变系统则此线性系统称为时不变系统. . 系统的性质不随所系统的性质不随所考察的时间而变考察的时间而变, , 是稳定的系统。时间轴平移了是稳定的系统。时间轴平移了, , 响应也随之平移同样的时间响应也随之平移同样的时间, ,即具有平移不变性即具有平移不变性. .t 0 (t- )t0 (t)例：例：时不变时不变( (一维一维) )系统系统 : : RCRC电路电路th(t)0 h(t- )t0实际物理系统大多可近似为平移不变系统实际物理系统大多可近似为平移不变系统. .线性系统分析线性系统分析线性平移不变系统线性平移不变系统2022-5-

25、5线性系统分析线性系统分析线性不变系统的传递函数线性不变系统的传递函数( , )( ,) (,)( , )( , )g x yfh xyd df x yh x y 通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函数通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函数空域：空域：( , )( , )( , )f x yg x yh x y傅里叶变换傅里叶变换( , )( , )( , )FGH ( , )( , )( , )GFH 求输入函数与脉冲响应函数两者各自频谱密度的乘积，求输入函数与脉冲响应函数两者各自频谱密度的乘积，再对该乘积取逆傅里叶变换求得输出函数。再对该乘积取逆傅里叶变换求得输出函数。频域：频

26、域： 1( , )( , )g x yG F空域空域频域频域2022-5-5线性系统分析线性系统分析线性不变系统的传递函数线性不变系统的传递函数( , )( , )( , )GHF 线性平移不变系统的线性平移不变系统的传递函数传递函数输出函数中所有基元成分的线性叠加即合成输出函数。输出函数中所有基元成分的线性叠加即合成输出函数。表征系统对输入函数中不同频率的基元成分的传递能力；表征系统对输入函数中不同频率的基元成分的传递能力；其其模模改变输入函数各种频率基元成分的模；改变输入函数各种频率基元成分的模；其其辐角辐角改变基元成分的初位相；改变基元成分的初位相；2022-5-5线性系统分析线性系统分

27、析线性不变系统的本征函数线性不变系统的本征函数对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数仅等于输入函数与一个仅等于输入函数与一个的乘积，此的乘积，此输入函数输入函数就是就是此系统的此系统的本征函数本征函数。 ( , )( , )f x yaf x y 例例 输入函数输入函数：( , )exp 2 ()f x yjxy 则则 输出函数输出函数：( , )exp 2 () (,)( , )exp 2 ()g x yjh xyd dHjxy 本征函数本征函数通过系统时不改变函通过系统时不改变函数形式，仅被衰减或数形式，仅被衰减或放大，或产生相

28、移。放大，或产生相移。2022-5-5二维光场分析二维光场分析单色光波场的复振幅表示单色光波场的复振幅表示单色光波场中某点单色光波场中某点 P 在在 t 时刻的光振动：时刻的光振动： ( , )( )cos 2( )u P ta PtP 振幅振幅初相位初相位 时间频率时间频率 ()2( , )Re( )exp(2( )Re( )ejPjtu P ta PjtPa Pe Define：()( )( )ejPU Pa P 复振幅复振幅2*IUUU 光强：光强：光振动的空间分布完全由复振幅随空间位置的变化确定光振动的空间分布完全由复振幅随空间位置的变化确定空间位置空间位置时间时间 2022-5-5二

29、维光场分析二维光场分析球面波的复振幅球面波的复振幅0()jkraU Per P(x,y,z)点离开光源的距离点离开光源的距离r1处的振幅处的振幅 2k 波数波数1 2221 222200002()()()()1xxyyrzxxyyzz0 x0yOSPxy2022-5-51 2221 222200002()()()()1xxyyrzxxyyzz二维光场分析二维光场分析球面波的复振幅球面波的复振幅当：当：22200()()xxyyz 2200()()2xxyyrzz 22000( , )exp()exp()()2akU x yjkzjxxyyzz 常相位因子常相位因子 二次相位因子二次相位因子 等相位线方程：等相位线方程：2200()()xxyyC 2022-5-5二维光场分析二维光场分析平面波的复振幅平面波的复振幅 ( , , )expcoscoscosU