(甘志国)蒙日圆及其证明

1、蒙日圆及其证明甘志国(已发表于河北理科教学研究，2015(5)：11-13)x2y2高考题(2014年咼考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆C:+=l(a>b>0)的a2b2一个焦点为(；'5,0)，离心率为.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若动点P(x,y)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P00的轨迹方程x2y2答案：(1)9+二；(2)X2+y2=13.这道咼考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书数学2必修A版(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge1745-1818)作

2、了介绍.以上咼考题第(2)问的一般情形是定理1曲线r:竺+兰=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆a2b2x2+y2=a2+b2.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是(土a,b)，或(±a,-b).当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是(x,y)(x工土a,且y工土b),所以可设曲线r的过点P的切线方程是0000y-y=k(x-x)(k丰0)00x2y2.+=1由a2b2，得y-y=k(x-x)00(a2k2+b2)x2-2ka2(kx

3、-y)x+a2(kx-y)2-a2b2=00000由其判别式的值为0，得(x2-a2)k2-2xyk+y2+b2=0(x2-a2丰0)00000因为k,k是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以PAPB,y2+b2KK=PAPBx2a20由此，得KK=1ox2+y2=a2+b2PAPB00进而可得欲证成立.定理1的证法2当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（土a,B）,或（+a,-b）.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是(x,Y)(x工土a,且y工土b)，所以可设两个切点分别是A(x,y),B(x,y)(xxyy丰0).

4、000011221212得直线AB:+孚=1,切线PA:罕+早=1,PB:孚+孕=1.所以:a2b2a2b2a2b2KK=PAPBA2Y2丿b4xx=,KKa4YYOAOB12丄厶xx12文案大全b4KKOAOBPAPB因为点（x,y）（1=1,2）既在曲线r:竺+上=1上又在直线AB:罕+早=1上，所以iia2b2a2b2x2y2I+I-a2b2所以a4(y2b2)0(、xIIx丿i/、+2a2b2xy厶+b4(x200(x丿oib4(x2a2)0OAOBxxa2)=0b4a4a4(y2b2)KK0PAPBKKPAPBy2b2=0x2a20由此，可得PA丄PBox2+y2=a2+b200进而

5、可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1（椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1A版（人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）第76页）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（如图1所示）.图1证明如图2所示，设P为椭圆r(其左、右焦点分别是F,F)上任意给定的点，过点P作ZFPF的外角平分线所在的直线l(Z3=Z4).先证明/和r相切于点P，只要证明/12上异于p的点P'都在椭圆r的外部，即证PF+pf>|pf|+PfI：1212图2在直线PF上选取点F，使PF'|=

6、pFI，得AP'PF'9APrPF，所以|PF|二P'F|,还1222得p'F|+p'F|=p'F|+pF|>IffI=|fp|+Pf|=pF|+|pf|1211112再过点P作ZFPF的平分线PA(Z1=Z2)，易得PA丄l，入射角等于反射角，这就12证得了引理1成立.引理2过椭圆r(其中心是点O长半轴长是a)的任一焦点F作椭圆r的任意切线I的垂线，设垂足是H,则oh=a.证明如图3所示，设点f',f分别是椭圆r的左、右焦点，a是椭圆r的切线i上的切点，又设直线FH,FA交于点B.由引理1,得ZFAH=4AFfBH（即反射角与入射

7、角的余角相等），进而可得AFAH9ABAH，所以点H是FB的中点，得OH是ABFF'的中位线.又|af|=|ab|，所以|OH|=|(|FA|+|AB|)=2(1FA|+|AFI)=a.引理3平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和.证明由余弦定理可证（这里略去过程）.引理4设点P是矩形ABCD所在平面上一点，则PA2+PC2=PB2+PD2.证明由引理3，可得PA2+PC2=2(OA2+OP2)=2(OB2+OP2)=PB2+PD2即欲证成立注把引理4推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等定理1的证法3可不妨设a0,b0.当a=b时，易证成立.下面

8、只证明a>b的情形.如图5所示设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是F,F，焦距是2c，过动点P的12两条切线分别是PM,PN.图5连结OP，作OG丄PM,OH丄PN,垂足分别是G,H.过点F作FD丄PM,垂足为D,11由引理2得od=a.再作FK丄OG于K.记ZOFK=9，得|dg|=FK=ccos9.111由RtAODG，得OG*=|OD2|DG|2=a2一c2cos29又作FE丄PN,FL丄OH，垂足分别为E,L.在RtAOEH中，同理可得22|oh2=|oe2|he2=a2c2sin29.若PM丄PN，得矩形OGPH，所以Opb=|og2+|ohb=(a2c2cos29)+(a2c

