三年高考(2017-2019)理数真题分项版解析——专题12数列(解析版)

1、2.3.专题12 数列【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4 = 0, a5=5,则A. an =2n -5B. an =3n -10212_C. Sn = 2n 8nD. Sn= -n -2n2【答案】Ac d dS4 = 4al43=01a1-32【解析】由题知，22，解得W ,，an=2n_5, &=n4n,故选a.d =2 a5 = a14d = 5【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前 n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做 了判断.【201

2、9年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列Mn）的前4项和为15,且a5 = 3a3+4a ,则a3A. 16C. 4B. 8D. 2& 十 &。十&。2+&。3=15【解析】设正数的等比数列an的公比为q,则4 y ； Mq =3aq 4ala1 二 1,2解得 :a§ =aq 4 故选C.q=2【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键【2019年高考浙江卷】设 a, bCR,数列an满足a=a, an+1 = an2+b, ne N冲，则1”A. zb b ,a10A1021”B.当 b,a10>104

3、C.当 b = -2, a10 >10D.当 b = -4,a10 A10【答案】A【解析】当b=0时，取a=0,则an = 0, n乏N当 b<0时，令 x=x2 +b ,即 x2 x+b =0 .2.则该方程 =1 一4b >0,即必存在x0,使得x0 一x0 + b = 0 ,2则一th存在 a1=a=x0,使得an甲=an +b =an对任息nw N 成立,解方程a2 a +b = 0 ,/曰 1-T4b得a二当1处而M10时,即b一一90时,总存在aJib=裕 <10,故C、D两项均不正确.当 b >0时，a2 =a2 +b 之b ,则 a3 =a| +

4、b 2 b2 +b ,a4 = a； bb2 b b .，.、“1/1(i)当b =一时，a4至I 2112117d . 1+T = >1,a5>1+-,2 16211 11则a61十1 + 1 = 1132,224a7 H92 2a8/9 12 183I - +- = >10 ,22421 一则 a9 =a8 + >10 , 221a10 = a9 + a 10 ,2故A项正确.1(11)当 b=一时，令 a1=a=0, 4则a211 2:4©二 44 2所以a4=a2+1<(1 1=,以此类推,43 4242211+ =一,4 2所以 a10 = a

5、；十一<一 1109 42故B项不正确.故本题正确答案为 A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展 利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用 排除法”求解.4.【2018年高考全国I卷理数】设Sn为等差数列an的前 n项和，若 3s3 =S2+S4，a1 = 2,则 a5 =B. -10D. 12A. -12C. 10【解析】设等差数列的公差为 d ,根据题中的条件可得 3'3M2+3dl=2M2 + d+4M2+±d,22整理解得 d = 3,所以 a5=a1 +4d =212 = 10,故选 B.【名师点睛】该题考查的是有关等差数

6、列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d的值，之后利用等差数列的通项公式得到a5与a1,d的关系，从而求得结果.5.【2018年高考浙江卷】已知 口且2,生e4成等比数列，且 口+a2+a3+a4=ln(a +a?+a3).若a1>1,则A. a <a3,a2B. a Aa3,a2 <a4C. a <a3,a? AadD. a1>a3,a2 >a4【答案】B1.【解析】令 f (x) = xlnx1,则 f '(x) = 1 ，令 f (x)=0，得 x = 1 ,所以当 x>1 时，

7、f (x)>0, x当 0<x<1 时，f'(x)<0,因此 f (x)之 f (1 )=0" xlnx + 1.若公比 q >0 ,则 a1 +a2 +a3 +a4 >a1 +a2 +a3 > ln(a1 +a2 + a3 ),不合题意；若公比 q W1 ,则 a1 +a2 +a3 +a4 =a1 (1 +q。+q2 产0,但In (a1+a2+a3 )=lna1 (1+q+q2> Ina1A0 ,即 a14a2b3+a4W 由ha1+a2+a3)，不合题意；222因此 T <q <0,q 匚（0,1）,，a1 &

