工程力学(静力学与材料力学)第二篇弯曲变形

1、单辉祖,材料力学教程1第 6 章 弯曲变形 弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计本章主要研究：单辉祖,材料力学教程21 引言 2 梁变形基本方程 3 计算梁位移的积分法4 计算梁位移的奇异函数法5 计算梁位移的叠加法6 简单静不定梁7 梁的刚度条件与合理设计单辉祖,材料力学教程31 引 言 弯曲变形及其特点弯曲变形及其特点 挠度与转角挠度与转角单辉祖,材料力学教程4 弯曲弯曲变形及其特点变形及其特点 挠曲轴是一条连续、光滑曲线挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力

2、对弯曲变形影响一般可忽略不计对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计, 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交挠曲轴挠曲轴 变弯后的梁轴，称为变弯后的梁轴，称为挠曲轴挠曲轴 研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静研究弯曲变形的目的，进行梁的刚度计算，分析静 不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础不定梁，为研究压杆稳定问题提供有关基础单辉祖,材料力学教程5 挠度与转角挠度与转角转角转角挠度挠度挠度与转角的关系挠度与转角的关系（小变形小变形）xwddtan 挠度挠度横截面形心在垂直于梁轴方向的位移横截面形心在垂直于梁轴方向的位移)( xww 挠曲轴方程挠

3、曲轴方程转角转角横截面的角位移横截面的角位移)(x 转角方程转角方程 （忽略剪力影响忽略剪力影响）xwdd （rad）单辉祖,材料力学教程62 梁变形基本方程 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程单辉祖,材料力学教程7 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程EIxMx)()(1 3/2 21)(1wwx EIxMww)(13/2 2 EIM 1（纯弯纯弯）（推广到非纯弯推广到非纯弯） w弯矩引起的挠度弯矩引起的挠度 s smax s sp挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程单辉祖,材料力学教程8 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程小变形时小变形时：12 b 时时0 0 11 wx

4、处，处，在在0 22 wlx处，处，在在2121 wwaxx 处，处，在在处处，在在 21axx 位移边界条件：位移边界条件：位移连续条件：位移连续条件：021 DD)(62221lbEIlFbCC 2211d/dd/d xwxw 2. 确定积分常数确定积分常数发生在发生在AC段段1113116DxCxEIlFbw 22232322)(66DxCaxEIFxEIlFbw 0dd11 xw单辉祖,材料力学教程15例 3-2 建立挠曲轴建立挠曲轴 微分方程，写出边界条件，微分方程，写出边界条件，EI 为常数为常数2qaFAy 23qaFBy 121122ddxEIqaxw 2222222ddxEI

5、qxw 解：1. 建立挠曲轴近似微分方程建立挠曲轴近似微分方程AB段段:CB段段:2. 边界条件与连续条件边界条件与连续条件0 0 11 wx处，处，在在0 11 wax处处，在在2121 wwaxx 处，处，在在处，处，在在 21axx 位移边界条件：位移边界条件：位移连续条件：位移连续条件：2211dddd xwxw 单辉祖,材料力学教程16F=qa例 3-3 绘制挠曲轴的大致形状绘制挠曲轴的大致形状F=qa单辉祖,材料力学教程174 计算梁位移的奇异函数法 奇异函数奇异函数 弯矩通用方程弯矩通用方程 梁位移通用方程梁位移通用方程 例题例题单辉祖,材料力学教程18 奇异函数奇异函数当需分段

6、建立当需分段建立 M 或或 EI 方程时，用积分法求解需要方程时，用积分法求解需要确定许多积分常数，利用奇异函数简化了分析计算确定许多积分常数，利用奇异函数简化了分析计算)( )(axaxax )( 0axax )0( )( naxxFnn Caxnxaxnn111d定义奇异函数（或麦考利函数）)( 00axax 单辉祖,材料力学教程19 弯矩通用方程弯矩通用方程用奇异函数建立用奇异函数建立最后梁段最后梁段 DE 的弯矩方程的弯矩方程：23201e 2 lxqlxFlxMxFMAy 适用于各梁段适用于各梁段。eMxFMAy 1- 0 0- 0132 lxlxlx由由于于例如对于例如对于 BC

7、段段（ l1, l2）单辉祖,材料力学教程20 梁位移通用方程梁位移通用方程23201e2lxqlxFlxMxFMAy 23201e2221ddlxqlxFlxMxFEIxwAyClxqlxFlxMxFEIxwAy 33221e26221ddDCxlxqlxFlxMxFEIwAy 433221e3246261适用于任一梁段适用于任一梁段, 仅包括两个积分常数仅包括两个积分常数 , 由边界条件确定由边界条件确定单辉祖,材料力学教程21 例例 题题例 4-1 用奇异函数法计算用奇异函数法计算 A ，EI 为常数为常数解：1. 建立梁位移通用方程建立梁位移通用方程lMFFByAye 0ee2 lxM

