2017西安交大版+东南大学复变函数与积分变换复习提纲

1、复变函数复习重点（一）复数的概念1 .复数的概念：z=x+iy,x,y是实数，x=Re（z）,y=Im（z）.i2=1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2 .复数的表示i）模：z=qx+y2；2）幅角：在z#0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg（z）（多值函数）；主彳1arg（z）是位于（-冗，冗中的幅角。3 ）arg（z）与arctany之间的关系如下：xy当x>0,argz=arctan；xyy_0,argz=arctan-当x：0,x;yy<0,argz=arctan奠x4）三角表示：z=|z（cosH+isinH）,其中日=argz；注：中间一定是“+”

2、号。5）指数表示:z=|zei8,其中a=argz0（二）复数的运算1 .加减法：若z1=k+iy1，z2=x2+iy2,则z1±z2=（x1±x2）+i（y1±y2）2 .乘除法：1)若乙=为+iy1，z2=x2+iy2,则ZiZ2=(kx2-YiY2)+i(X2Yi+x1y2)；Zi_Xi+iy_(x1+iyXx-iy_xXyJ甘X%X.一27二/L2i272°Z2X2i%Xiy-X12y冰2MNi。2)若Zi=ZieZ2=Z2ey,则五二亘®电）Z2LI，3.乘哥与方根1）若z=z（cose+isin0）=|zei6,贝Uzn=|z1n（

3、cosne+isinne）=48照。2）若z=z（cose+isin0）=|z|ei0,则nL1f+2knH+2kJi）7?=zncos+isin:（k=0,1,2n-1）（有n个相异的值）1nnJ（三）复变函数1 .复变函数：w=f（z）,在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2 .复初等函数1）指数函数：ez=ex（cosy+isiny）,在z平面处处可导，处处解析；且（ez）=ez。注：ez是以2g为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数：Lnz=lnz+i（argz+2kn）（k=0,±1,±21）（多值函数）；主值：Inz

4、=Inz+iargz。（单值函数）1Lnz的每一个王值分支Inz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且（Inz）=一；z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3)乘哥与哥函数：ab=ebLna(a=0)；zb=ebLnz(z00)注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且（zbj=bzb。izJzizz4）三角函数:e-eee,sinz,coszsinz=,cosz=,tgz=,ctgz=2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且(sinz)=cosz,(cosz)=-sinz注：有界性sinz1,coszW1不再成立；（与实函数不同）z-zz-z一一，e-eee4)双曲

5、函数shz=,chz=；22shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且（shz）=chz,（chz）=shz。（四）解析函数的概念1 .复变函数的导数1)点可导：fzo=limpf(Zo+Az)f(z。),."：z2)区域可导：f(z向区域内点点可导。2 .解析函数的概念1)点解析：f(z庐z。及其z。的邻域内可导，称f(Z)在z。点解析;2)区域解析：f(z产区域内每一点解析，称f(z)在区域内解析；3)若f(z)在z。点不解析，称z。为f(z)的奇点;3 .解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函

6、数;(五)函数可导与解析的充要条件1 .函数可导的充要条件：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy可导uu(x,y冽v(x,y堆(x,y)可微，且在(x,y)处满足C-D条件:x：:yFx此时,2 .函数解析的充要条件：f(z)=u(x,y)十iv(x,y粒区域内解析Uu(x,y评口v(x,y庭(x,y)在D内可微，且满足CD条件：此时此(z尸出+也。exex注意：若u(x,y),v(x,y附区域D具有一阶连续偏导数，则u(x,y),v(x,y)在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C-R条件时，函数f(z)=u+iv一定是可导或解析

7、的。3 .函数可导与解析的判别方法1)利用定义(题目要求用定义，如第二章习题1)2)利用充要条件(函数以f(z)=u(x,y)+iv(x,y)形式给出，如第二章习题2)3)利用可导或解析函数的四则运算定理。(函数f(z)是以z的形式给出，如第二章习题3)(六)复变函数积分的概念与性质n1 .复变函数积分的概念：f(z)dz=limZf(pzk,c是光滑曲线。n"注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2 .复变函数积分的性质1) ff(z)dz=-f1f(z)dz(c，与c的方向相反)；c，c2) jaf(z)十Pg(zdz=Jf(z)dz+Pfg(z)dz,a,B是常数；ccc3