8、gt;aq =a3,a2 <a2q =a4<0,故选 b.如【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法x _ lnx 1,ex _ x 1,ex _ x2 1 x _ 0 .6.【2017年高考全国I卷理数】记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24, $6=48,则烝的 公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设公差为 d , a4+a5 = a1+3d+a1+4d = 2a1+7d = 24 ,6 528 7d =24,.S6 =6a1 + Jd =6a1 +15d =48 ,联立 1，解得 d = 4,故选 C.6 &#

9、39;2'6a 15d =48【秒杀解】因为 S6 = 6(a1一) = 3(a3 +a4) = 48 ,即 a3 + a4 = 16 , 2则(a4 +a5)(a3+a4)=2416=8,即 a5 -a3 =2d =8,解得 d=4,故选 C.【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如an为等差数列，若m+n = p+q ,贝U am +an =ap +aq.7 .【2017年高考全国I卷理数】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,

10、 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2,4,8, 1,2,4,8,16,，其中第一项是2°,接下来的两项是2°, 21,再接下来的三项是 2°, 21, 22,依此类推.求满足如下条件的最小整数 N: N>100且该数列的前N 项和为2的整数哥.那么该款软件的激活码是A. 440B. 330C. 220D. 110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：1, 1,2, 1,2,4, III 1,2,4,111,2k4III则该数列的前1+2 +川+k = k(k +1)项和为川十卜+(1+2)+川+(1+2+川+七一2,要彳吏k(k +1) >100

11、,有k.4,此时k+2<2k*,所以k+2是第k+1组等比数列1,2,111,2k的部分 2和，设 k +2 =1 +2 +|+2t=2t 1 , 所以 k =2t _3 >14 ,则 t 至5 ,此时 k =25 3 = 29 , 2930所以对应满足条件的最小整数N =+5=440 ,故选A.2【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.8.【2017年高考全

12、国II卷理数】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯 X盏，则各层的灯数卞成一个首项为X,公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有 x(1-2 ) =381,解得x = 3,即塔的顶层共有灯 3盏，故选B.1 -2【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型一一数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即

13、搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题， 所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果 放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论.9 .【2017年高考全国III卷理数】等差数列 Gn的首项为1,公差不为0.若a2, a3, a6成等比数列，则an) 前6项的和为A. 24B. 3C. 3D. 8【答案】A【解析】设等差数列an 的公差为d ,由a2 , a3 , a6成等比数列可得a； = a2 a6,即（1+2d 2 =（ 1yX 1十日），整理可得d2 +2d = 0 ,又公差不为0 ,则d = 2 ,故an前6项的和为S6 =6a16 6

14、-1d =6 16 6 -12父(2 )=24 .故选 A.【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前 n项和公式共涉及五个量 a1，an, d, n,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题 （2）数列的通项公式和前 n项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和d是等差数列的两个基本量， 用它们表示已知和未知是常用方法 .10 .【2017年高考浙江卷】已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“ d>0”是“S4 + &>2S5”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由 S4 +S6 -2S5

15、 =10a1 +21d -2(5a1 +10d) = d ,可知当 d >0时，有 S4 + S6 -2S5 >0 ,即S4 +S6 >2S5 ,反之，若 S4 +S6 A2S5 ,则 d >0,所以 d>0”是 S4 + S6>2S5”的充要条件，选 C.【名师点睛】本题考查等差数列的前 n项和公式，通过套入公式与简单运算， 可知S4+& - 2S5 = d ,结合充分必要性的判断，若pn q ,则p是q的充分条件，若 pu q ,则p是q的必要条件，该题d A0"u 'S4 +S6 -2S5 >0"，故互为充要条

16、件.12r ,11 .【2019年局考全国I卷理数】记Sn为等比数列an的刖n项和.右a =一，a4 = a6 ,则&二3121【答案】3一 ，1 3、2= a6,所以(-q ) 31 5=-q，又q=0,12【解析】设等比数列的公比为 q ,由已知a1 =,a42 3所以q =3,所以a1(1-q5) 3(1一3) 121 .S5 1 -q 1-33【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及骞的乘方运算、繁分式的计算,部分考生易出现运算错误.12.【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列an的前n项和，3W0,a? = 3a1，则SioS5【答案】4【解析