8、xlMM 0ee222 ddlxMxlMxwEI ClxMxlMxwEI 22 dde2eDCxlxMxlMEIw 2e3e226 单辉祖,材料力学教程222. 确定积分常数确定积分常数0 , 0 0 wlxwx处处，在在处处，在在0 ,24 e DlMC得得：EIlMA24e （）ClxMxlMxwEI 22dde2eDCxlxMxlMEIw 2e3e2263. 计算转角计算转角 24221ddee2elMlxMxlMEIxw单辉祖,材料力学教程23例 4-2 用奇异函数法计算用奇异函数法计算wA，EI为常数为常数解：FFBy2 FFCy 022axFaaxFFxwEI CaxFaaxFxF

9、wEI 2222DCxaxFaaxFxFEIw 23322360 , 3 ;0 , waxwax处处在在处处在在1211 ,121332FaDFaC EIFawwA121103 （ ）单辉祖,材料力学教程24例 4-3 建立通用挠曲轴微分方程，写出位移边界条件建立通用挠曲轴微分方程，写出位移边界条件解：22222lxqxqM 2222222ddlxqxqxwEI 0dd , 0 : xwwlx处处在在单辉祖,材料力学教程255 计算梁位移的叠加法 叠加法叠加法 逐段分析求和法逐段分析求和法 例题例题单辉祖,材料力学教程26 叠加法叠加法方法方法qAFAAwww, 分解载荷分解载荷分别计算位移分

10、别计算位移求位移之和求位移之和)( 8343 EIqlEIFl)( 33, EIFlwFA)( 8 4, EIqlwqA? Aw当梁上作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和单辉祖,材料力学教程27理论依据)()()(xMxMxMqF )(dd22xMxwEI )()( xwxwwqF 故：故： )(dd22xMxwEIF )( xwwF )(dd22xMxwEIq )( xwwq 上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合（小变形小变形, ,比例极限内比例极限内）（小变形小变形）叠加法适用条件叠加法适用条

11、件：小变形小变形，比例极限内，比例极限内单辉祖,材料力学教程28 逐段分析求和法逐段分析求和法 分解梁分解梁 分别计算各梁段的分别计算各梁段的变形在需求位移处引变形在需求位移处引起的位移起的位移awB 1EIlFaaEIFalw3321 EIFaw332 21www )( )(32 alEIFa 求总位移求总位移在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体EIlFaB3 单辉祖,材料力学教程29 例例 题题例 5-1 q(x)=q0cos(p px/2l)，利用叠加法求利用叠加法求 wB=?解：)3(6)d(d2xlEIxxxqwB xlxEIxlxqd2cos6)(320 x

12、lxxlxEIqwlBd 2)cos(360 20 p pEIlq4340324)(2p p p p ( )( )单辉祖,材料力学教程30例 5-2解：21wwwC awwBB 1FaBFBBwww, 2322236523EIFaEIaFaEIFa ? CwFaBFBB, 22222232EIFaEIaFaEIFa 23137EIFaw 1323EIFawIFaEIFaEIFawC ()()()单辉祖,材料力学教程31例 5-3 图示组合梁，图示组合梁，EI=常数，求常数，求 wB 与与 A2 qaFFByAy FBFBBwwwBy, 23623223aaEIaFEI

13、aqa 48134EIqa qABAaw, 165244813333EIqaEIqaEIqa ()()解：单辉祖,材料力学教程32例 5-4 图示刚架，求截面图示刚架，求截面 C 的铅垂位移的铅垂位移21wwCy awwBB 1)( 332 EIFaw)( 333t23 EIFaGIlFaEIFlCy 解：)( t aGIFalEIFl33 单辉祖,材料力学教程33例 5-5 求自由端位移求自由端位移d d 故故挠曲轴与外力作用面不重合挠曲轴与外力作用面不重合zyII 一般情况下一般情况下yzd dd d tan tanyzII 解： sinFFz cosFFy zzyyEIFlEIlF3co

14、s333 d d yyzzEIFlEIlF3sin333 d d 22zyd dd dd d 223sincos3 yzIIEFl 单辉祖,材料力学教程346 简单静不定梁 静不定度与静不定度与多余约束多余约束 简单静不定梁简单静不定梁分析方法分析方法 例题例题单辉祖,材料力学教程35 静不定度与静不定度与多余约束多余约束多余约束多余约束 凡是多于维持平衡所必须的约束凡是多于维持平衡所必须的约束多余反力多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度静不定度 未知未知支反力（力偶）数支反力（力偶）数有效平衡方程数有效平衡方程数静不定度静不定度多余约束数多余

