高斯公式48524

1、第十一章第十一章 曲线与曲面积分曲线与曲面积分高斯公式及应用高斯公式及应用 6、7高斯公式、斯托克斯公式内容回顾内容回顾斯托克斯公式斯托克斯公式上上下下2计算步骤：计算步骤：dxdy)z , y, x(R、11、由曲面由曲面 方程解出方程解出 z=z（x，y）并并代入代入R（x，y，z）；2、将曲面将曲面 往往xoy面投影，确定区域面投影，确定区域Dxy3、由曲面由曲面 的方向确定积分前的正负号的方向确定积分前的正负号 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(则则“一投一投, ,二代二代, ,三定号三定号”回顾回顾(1)注：当曲面与注：当曲面与 xoy 面垂直时积分为零面垂直时

2、积分为零。上上下下3推广：推广：对坐标对坐标yoz的曲面积分计算公式的曲面积分计算公式 取取后后侧侧取取前前侧侧dydzzyzyxPdydzzyzyxPPdydzyzyzDD, 取取左左侧侧取取右右侧侧dxdzzzxyxQdxdzzzxyxQQdxdzyzyzDD),(,),(,(2)(3)对坐标对坐标xoz的曲面积分计算公式的曲面积分计算公式注：当曲面与注：当曲面与 xoz 面垂直时积分为零面垂直时积分为零。注：当曲面与注：当曲面与 yoz 面垂直时积分为零面垂直时积分为零。上上下下4；为则关于该坐标面的积分一曲线，在某坐标面上的投影是、若注意：01. 02积分不为上只有关于该坐标面的平行于

3、某坐标面，则在若、122 yx如1122yxz上的圆域如平面00dxdy)z ,y,x(Rdzdx)z ,y,x(Qdydz)z ,y,x(P而则上上下下5四、两类曲面积分之间的联系四、两类曲面积分之间的联系 cos,cos,cos0 n, 0cos, 取取上上侧侧若若 1 ,yxzzn 2211cosyxzz 下下 1, yxzzn- - - RdxdydSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dxdydSdzdxdSdydzdS coscoscos1）9998P上上下下6解解: P228n1, y, xn,取下侧曲面 dSzxzIcoscos)(2 利用两类曲面积分的

4、联系利用两类曲面积分的联系.yxcos,yxxcos2222111上上下下7 dSyxzxxzI2221)( 4:22222222211)(21yxDxydxdyyxyxyxx xyDdxdyyx)3(2122 2022220)cos2(21rdrrrd .8 dSyxzxdSyxxz22222211由对称性知为由对称性知为0 0y2x上上下下8说明：说明：1 1、两类曲面积分间的联系公式提供了一种两类曲面积分间的联系公式提供了一种计算曲面积分的方法计算曲面积分的方法. .2 2 、可以直接计算、可以直接计算看课本看课本P227P227例例3 3dxdydSdzdxdSdydzdS cosco

5、scos coscoscosdxdydzdxdydzdS 上上下下9例例1 1计算计算 ydzdxxdydzzdxdy, ,其中其中 是柱面是柱面122 yx 被平面被平面0 z及及3 z所截得的在第一卦限内的部分的前侧；所截得的在第一卦限内的部分的前侧； Dyz1131:22 yxDxz解：解： zdxdy原积分原积分 xdydz ydzdx0 xzDdxdzx21yzDdydzy21 234343 xoy面面302101dzxdx302101dzydy几何意义几何意义上上下下10例例2 2Dyz1131:22 yxDxz解：解：因为曲面法向量为：因为曲面法向量为： cos,cos,cos0

6、22 yxyxn oyx,n曲面的方向余弦为：曲面的方向余弦为：原积分原积分= =dSzyx)coscoscos( dSyxyx 2222)(dSyx 22dS 123 曲面的面积！还可以转化为曲面的面积！还可以转化为P247T4(1)的做法！的做法！上上下下11.azyx,zdxdy的外侧为球面其中计算例222230zdxdy上是奇函数，从而被积函数在域是对称的，并且错误解答：由于积分区.分曲面的侧错误原因是没有考虑积两部分下半球面与上半球面分为将解)()(2112221yxaz取上侧，方程为2222yxaz取下侧，方程为21zdxdyzdxdyzdxdy则上上下下1222222222222