17、】设等差数列an的公差为d,因 a? =3a1,所以 ai +d =3a，即 2a = d ,LSI0所以2°S5100&25a1s 10 9,10al d5al2【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算.渗透了数学运算素养.使用转化思想得出答案.13 .【2019年高考北京卷理数】设等差数列an的前n项和为Sn,若a2=-3,&=-10,则a5=,&的最小值为.【答案】0, -10.【解析】等差数列a中，S5=5a3=10，得a3 = 2，又a2 = 3，所以公差d =a3 -a2 =1,a5 =a3 +2d =0 ,由等差数列劣的性质得nW5时

18、,an W0,n±6时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为10.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式？求和公式？等差数列的性质，难度不大，注重重要知识？基础知识？基本运算能力的考查.*、14 .【2019年高考江苏卷】已知数列 an( n N )是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5 + a8 = 0,4 = 27 ,则S8的值是.【答案】16a2a5 % "a d & 4da 7d ) = 0【解析】由题意可得：99X8,S9 = 9a1 d =27一a1 - -5 -8 7解得：1 ，则 S8=8a+d =-40 +282=16.d =2812【

19、名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组）,如本题，从已知出发，构建 ai, d的方程组.15 .【2018年高考全国I卷理数】记 &为数列an的前n项和，若 &=2an+1,则S6 =.【答案】-63【解析】根据Sn =2an +1,可得Sn4=2an书+1，两式相减得an书=2an书2an ,即an书=2an ,当n = 1时，S1 =a1 =2a1 +1,解得a1=1,所以数列an是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以-1 -2S6=-63,故答案是-63.1 -2【名师点

20、睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令n =1 ,求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的 变形方向即可得结果.16 .【2018年高考北京卷理数】 设an是等差数列，且a1=3, a2+a5=36,则an的通项公式为 【答案】an=6n-3【解析】设等差数列的公差为 d，':a1 =3,二 3 + d+3+4d =36,二 d =6,二 an = 3 + 6（n 1 ）= 6n 3.【名师点睛】先根据条件列出关于公

21、差的方程，求出公差后， 代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时， 有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用17 .【2018年高考江苏卷】已知集合A=x|x = 2n1,nwN *, B=x|x=2n,nwN *.将AU B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an.记Sn为数列an的前n项和，则使得Sn >12an书成立的n的最小值为.【答案】27【解析】所有的正奇数和 2

22、n （n乏N” ）按照从小到大的顺序排列构成 an,在数列|an中，25前面有1656个正奇数，即a21 =2自8 =2 .当n=1时，S =1 <12a2 =24 ,不符合题意；当n=2时，S2 =3 <12a3 =36 ,不符合题意；当n=3时，S3 = 6 <12a4 = 48 ,不符合题意；当n=4时，S4 =10<12a5=60, 不 符 合 题 意当 n=26 时521 (1 41) 2 1-2S26 =-+/ = 441+62=503<12a27=516 ，21 -2不符合题意；当n=27时，-22 (1 43) 2 1 -2S27 = +=484+

23、62=546>12a28=540，符合题意.故使得 &>122e成立的 n的21 -2最小值为27.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算., .n 118.【2017年高考全国II卷理数】等差数列an的前n项和为Sn, a3 = 3, S4=10 ,则£ 一 =kg【解析】设等差数列的首项为a1 2d = 3a1,公差为d ,由题意有44 M 34a1 d =10a1 =1,解得d =1也心工n n -1n n -1 n n 1数列J白刖 n项和 Sn =na1 +-d =n><1 +-

24、&1=>222一11211裂项可得一 =2()，Q k(k 1) k k 1.1111.1所以(d")"。1E2(11 、 2n-)=n 1 n 1【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量 a1，an, d, n, &,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法.使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前 后对称的特点.19.【2017年高考

25、全国III卷理数】设等比数列an满足a + a2 =T, a-a3 =-3,则a4=.【答案】-8【解析】设等比数列 an的公比为q ,很明显q#-1 ,结合等比数列的通项公式和题意可得方程组:f a1 +a2 =a1(1 +q) = -1 2a( - a3 =a1(1- q )= -3 ,口由一可得:q = 一2 ,代入可得 4 =1 ,由等比数列的通项公式可3得 a4 = a1q = -8 .【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于