15、约束数4-3 = 1 度度 静不定静不定5-3 = 2 度度 静不定静不定静不定梁静不定梁 支反力（含力偶）数支反力（含力偶）数超过超过平衡方程数的梁平衡方程数的梁单辉祖,材料力学教程36 简单静不定梁分析方法简单静不定梁分析方法选选 FBy 为为多余力多余力EIlFEIFlwByB348533 0 Bw变形协调条件变形协调条件物理方程物理方程0348533 EIlFEIFlBy补充方程补充方程165FFBy 163 0,/FlMMAA 得得平衡方程平衡方程1 度静不定度静不定1611 0,/FFFyAy 得得算例综合考虑三方面综合考虑三方面求梁的支反力求梁的支反力, EI=常数常数单辉祖,材

16、料力学教程37 判断梁的静不定度判断梁的静不定度 用多余力用多余力 代替多余约束代替多余约束的作用，得的作用，得受力与原静不定受力与原静不定梁相同的静定梁梁相同的静定梁相当系统相当系统 计算相当系统在多余约计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程协调条件建立补充方程 由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力 通过相当系统计算内力、位移与应力等通过相当系统计算内力、位移与应力等依据综合考虑三方面依据综合考虑三方面关键确定多余支反力关键确定多余支反力分析方法与步骤相当系统相当系统相当系统相当系统注意注意:

17、: 相当系统有多种选择相当系统有多种选择单辉祖,材料力学教程38 例例 题题例 6-1 求支反力求支反力BAM,AM,AF,AA BAM,BM,BF,BB EIlMEIlMEIlblFabBA636)( EIlMEIlMEIlalFabBA366)( 0 0 解：1. 问题分析问题分析2. 解静不定解静不定0 0 BA, 2222 lbFaM,lFabMBA 3232)2( )2(lblFaF,lalFbFByAy 水平反力忽略不水平反力忽略不计计, ,2多余未知力多余未知力单辉祖,材料力学教程39例 6-2 悬臂梁悬臂梁 AB，用短梁，用短梁 DG 加固，试分析加固效果加固，试分析加固效果E

18、IlFFwC48)2(53R 解：1. 静不定分析静不定分析GCww EIlFEIlFwG243/2)(3R3R 45RFF EIlFEIlFF2448)2(53R3R 单辉祖,材料力学教程40EIFlEIlFEIFlwB6413485333R3 45RFF 2. 加固效果分析（刚度）加固效果分析（刚度）2maxFaM 减少减少 50%减少减少39.9%EIFlwB33,未未加加固固FaM未未加加固固,max3. 加固效果分析（强度）加固效果分析（强度）单辉祖,材料力学教程41 32/3NEIlFFwBEAlFEAlFlNN22 EAlFEIlFFN3N23222N262AlIFAlF 例 6

19、-3 图示杆梁结构，图示杆梁结构，试求杆试求杆 BC 的轴力的轴力lwB 2解：梁截面形心的轴向位移一般忽略不计梁截面形心的轴向位移一般忽略不计单辉祖,材料力学教程42例 5-4 直径为直径为d 的圆截面梁的圆截面梁, ,支座支座 B 下沉下沉 d d，s smax=?解：,B0 EIlFEIlMByBB22 EIlFEIlMwByBB3232 236 12lEIM,lEIFBByd dd d zWMmaxmax s sIdlEI/262maxd ds s d d Bw23ldEd d d d 0 单辉祖,材料力学教程437 梁的刚度条件与合理设计 梁的刚度条件梁的刚度条件 梁的合理刚度设计梁

20、的合理刚度设计 例题例题单辉祖,材料力学教程44 梁的刚度条件梁的刚度条件 d dmaxw max最大位移控制指定截面的位移控制 许许用用挠挠度度 d d 许用转角许用转角 500750 ll d d桥桥式式起起重重机机梁梁： 100005100003 ll d d一般用途的轴：一般用途的轴：例如滑动轴承处例如滑动轴承处: d dw rad 001. 0 单辉祖,材料力学教程45 梁的合理刚度设计梁的合理刚度设计 横截面形状的合理选择横截面形状的合理选择 材料的合理选择材料的合理选择使用较小的截面面积使用较小的截面面积 A，获得较大惯性矩，获得较大惯性矩 I 的截面形的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面状，例如工字形与盒形等薄壁截面影响梁刚度的力学性能是影响梁刚度的力学性能是 E ，为提高刚度，宜选