7、2ayxayxdxdy)yxa(dxdyyxa302220342ardrradayax21zdxdyzdxdyzdxdy则 凑微分凑微分上上下下13之间部分的外侧表面在是锥面如果此题中的曲面1022zyxz,zn2轴正向的夹角大于与则法向量Ddxdyyxzdxdy223210220drrd1022yx| )y, x(D取负侧上上下下144122yx| )y,x(Dxy且曲面取下侧为负值，xyDyxzdxdyyxedxdyyxe2222222120rdrredr)ee(22.zzyxzdxdyyxez之间部分曲面的下侧与介于为锥面计算曲面积分例2142222平面上的投影区域为在解xoyxyo练习

8、练习上上下下15一、高一、高 斯斯 公公 式式n1 1、高斯公式、高斯公式dSRQP)coscoscos( 或或 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(这里这里 是是 的整个边界曲面的外侧，的整个边界曲面的外侧， cos,cos,cos是是 上点上点),(zyx 处的法向量的方向余弦处的法向量的方向余弦. . (高斯公式高斯公式)xyzo n（x，y，z）在区域在区域内变化内变化（x，y，z）在曲在曲面上变化面上变化上上下下16Gauss公式的实质：公式的实质： 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系的曲面积分之间的

9、关系. .使用使用Guass公式时应注意公式时应注意: :1 1. .RQP,是是对对什什么么变变量量求求偏偏导导数数; ; 上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数在在 RQzyxP,),(zdxdyydzdxxdydzV31上上下下17为奇函数关于若为偶函数关于若方向为外侧，则面对称关于设分片光滑闭曲面第二类曲面积分上zR,RdxdyzR,dxdy)z , y, x(R:,xoy:20补充：对称性补充：对称性上上下下18.azyx,zdxdy的外侧为球面其中计算例22223解解2, zR,Q,P00,zR,yQ,xP100dxdydzGauess1公式原式334a简单多了！简单多了！？若上

10、题改为：dxdyz2上上下下194122yx| )y,x(Dxy且曲面取下侧为负值，xyDyxzdxdyyxedxdyyxe2222222120rdrredr)ee(22.zzyxzdxdyyxez之间部分曲面的下侧与介于为锥面计算曲面积分例2142222平面上的投影区域为在解xoyxyo练习练习不适合用不适合用Gauess公式！公式！上上下下20 xozy113解解, 0,)(yxRQxzyP P231, 0, 0, zRyQzyxPdxdydz)zy(原式 dzrdrdzr )sin(.29 rdzzrdrd 203010sin先一后二，柱面坐标先一后二，柱面坐标上上下下21P228解：解

11、：)yx(z:42221补充取取上上侧侧，1 11原积分原积分dv11xyDdxdy2842简单多了！简单多了！上上下下22xyDxyzoh 1 解：解：)(:2221hyxhz 补补充充取取上上侧侧，1 11dzzyx2421h 1)(2dvzyx xyDdxdyh24h421h 原积分原积分P231 coscoscosdxdydzdxdydzdS 上上下下23.214h zdv21hrhzdzrdrd0202hdzzz022 zdv21222hyx .214h (柱面坐标柱面坐标)(截面法截面法)zdzdzyxdzzyx222由对称性知为由对称性知为0 0上上下下24小结小结dSRQP)c

12、oscoscos( 或或 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式Gauss公式的实质：公式的实质： 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系的曲面积分之间的关系. .使用使用Guass公式时应注意公式时应注意: :1 1. .RQP,是是对对什什么么变变量量求求偏偏导导数数; ; 上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数在在 RQzyxP,),(上上下下25为奇函数关于若为偶函数关于若方向为外侧，则面对称关于设分片光滑闭曲面第二类曲面积分上zR,RdxdyzR,dxdy)z , y, x(R:,xoy:

13、20补充：对称性补充：对称性上上下下26定定理理 设设 为为分分段段光光滑滑的的空空间间有有向向闭闭曲曲线线, , 是是以以 为为边边界界的的分分片片光光滑滑的的有有向向曲曲面面, , 的的正正向向与与 的的侧侧符符合合右右手手规规则则, , 函函数数),(zyxP, ,),(zyxQ, , ),(zyxR在在包包含含曲曲面面 在在内内的的一一个个空空间间区区域域内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , 则则有有公公式式 二、斯托克斯二、斯托克斯( (stokes) )公式公式n1 1、斯托克斯公式、斯托克斯公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( (斯托克斯公式