26、运用整体代换思想简化运算过程20.【2017年高考江苏卷】等比数列an的各项均为实数，其前 n项和为S ,已知S3=7,S463二:，则4a8【答案】32【解析】当q=1时，显然不符合题意;当q ?1时,0(1 -q3) =71 -q 4q(1 -q6) =631 -q 41.7a8 = 2 =324【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：利用基本量，将多元问题简 化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但 在应用性质时要注意性质成立的前

27、提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用 巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.【2017年高考北京卷理数】若等差数列Qn和等比数列bn满足a1 = b1 = T , a4 = b4 = 8 ,则 a2b2【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d和q ,则1七d 二 q3 8 ，求得q = 2,d = 3 ,那么m:41b22【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方

28、程思想解决数列问题是一种行之有效的方法22.【2019年高考全国II卷理数】已知数列an和bn满足ai=1 , bi=0, 4an卅=3an bn + 4 ,4bn 1 - 3bn - an - 4 .(1)证明：an + bn是等比数列，an)n是等差数列；(2)求an和bn的通项公式.11 .11【答案】(1)见解析；(2)an =r+n , bn =rn+-.2n2n 2 n21，,、【解析】(1)由题设得 4(an 书 +bn +)=2(an +bn),即 an 书 +bn噂=W(an +bn) .1又因为a1+b1=l,所以an +bn是首项为1,公比为一的等比数列.2由题设得4(烝

29、+ - bn +) =4(烝一必)+8 ,即an书一 bn书=an -bn +2 .又因为a1)1=l,所以an -bn是首项为1,公差为2的等差数列. .1.-.(2)由(1)知，an +bn =n , an -bn =2n -1.1 11所以an =3(an+十四口 一灯力二三十 口一；，2 22,111bn =2(an +bj-(an -bn)=2T-n+.【名师点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.23.【2019年高考北京卷理数】已知数列

30、 an,从中选取第i1项、第i2项、第im项(i1<i2<-yim),若 ah< '"<aim ,则称新数列a1，凡，a0为an的长度为m的递增子列.规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列.(1)写出数列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；(2)已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为am0 ,长度为q的递增子列的末项的最小值为 a .若 p<q,求证：am0<an0 ;(3)设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若an的长度为s的递增子列末项的最小值为2sT,且长度为s末项为

31、2sT的递增子列恰有2s-1个(s=1, 2,)，求数列an的通项公式.【答案】(1) 1,3,5,6 (答案不唯一)；(2)见解析；(3)见解析.【解析】（1） 1, 3, 5, 6.（答案不唯一） 设长度为q末项为an0的一个递增子列为a1 ,ar2 M|, arq 1 ,a% .由p<q,得 a.p <arq±<ano.因为小的长度为p的递增子列末项的最小值为am ,又a1 ,ar2,"|,arp是（an的长度为p的递增子列,所以 am。- ar . 0p所以 amo <ano -（3）由题设知，所有正奇数都是an中的项.先证明：若2m是an中

32、的项，则2m必排在2m-1之前（m为正整数）.假设2 m排在2m- 1之后.设ap1,ap2,|,apmX,2m-1是数列 以的长度为m末项为2m- 1的递增子列，则 aR,ap2,IM,apm±J 2m -1,2m是数列Qn的长度为m+1末项为2m的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是 an中的项.假设存在正偶数不是an中的项，设不在an中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k-1之前（k=1, 2,，m-1）,所以2k和2k1不可能在 an的同一个递增子列中.又Qn 中不超过2m+1的数为1, 2,，2m- 2, 2m- 1, 2m+1 ,所以an 的长度为m+1且末项为