8、)若曲线c由g与c2连接而成，则Jf(z)dz=ff(z)dz+ff(z)dz。c.坊,c23 .复变函数积分的一般计算法1)化为线积分：Jf(z)dz=fudx-vdy+iJvdx+udy;(常用于理论证明)c'cc2)参数方法：设曲线c：z=z(t)(口MtMP),其中口对应曲线c的起点，P对应曲线c的终点，P则If(z)dz=ffz(tz(t)dt。cY(七)关于复变函数积分的重要定理与结论1 .柯西一古萨基本定理：设f(z)在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则j'jfzdz=0c2 .复合闭路定理：设f(z)在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，G,c2,c

9、n是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以G,c2,On为边界的区域全含于D内，则n巾f(z)dz=£Nf(z)dz,其中c与ck均取正向；ck+ckNrf(z)dz=0,其中由c及c”(k=1,2，n)所组成的复合闭路。f3 .闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数f(z)沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f(z)不解析的奇点。4 .解析函数沿非闭曲线的积分：设f(z)在单连域B内解析，G(z)为f(z)在B内的一个原函数，z贝uzfzdz=Gz2-Gzi(zi,z2B)zl说明：解析函数f(z心非闭曲线的积分与积分路径无关，计

10、算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：设f(z)在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D,4为c内任意一点，则M-fdz=2nif(z()cz-zo6 .高阶导数公式：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为(n=1,2)fz2二i,n'c0pdz=Ffz0其中c为f(z)的解析区域D内围绕4的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。7 .重要结论:12二i,n=0，人11一tdz=4。(c是包含a的任意正向简单闭曲线)c(z-a)n10,n=08 .复变函数积分的计算方法HPr1)若f(z而区域D内处处不解析，用一般积分法ff(z)dz=J

11、fz(tz(t)dtc2)设f(z城区域D内解析,c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，现f(z)dz=0c是D内的一条非闭曲线，4,z2对应曲线c的起点和终点，则有z2fzdz=fzdz=Fz2-Fz1cz13)设f(z梃区域D内不解析曲线c内仅有一个奇点:fzdz二2二ifz0z-z0fz(f(z)在c内解析)?c(z-z0)n7dz二n!z0曲线c内有多于一个奇点：和f(z)dz=£Nff(z)dz(g内只有一个奇点zk)ck1Ci,n或：用f(z)dz=2ni£Resf(z),zk(留数基本定理)fz若被积函数不能表示成y，则须改用第五章留数定理来计算。(

12、zy)n1(A)解析函数与调和函数的关系二2二二2；1 .调和函数的概念：若二元实函数中(x,y)在D内有二阶连续偏导数且满足J+J=0,；x2”2中(x,y)为D内的调和函数。2 .解析函数与调和函数的关系解析函数f(z)=u+iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轲调和函数。两个调和函数u与v构成的函数f(z)=u+iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西一黎曼方程，则u+iv一定是解析函数。3 .已知解析函数f(z)的实部或虚部，求解析函数f(z)=u+iv的方法。1)偏微分法：若已知实部u=u(x,y),利用CR条件，得,；二x二y对空=四两边积分，得v=1dy

13、+g(x)(*).:yFx：:xCa，小再对(*)式两边对x求偏导，得=Ijdy+g'(x)(*)改,xl改Ji由CR条件，二yL,L、L、.vu;丁，得二-x.:y:x),可求出g(x);代入(*)式，可求得虚部v=1-dy+g(x)。:x2)线积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R条件可得；v：u：udv=一dx十一dy=一一dx十一dy,.x二y二y二x故虚部为v=)-udx+学dy+c;'x0,y0i，.y二x由于该积分与路径无关，可选取简单路径(如折线)计算它，其中(x0,y0)与(x,y)是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部u=u（x,y根据解析函

14、数的导数公式和C-R条件得知,.:vFu.:u-1=I.:y.:xy将此式右端表示成z的函数U（z）,由于f<z）仍为解析函数，故fz=Uzdzc（c为实常数）注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u.（九）复数项级数1 .复数列的极限1）复数列c（n=an+Ibn（n=1,2）收敛于复数口=a+bI的充要条件为llman=a,lImbn=b（同时成立）n.n2）复数列0（0收敛U实数列an,bn同时收敛。2 .复数项级数QOQOQ01）复数项级数工an（«n=an+ibn）收敛的充要条件是级数工an与Zbn同时收敛；n=0n=0n=02）级数收敛的必要条件是limo（n=0。