9、2sin29)=a2+b2(2)若|OP|2=a2+b2，得|OP|2=(a2-c2cos29)+(a2-c2sin29)=|OG|2+|OH|2由OG丄PM，得|OP|2=|OG|2+|GP|2，所以|GP|=|OH|.同理，有OG=HP，所以四边形OGPH是平行四边形，进而得四边形OGPH是矩形，所以PM丄PN.由(1),得点P的轨迹方程是x2+y2=a2+b2.定理1的证法4可不妨设a>0,b>0.当a=b时，易证成立.下面只证明a>b的情形.如图6所示设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是F,F，焦距是2c，过动点P的两12条切线分别是PA,PB，两切点分别为A,B.实

10、用标准文档分别作右焦点F2关于切线PA,PB的对称点M,N，由椭圆的光学性质可得三点所以F,A,M共线（用反射角与入射角的余角相等）同理，可得三点勺B,N共线.MJ二NF).由O是家的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得|PF|2+|PM|2=|PF|2+|PF|2=2(|OF12+OP2)=2(c2+|OP|2)若PA丄PB，得ZMPF+ZNPF二2(ZAPF+ZBPF)二180。，即三点M,P,N1122共线.又|PM|二|PF|二|PN|，所以PF丄MN，进而得4a2=|MF|2=|PF|2+|PM|2=2(c2+|OP|2)|OP|2=a2+b2若|OP|2=a

11、2+b2，得|PF|2+|PM|2=2(c2+|OP|2)=2(c2+a2+b2)=4a2=|MF|2所以PF丄PM.1同理，可得PF丄PN.所以三点M,P,N共线.得ZAPB=ZAPF+ZBPF=-(ZMPF+ZNPF)=90。，即PA丄PB22222由(1),得点P的轨迹方程是x2+y2=a2+b2.定理1的证法5(该证法只能证得纯粹性)可不妨设a>0,b>0.当a=b时，易证成立.下面只证明a>b的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是F,F，焦距是2c，过动点P的12两条切线分别是PA,PB，切点分别是A,B.fff设点F关于直线PA,PB的对称点分别

12、为F,F，直线FF与切线PA交于点G，直线11211fFF与切线PB交于点H.12得AF=|AFI,BF=|bf|，再由椭圆的定义，得FF=FF=2a，所以OG=OH=a.11211222因为四边形PGFH为矩形，所以由引理4得Of2+|op|2=og2+Oh2=2a2，所以11|OP|2=a2+b2，得点P的轨迹方程是x2+y2=a2+b2.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：x2y2定理2(1)双曲线一-厂=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆a2b2x2+y2=a2一b2；(2)抛物线y2=2px的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.x2y2b2定理3

13、(1)椭圆一+1=1(a>b>0)的两条斜率之积是-一的切线交点的轨迹方a2b2a2x2y2程是+-2;a2b2x2y2b2双曲线一4=1(a>0,b>0)的两条斜率之积是的切线交点的轨迹方程是a2b2a2x2y2a2b2x2y2x2y2定理4过椭圆一+=2(a>b>0)上任一点P(x0,yo)作椭圆一+=1的两条a2b200a2b2切线，则(1)当x0=±a时，所作的两条切线互相垂直；当xo时，所作的两条切线斜率之积是-齐定理5(1)椭圆+学=1(a>b>0)的两条斜率之积是九(九丰0)的切线交点的轨迹a2b2r是：当九=1时，r即圆

14、x2+y2=a2+b2(但要去掉四个点(±a，b),(±a，-b);当九<0且九1时，r即椭圆x2a2b2y2b2九a2=1(但要去掉四个点文案大全(±a,b),(±a,b)；b2bx2y2 当九=一时，r即两条直线y=±x在椭圆一+厂=1(a>b>0)外的部分(但a2aa2b2要去掉四个点(±a,b),(±a,b)；b2y2x2x2y2 当O<九<时，r即双曲线一=1在椭圆+=1(a>b>0)a2b2Ka2b2a2b2a2K外的部分(但要去掉四个点(±a,b),(

15、7;a,b)；b2当K>时,a2r即双曲线x2a2b2y2Ka2b2x2y2=1在椭圆+=1(a>b>0)夕卜a2b2的部分（但要去掉四个点（土a,b）,（土a,-b）.双曲线寻-E=1（ab°）的两条斜率之积是是20）的切线交点的轨迹r是:当九=-1时，r即圆x2+y2=a2一b2；当九0时，r即双曲线1；x2y2_b2九a2+b2a2+-y2x2+=1；b2一入a2一b2a2+-九九当九1或一1九一冬时，r即椭圆a2当一九0时，r不存在.a2（3）抛物线y2=2px的两条斜率之积是九（九丰°）的切线交点的轨迹r是： 当九v°时，r即直线x=丄；2九 当九°时，r的方程为x=圭丿.例（北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题）已知D