33、2m+1的递增子列个数至多为 2乂2 y K川MDx 1M 1 = 2m，< 2m .（m 4.）个与已知矛盾.最后证明：2m排在2m-3之后（m>为整数）.假设存在2m （m>2）,使得2m排在2m-3之前，则 QJ的长度为m+1且末项为2m+l的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列 Gn）只可能为2, 1, 4, 3,，2m- 3, 2m, 2m- 1,.经验证，数列2, 1,4, 3,，2m- 3, 2m, 2m- 1,符合条件.所以ann 1,n为奇数,n-1,n为偶数.【名师点睛】新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据

34、此.但是,新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解新题”不一定是 雉题”，掌握好三基，以不变透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说应万变才是制胜法宝.24.【2019年高考天津卷理数】设 an是等差数列，bn是等比数列.已知a, =4,b1 =6,b2 =2a2 -2,b3 =2a3 +4.(i)求 Qn和bn的通项公式； .1. 2k ；n ：2k1.(n)设数列cn满足=i,cn =其中kw nbk,n =2k,(i)求数列(a2n (c2n -1的通项公式;2n(ii)求 £ aq (nw N ). i 1【答案】(1)

35、%=3n+1； bn=3x2n (2) (i) a2n (c2n 1 ) = 9父4n 1 (ii)2n-*2n. 1n 1*a aiCin N =27 25 2-n -12 n Ni W6q=6 2d,一【解析】(1)设等差数列tan)的公差为d ,等比数列bn的公比为q .依题意得i 2解6q2 =12 4d,一 d = 3,.得 «，故 an =4 + (n 1)M3 = 3n +1,bn =6父 2n =3父 2n.q=2，所以，Qn)的通项公式为an=3n+1， bn的通项公式为bn=3M2n.(2)(i)a2n(c2n-1)=a2n(bn1) = (3黑2n+1X3M2n

36、1)=9X4n-1 .所以，数列 Qn(C2n 1)的通项公式为a2n (C2n 1 )=9M4n 1.2n2n2nn(ii) Z aiG =2 a (g T )=E ai +2 a2i (c2i -1) i 1i 1 i 1 i 12n 4 222r23 +£(9x4 -1 )2 114 1 - 4n=3 2n 5 2n9 k-n_ 2n _1_ n _1_*=27父2+5x2-n-12 (nW N ).【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.25.【2019年高考江苏卷】定义首项为1

37、且公比为正数的等比数列为“M数列(1)已知等比数列an(n e N*)满足：a2a4 =a5,a34a2+4a1 =0 ,求证：数列an为“M数列”;,122(2)已知数列bn(nW N )满足：n =1，k =1；，其中Sn为数列bn的前n项和.Sn bn bn 1求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在 “M数列" Cn(nw N*),对任意正整数k,当k前时，都有Ck蒯bk Ck书成立，求m的最大值.【答案】(1)见解析； bn=n(n WN )；5.【解析】解：(1)设等比数列an的公比为q,所以awQ q0.,a2 a4 = a§由45，得©3 4a2

38、 +43) =0,244aIq =a1qa1q 4a1q+4al =0a1 = 1解得1q = 2因止匕数歹U an为"M->g" ”一 ,122, 八(2)因为一=一 一,所以bn ¥ 0 .Snbnbn1n,-122,由 b1 =1,6=匕，得一=一,则 bz=2.11b2,122-bnbn 1由7：，得 Sn=：7TTSnbnbn 12( bn 1 bn)当 n 之 2 时，由 bn =Sn Sn,得 bn =bnbn 1bnbn2 bn1 n2 bn 飞 口整理得bn平+bn,=2bn.所以数列 bn是首项和公差均为1的等差数列.一 一 、一一一 _

39、 _ *因此，数列bn的通项公式为bn=n(nw N )由知，bk=k, k e N*.因为数列Cn为“M数列”，设公比为q,所以 ci=1, q>0.因为Ck通心+1,所以qk，< k <qk ,其中 k=1, 2, 3,，m.ln kK1 -lnx2x因为2ln8 ln9 ln 3一,所以3f (k)max = f(3)=ln3取 q =遍,当 k=1, 2, 3, 4, 5时,ln k ,kT, 1nq '即 k"'经检验知qkX <k也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m>6 分别取 k=3, 6,得 3对3,且 q5W6,从而