15、n：注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）哥级数的敛散性QOQ01 .哥级数的概念：表达式zcn（z201或£cnzn为哥级数。n=0n=02 .哥级数的敛散性cd1）哥级数的收敛定理一阿贝尔定理（Abel）:如果哥级数工cnzn在z0#0处收敛，那么对满足n=0z<z0的一切z,该级数绝对收敛；如果在z0处发散，那么对满足z>z0的一切z,级数必发散。2）哥级数的收敛域一圆域哥级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3)收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法如果lim侬=九手0,则收敛半

16、径R=-；n：=g根值法lim国=九字0,则收敛半径R=；n.二.如果0=0,则R=g；说明在整个复平面上处处收敛;如果九=8,则R=0；说明仅在z=4或z=0点收敛;qQ注：若哥级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。(如Zcnz2n)n=03.哥级数的性质qQqQ1)代数性质：设£anZn,ZbnZn的收敛半径分别为R与R,记R=min(R1,R2),n0n0则当z<R时，有OQqQOQZ(aan+Pbn)zn=£anzn+近bnzn(线性运算)n=0n=0n=000aooQ(工3nzn)(Z32)=£9口1+2口Jb1士”+a0bn)zn(乘积运算)

17、n=0n=0n=0cO2)复合性质：设当r<r时，f(£)=2anUn)当z<R时，U=g(z辨析且g(zj<r,n=0oC则当z<R时，fg(z=£ang(z。n=0oO3)分析运算性质：设备级数Zanzn的收敛半径为R#0,则n=0QO其和函数f(z)=工anzn是收敛圆内的解析函数;n3QO在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且f'(z)=£nanzn"z<Rn=0z在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；ff(z)dz=£3-zz<R0n=0n1(十一)骞函数的泰勒展开1.泰勒展开：设函数f（z）

18、在圆域z-201<R内解析，则在此圆域内f（z）可以展开成哥级数f（z）=£fC）（zz0；;并且此展开式是唯一的。n卫n!注：若f（z）在z0解析，则f（zm4的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径R=4-a；其中R为从4到f（z）的距zo最近一个奇点a之间的距离。2.常用函数在4=0的泰勒展开式1)23nz1n“zzzez='、.一zn1znn!2!3!n!+2)1八z=1zz，z1Zn=oz二13)n-,3-,5(T)2n1zzsinz="-z=z-no(2n1)!3!5!()n(2n1)!2n1zcosz'.z2n=1.HZ.5z2n.nm(2n)!

19、2!4!(2n)!3.解析函数展开成泰勒级数的方法1)直接法：直接求出cn=2f(n*z0),于是f(z)=£cn(zz0)n。n!n=02）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及哥级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）骞函数的洛朗展开QO1 .洛朗级数的概念：zcn（z-z0n,含正哥项和负哥项。n二二2 .洛朗展开定理：设函数f（z）在圆环域R<z-<R内处处解析，c为圆环域内绕z0的任意00一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有f（z）=zcn（z-z0），且展开式唯一。n二3 .解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4

20、.利用洛朗级数求围线积分：设f（z）在r<z-z0<R内解析，c为r<zz°<R内的任何一Z-Zg<R内洛朗展开式中条正向简单闭曲线，则Nf(zpz=2nic。其中c1为f(z)在r<-c1，一，的系数。z-Zo说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(ZZg)的系数。(十三)孤立奇点的概念与分类1。孤立奇点的定义：f(z卢Z0点不解析，但在zg的0<|zz0<5内解析。2。孤立奇点的类型：f人21)可去奇点：展开式中不含Z4的负哥项；f(z)=Co+c1(z-Zo)+C2(Z-Zo)+C_mC，m)fz-7Cm/m(Z-Zo)(