14、斯托克斯公式) RdzQdyPdx (1) (1)实质：表达了有向曲面上的曲面积分与其边界实质：表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系曲线上的曲线积分之间的关系. .(2)(2)当当是是xoy面的平面闭区域时，面的平面闭区域时，斯托克斯公斯托克斯公式此时为格林公式式此时为格林公式.注：注：上上下下27 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一种形式另一种形式cos,cos,cos n其中其中便于记忆形式便于记忆形式上上下下28例例 1 1 计计 算算 曲曲 线线 积积 分分ydzxdyzdx , ,

15、 其其 中中 是是 平平 面面1 zyx被被 三三 坐坐 标标 面面 所所 截截 成成 的的三三 角角 形形 的的 整整 个个 边边 界界 , ,它它 的的 正正 向向 与与 这这 个个 三三 角角 形形 上上 侧侧的的 法法 向向 量量 之之 间间 符符 合合 右右 手手 规规 则则 . . 解解1由斯托克斯公式由斯托克斯公式, , 原积分原积分= = dxdydzdxdydzP2400 xyDxyzn111dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( yRxQzP ;yzDd23原式dzdydzdxdydxdzdy21上上下下29zdxydzxdy原式Sd解解223利用斯托

16、克斯公式利用斯托克斯公式0 xyDxyzn111zyx3131311:zyx) 1, 1, 1 (31nyzxSd)3(31yxDyxdd33上上下下30zoyx1解解: 因在因在 上有上有,1222yx故故:原式原式 = tttdsincos2022221162txcostysin21 sin21tz )20( t可以用可以用stokes公式做此题公式做此题(6)计算计算 其中其中 是用平面是用平面z=y截球面截球面 所得的截痕，从所得的截痕，从z轴看去逆时针方向。轴看去逆时针方向。 xyzdz1222 zyxP246总习总习T26)上上下下31解：方法二，用斯斯托克斯公式转化成曲面积分解：

17、方法二，用斯斯托克斯公式转化成曲面积分xyzz=ydxdyyy 221021024 162 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( 原积分原积分= yzdxdzxzdydz yzdxdzDxy1222 yx xyDdxdyy2面面yoz yzdxdydxdycoscosyz 1 , 1, 021 n(6)计算计算 其中其中 是用平面是用平面z=y截球面截球面 所得的截痕，从所得的截痕，从z轴看去逆时针方向。轴看去逆时针方向。 xyzdz1222 zyxP246总习总习T26)cosdxdycosdzdxcosdydzdS上上下下32例例 2 2 dzyxdyxzdxzy)

18、()()(222222 其其中中 是是平平面面23 zyx截截立立方方体体: :10 x, , 10 y, ,10 z的的表表面面所所得得的的截截痕痕, ,若若从从 ox 轴轴的的正正向向看看去去, ,取取逆逆时时针针方方向向. . 解：解：取取为为平平面面23 zyx的的上上侧侧被被 所所围围成成的的部部分分. . 则则1 , 1 , 131 nzxyo n P241dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(2 dS)zyx(34dS2334 xyDdxdy332.29 xyD23 yx21 yx上上下下33.)()(,1

19、badxxfdMfbaR时时上区间上区间当当.),()(,2 DdyxfdMfDR时时上区域上区域当当积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分 dvzyxfdMfR),()(,3时时上区域上区域当当.),()(,3 dszyxfdMfR时时上空间曲线上空间曲线当当.),()(,3 SdSzyxfdMfSR时时上曲面上曲面当当曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(,2 LdsyxfdMfLR时时上平面曲线上平面曲线当当曲线积分曲线积分上上下下34计算上的联系计算上的联系)( ,),(),()()(21面积元素面积元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD

20、)( ,),(),()()(),(),(2121体积元素体积元素dvdzzyxfdydxdvzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2弧长元素弧长元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影线元素线元素 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),()(曲曲面积元素面积元素dS xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),()(投影投影面积元素面积元素dxdydsQPQdyPdxLL)coscos( dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( 上上下下35理论上的联系理论上的联系1.1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式3.3.三重积分