40、 q15>243 且q15w21$所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5.【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.26.【2019年高考浙江卷】设等差数列 an的前n项和为Sn, a3 = 4 , a4=S3,数列bn满足：对每个nW N : & +4,0+4,&_2 + b0成等比数列.(1)求数列an, bn的通项公式;当k=1时，有q>tln k当k=2, 3,，m时，有<ln q kln x.设f (x)=(x>1),则 f&

41、#39;(x) = x令f '(x)=0,得*=3.列表如下：x(1.e)e(e, +°°)f'(x)+0一f (x)极大值4（2）记 cn = ln-, n n N *,证明：g +q + “| 十cn < 2而，n 它 N*. .20【答案】（1） an=2（n1）, bn =n（n + 1 ）； 证明见解析.【解析】（1）设数列a。的公差为d,由题意得a1 +2d =4,a1 +3d =3a1 +3d ,解得 a1 =0, d = 2 . *从而 an =2n -2, n = N .2一*所以 Sn =n -n, n = N ,由Sn +bn,S

42、n书+bn,Sn* + bn成等比数列得2(&十+4 ) =(&+bnXSn%十bn%12斛得 bnfSn-)(2)我们用数学归纳法证明.2n -22n(n 1)n -1n(n 1)（i）当n=1时，c二0<2,不等式成立;（ii）假设n=k（Y N*）时不等式成立，即G +C2+IH+ck <2尿.那么，当n=k+1时,= 2.k 1：2、k-2 =2、k 2(1 - .k)k 1 k即当n=k+1时不等式也成立.根据（i）和（ii）,不等式g +c2 +IU + cn <2/n对任意n e N*成立.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数

43、学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.27.【2018年高考全国II卷理数】记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=7, S3 = -15 .（1）求Qn 的通项公式；求Sn,并求Sn的最小值.【答案】（1） an=2n-9; （2） $ = n28n,最小值为 T6.【解析】（1）设an的公差为d,由题意得3a1+3d=T5.由 a= 7 得 d=2.所以an的通项公式为 an=2n -9.（2）由（1）得 Sn=n2 6n= （nW） 2T6.所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为 -16.【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义

44、域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前 n项和公式得Sn关于n的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数 求函数最值.28.【2018年高考全国III卷理数】等比数列aj中，a T, a5=4a3.（1）求aj的通项公式；记&为Q 的前n项和.若Sm =63 ,求m .【答案】（1） an =（-2）2或 an =2n,；（2） m=6.【解析】（1）设an的公比为q ,由题设得an = qn'.由已知得q4 =4q2 ,解得q = 0 （舍去），q = -2或q = 2.故 an =（

45、2）2或an =2n. 若an=（2尸，则Sn=1（2）.由Sm=63得（2）m = 188,此方程没有正整数解. 3若 an =2n1 则 Sn =2n 1.由 Sm =63得 2m =64,解得 m =6.综上，m = 6.【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题29.【2018年高考浙江卷】已知等比数列 an的公比q>1,且a3+a4+a5=28, a，+2是a3, a5的等差中项.数 列bn满足bi=1,数列 (bn+i-bn) an的前n项和为2n2+n.(1)求q的值；(2)求数列bn的通项公式.1 n 0【答案】(1) q=2； (2) bn =

46、15(4n+3)，(一)i.2【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.(1)由a4+2是a3, a5的等差中项得a3+a5=2a4+4,所以 a3 +a4 +a5 = 3a4 + 4 = 28 ,解得a4 =8.,一1、由 a3+a5 =20得 8(q+) =20 , q因为q >1 ,所以q =2.设Cn=(bn书bn)an,数歹U g前n项和为Sn .由Cn =S1, n = 1,Sn -Sn4,n-2.解得 Cn =4n -1.由(1)可知an =2n，所以 bn由bn =(4n 1) (1)2, 21 2故bn bn_1 =