21、Z-Zo)gzm，(Z-Zo)2)极点：展开式中含有限项z-4的负哥项；C12-coCi(Z-Zo)C2(Z-Zo)(Z-Zo)其中g(z)=C+C,m)(zZo)1+c(zZo)m'+Co(zZo)m+在Zo解析,且g(Zo)#o,m21,Cqfo；3)本性奇点：展开式中含无穷多项z-4的负哥项;CmC.mfZ=,mCoC1(Z-Zo)-Cm(Z-Zo)-(Z-Zo)(Z-Zo)(十四)孤立奇点的判别方法1.可去奇点:limz吒f(z)=co常数;2 .极点:3 .本性奇点：limf(z)不存在且不为00。4 .零点与极点的关系1)零点的概念：不恒为零的解析函数f(z),如果能表示成

22、f(z)=(z-4)m(P(z),其中中(z)在Zo解析，中(Zo)#o,m为正整数，称Zo为f(z)的m级零点;2)零点级数判别的充要条件ff（n匕）=0,f（m匕）#0（n=1,2,m-1）3)零点与极点的关系:一一14是f(z)的m级零点uz0是的m级极点;fz4)重要结论若z=a分别是中(z)与甲(z)的m级与n级零点，则z=2是邛(z(z)的m+n级零点;当mAn时，z=a是一的mn级零点;z当m<n时，z=a是(z)的nm级极点;,z当m=n时，z=a是中“)的可去奇点;,z当m#n时，z=a是中(z)+甲(z羽l级零点，l=min(m,n)当m=n时，z=a是邛(z)+V(

23、z/勺l级零点，其中l之m(n)1.留数的定义：设4为f(z)的孤立奇点,(十五)留数的概念f(z)在zo的去心邻域0<z-zo<6内解析，c为该域内包含乙的任一正向简单闭曲线，则称积分用f(z)dz为f(z)在z0的留数(或残留)，记c_1作Resfz,z0冷小zdz2.留数的计算方法若z0是f(z)的孤立奇点，则Resf(z),z0=c,其中c工为f(z)在z0的去心邻域内洛朗展开式中(z-z0)的系数。1)可去奇点处的留数：若4是f(z)的可去奇点，则Resf(z),z0=02)m级极点处的留数法则I若4是f(z)的m级极点，则1dmmRef"J：昕四0-4)f&#

24、171;l特别地，若z0是f(z)的一级极点，则Resf(z),z0=lim(z-z0)fz注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。法则II设f(z)=Qz-),P(z),Q(z)在4解析，P(4)#0,Q(Z尸0。落产0,则Re/(Z),z0二：，Qz0Qz0(十六)留数基本定理设f(z产区域D内除有限个孤立奇点Z1,z2，zn外处处解析,c为D内包围诸奇点的一条正oO向简单闭曲线，则nfzdz=2二AResfz,zncn1说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数f(z)在c内各孤立奇点处留数的局部问题。积分变换复习提纲、傅里叶变换的概念Ff(t)=.：f(t)e

25、-jwtdt=F(w)1FF(一)=丁.F()ejtd=f(t)2 二二、几个常用函数的傅里叶变换1Fe(t)-j1Fu(t)=一二、()jF、(t)=1F1=2二、.()三、傅里叶变换的性质位移性(时域)：Ff(t10)=e,wt°Ff(t)位移性(频域)：Fejwotf(t)=F(w)wM/0=F(wwo)位移性推论:1，、一、，Fsinw0tf(t)二厂F(w-w0)-F(ww0)位移性推论:一1、L，、-Fcoswotf(t)二一F(w-w0)F(ww0)2微分性(时域):Ff=(jw)F(w)(tT+g，f(t)T0),Ff(n)(t)=(jw)nF(w),tTE,f(nJ

26、)(t)>0微分性(频域):F(jt)f(t=F'(w)F(jt)nf(t)=F(w)相似性：Ff(at)=JF(w)(a=0)aa应用：利用Fourier变换求解微分方程，积分方程.四、拉普拉斯变换的概念Lf(t)=0,f(t)e"dt=F(s)五、几个常用函数的拉普拉斯变换ktLe=Ltm=s-k-(m1)_m!m：1-m1ss1一.(m是自然数)；(1)=1,()=折,(m+1)=m(m)21Lu(t)=L1='sL、(t)=1.一.一kLsin对=台,r,sLcosktksLshkt=22,Lchkt=22s-ks-k1t设f(t+T)=f(t),则Lf