47、(4n-5) (-), n >2 ,2bn -b1二(bn-bn)(bn-bn)(b3-b2).(b2-bl)1 11= (4n -5) ( )n(4n -9) ( )nI" 73.2 22设Tn =3+7 1 +11 (1)2 +lll + (4n -5) -(1)n,n >2 , 222%n =3 1 7 (1)2 HI (4n -9)(。严 (4n -5)(1厂22222所以 1n =3 + 4 1+4 (I)2+川+4 (工厂_(4门_5)-(1尸,22222,n >2,一.1 因此 Tn =14 （4n 3H万）一 .1 又 b1 =1 ,所以 bn =1

48、5(4n +3)(一).2【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出sj与qsj的表达式时应特别注意将两式错项对齐”以便下一步准确写出Sji-ql”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等 于1两种情况求解.30.【2018年高考江苏卷】设an是首项为3,公差为d的等差数列，bn是首项为“，公比为q的等比数 歹U.(1)设 a =0,h =1,q=2,若 |anbn|Wb1 对 n =1,2,3,4 均成立，求 d 的取值范围；(2)若 & =b0,mW N*,qW(1,?

49、2,证明：存在 d R ,使得 |an bn 怪。对 n = 2,3，H|,m + 1 均成立，并求d的取值范围(用b1,m,q表示).【答案】(1) 7,5; (2)见解析.3 2【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.(1)由条件知：an =(n1)d,bn =2".因为 |anbn|Wb1 对 n=1 , 2, 3, 4 均成立，即 |(n 1)d -2nA|<1 对 n=1, 2, 3, 4 均成立，75即 1 E1, 1 <d <3, 3<2d&

50、lt;5, 7 W3d <9,得 7 <d <32因此，d的取值范围为7岛.3 2(2)由条件知：an =bi +(n1)d,bn =b1qn.若存在 d,使得 | an -bn |<b1 (n=2, 3,，m+1)成立，即 | b +(n -1)d -b1qn|<b1 (n =2,3,lll,m +1),n 1n 1即当 n =2,3j|,m+1 时，d 满足q一二bEdqb.n -1n -1因为 q W(1,蜴，贝(J 1 <qn<qm <2 , n 1n 1从而 qt1 <0, qbi >0 ,对 n =2,3,W,m+1 均成

51、立.n Tn -1因此，取d=0时，a bn |«b对n=2,3,川,m+1均成立.n on _1(n=2,3,|H，m+1).,n n 1、nn(q -q ) -q 2n(n - 1)卜面讨论数列q 一 一2的最大值和数列9二的最小值n -1n-1nn 1n n n 1当2 wn <m时,q -2 q 2 nq -q -nq 2n n -1n(n -1)1当 1 <q <2m 时，有 qn <qm <2 ,从而 n(qn -qn-) -qn + 2 >0 .n 1 q因此，当2EnMm十1时，数列q一二2单调递增, n -1n 1m故数列 qZ2

52、的最大值为q -2 .n -1m设 f (x) =2x(1 x),当 x>0 时，f'(x) =(ln2 1 xln2)2x <0 ,所以f(x)单调递减，从而f(x)<f (0) =1.nq (1)111当 2 Wn Wm 时，n- =- <2n (1-1) = f (-) <1 ,q - nn nn -1n 1因此，当2 Wn Wm +1时，数列q一单调递减, n -1n 1故数列_q_的最小值为n -1m m因此，d的取值范围为b一2，如一. m m31.【2018年高考天津卷理数】设an是等比数列，公比大于 0,其前n项和为Sn(nw N"

53、;) , bn是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列Sn的前n项和为Tn(nw N*),求Tn ；(ii)证明 z (Tk +b")bk -Sl_2(nW N*). ki (k 1)(k 2) n 2【答案】(1)an=2n，,bn= n ； (2) (i)Tn= 2n*n- 2； (ii)见解析.【解析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.(1)设等比数列an的公比为q.由a1 =1,a3 =a2+2,可彳#q2q2=0.因为q >0,可得q=2,故an =2n.设等差数列bn的公差为d,由a4 =灯+b5 ,可得b1 +3d =4.由a5 =b4 +2b6,可得 3bi +13d =16,从而 bi=1,d=1,故 bn = n.所以，数列an的通项公式为an =2n,，数列bn的通项公