27、(t)=小f(t)dt。(f(t)是以T为周期的周期函数)1-e0六、拉普拉斯变换的性质微分性（时域）Lft=sFs-f0,Lf(t)=s2F(s)-sf(0)-f(0)微分性(频域)：L)t-ft(Fs'(),L(t)nf(t=F(s)tFs积分性(时域)：LJf(tdt=-J“s积分性(频域)：L斗=F(sds(收敛)位移性(时域)：Leatf(tj=F(s-a)位移性(频域)：Lf(t-tj|=eF(s)(eA0,t<0,f(t)三0).一1_s相似性：Lf(at)=-F(-)(a-0)aa七、卷积及卷积定理Fourier卷积f1(t)*f2(t)=Jf1(x)f2(t-T

28、)dT；43cLaplace卷积f(t)*fz(t)=J。fi(_fz(tT)dTFfi(t):=Fi(w)F2(w),1Ffi(t)f2(t)=Fi(w)F2(w)2二Lfi(t)/(t)=E(s)F2(s)八、几个积分公式二f(t)、.(t)dt=f(0).:f(t)、.(t-t°)dt=f(t0)：=f(t)0t-bedt=Lf(t)ds=F(s)ds00i.°f(t)e*tdt=Lf(t)s+模拟试卷.填空题ezsinzdz,其中c为z=a>0的正向则I.，叭UI-13.tanz能否在0<z<R内展成Lraurent级数?4.其中2的正向:z2si

29、n1dz_5.已知sin)=,则.选择题zRe（z）在何处解析(A)0(B)1(C)2(D)无2.沿正向圆周的积分.q|z|2sinz,工dzz2-1(a)2二isin1.(B)0.©isin1（D）以上都不对.Hocq'4M3,n=314.(B)1z-2e(C)1<z-1<2.(D)无法确定4.设z=a是fzfz的m级极点，则-fz在点z=a的留数是.(A)m.计算题(B)-2m.(C)-m.f（z）=u+iv为解析函数，U-V设函数f（z）与分别以求下列函数在指定点zo（D）以上都不对.3x2y-3xy2-yz=a为m级与n级极点，那么函数处的T

30、aylor级数及其收敛半径。f（z）g（z）.在z=a处极点如何?-1求拉氏变换ftsin6t"为实数)5.求方程y“+4y'+3y=e7满足条件y（0）=y'（0）=1的解.四.证明题zz1.利用ez的Taylor展式，证明不等式6-1e-1±Ze（a为非零常数）证明：?f（atX=模拟试卷一答案.填空题1. i2. 03. 否4. -1/65ft二J.0.5,0,Itt1二.选择题0.25,1. (D).计算题2. (A)3. (A)4. (C)1 .u=3x22 .函数f（z）g（z）在z=a处极点为m+n级1二nd3.fz=下nz1zn=14.s23

31、65.%t4r-tte2.模拟试卷二.填空题1.c为z=1正向，则zdz.shz,0；z2n4 .级数乙2.收敛半径为n=1n5 .6-函数的筛选性质是二.选择题1.f(t)=e"u(t-1),则？e一s1(A).TTe-s1(B)e_s_1(C)2二(D)以上都不对(A) F-2F(B) -F-2F.(C) iF-2F(D)以上都不对3.c为z=3的正向，q3(10_2jc(A).1(B)2(C)0(D)以上都不对4.沿正向圆周的积分sinz,2dz冗iz-一21.(A).0.计算题求sin(3+4i).(B).2(C).2+i.(D).以上都不对.dz2.fVj,其中a、b为不在

32、简单闭曲线c上的复常数，a'b.z-azb3.求函数,Z0=1在指定点z0处的Taylor级数及其收敛半径。4.求拉氏变换kte(k为实数)四.证明题oOxC、1.Cn收敛，而Jn=0n=0Cn00发散，证明ZCnzn收敛半径为1n=0f(+)1=C(q),虫.2.若？ftFS,(a为正常数)证明：？111fat=-F模拟试卷二答案.填空题1.2i2.ln3,m=13.14.15.d-joOtftdt.选择题1.(B).计算题2.(C)3.(C)4.(A)1.-43ie4-3ie2idz2.当a、b均在简单闭曲线c之内或之外时百cz-az-bc=0,dz当a在c之内，b在c之外时由cz

33、-az-b2-i,a-bdz当b在c之内，a在c之外时和cz-az-b-2-ia-b,工z-13f(zFoOn-1n=04,s模拟试卷三.填空题2z2z=0为ze2.ReS1nz2-z3,0bcbc3 .a,b,c均为复数，问、a'与a一定相等吗？4 .每个哥级数的和函数在收敛圆内可能有奇点吗?dz5.ccosz.选择题1 .设u和v都是调和函数，如果v是u的共轲调和函数，那么v的共轲调和函数为(A)u.(B)-u.(C)2u(D)以上都不对。inen=in(A).发散.(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)无法确定3.C为z=2的正向ezdzz2z29(D)以上都不对(A).1(B)24

34、.?ftF八.1(C)2：i9，则？【f1-t1=(A)f侬e_*®(B)f(-切e(C)F侬te'°(D)以上都不对三.计算题1.计算lzH枭,从而证明-12cosu054cosud二0.2 .求在指定圆环域内的Laurent级数z-1f=-,zT>1z3 .利用留数计算定积分：2二d-L1.02cosu4,求拉氏变换f(t)=tekt(k为实数).四.证明题21 .说明Lnz=2Lnz是否正确，为什么？2.利用卷积定理证明?_0tft出二模拟试卷三答案一.填空题1 .42.13.不一定4.否5.0二.选择题1.(B)2.(A)3.(C)4.(D)三.计算题

35、1.fz=NlzHdz.二0,z22./cQZ-1n1.n_1丁八-1n1z-1Znd03.34.12s-k模拟试卷四一.填空题1i1.复数z=一-三角表示形式.-i2、.22 .设u=x-y+xy为调和函数，其共轲调和函数为3 .乙cn(Zi)能否在z=-2i处收敛而z=2+3i发散.n=03364 .z=0为f(z)=6sinz+z(z-6)的级极点5 .卷积定理为二.选择题1 .F侬)=2祕g)则f(9=(A).7(B)1(C)2(D)以上都不对2 .若1+J3i)=(1-J3i),n为整数.n=(A)6k(B)3(C)3k(D)63 .C是直线OA,。为原点，A为2+i,则Re(zdz

36、=c(A).0.(B)(1+i)/2.(C).2+i.(D).以上都不对.4 设f(t)=sint三L则？.f卜】31-、3s(A) .21s2s-3(B) 21s2(C)11s2JIs(D)以上都不对三.计算题1 .求在指定圆环域内的Laurent级数工sinz八fz,0z在z=a极点如何?2 .设函数f(z)W分另ij以z=a为m级与n级极点，那么函数3.求E0<t<5;10淇他傅氏变换。4 .求拉氏变换f(tAesin6t.四.证明题2.若F)=?f(t4证明:_1?ftcos-0t1=-Fg-0,Fg-012模拟试卷四答案.填空题22二二y-x-1cosisin22xyc.

37、22乙23 .否4 .155 .略.选择题1.(B)2.(C)3.(C)4.(C)3 .计算题,：；2n1尸一小廿1.2. 当m>n时，z=a为上)的m-n级极点gz当men时，z=a为f')的可去奇点gz2E-5j53. 一e2sin264. 2s2364 .证明题1 .略2 .略模拟试卷五一.填空题21.z4iz(49i)=0根为2.是否相等3 .叙述傅氏积分定理4 .拉氏变换的主要性质二.选择题+D0n!,11n1.已知Co=1,Cn=n,c-n=1二一.则乙Cn(Z2)的收敛圆环为n2nn=：(A).4(B)1<z2<e(C)1<z-1<2.(D)无法确定_12. w一将z平面上x2+y2=4映射成w平面上的z)221(A).直线(B)u+v=1(C)u+v=(D)以上都不对413. z=0是f(z)=z2ez什么奇点(A).可去(B)本性奇点(C)2级极点(D)以上都不对4. ”t-t0)的傅氏变换为Q-i“0cA%(A)1(B)e(C)e(D)以上都不对三.计算题1.解方程ez*i=0.2.利用留数计算定积分：二cosx-二x232dx3 .利用能量积分求二sin2x-2dx一x4 .求F(s)=1S2S1的拉氏逆变换.四.